Parallele numerische Verfahren:
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Springer
2002
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Grundsätzliches über Parallelrechner 1
1.1 Rechnertypen und Architekturen 1
1.1.1 Verteilter und gemeinsamer Speicher 2
1.1.2 Granularität 3
1.1.3 Prozessortopologie 3
1.1.4 SIMD und MIMD Rechner 6
1.2 Leistungsbeurteilung von Parallelrechnern 7
1.2.1 Parallelisierungsgrad 7
1.2.2 Speed up und Effizienz 8
1.2.3 Das Gesetz von Amdahl 9
1.3 Parallele Programmiermodelle 10
1.3.1 Ebenen der Parallelität 11
1.3.2 Implizite und explizite Parallelität 13
1.3.3 Erzeugung von Prozessen 13
1.3.4 Datenaustausch 14
2 Parallele Verfahren für partielle Differentialgleichungen 17
2.1 Standardverfahren für elliptische Differentialgleichungen 18
2.1.1 Poisson Gleichung mit Dirichlet Randbedingungen 18
2.1.2 Das Jacobi Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen . . 21
2.1.3 Das Gauß Seidel Verfahren 22
2.1.4 Das SOR Verfahren 23
X INHALTSVERZEICHNIS
2.2 Parallelisierung 24
2.2.1 Parallelisierung des Jacobi Verfahrens 24
2.2.2 Parallelisierung von Gauß Seidel und SOR Verfahren 26
2.2.3 Wellenfront (Wavefront) Nummerierang 26
2.2.4 Red Black Nummerierung (Schachbrett Ordnung) 28
2.3 Das ADI Verfahren 32
2.3.1 Die Wärmeleitungsgleichung 32
2.3.2 Explizites Differenzenverfahren 33
2.3.3 Sequentielles ADI Verfahren 35
2.3.4 Auflösung von Gleichungssystemen mit Tridiagonalmatrix . . 39
2.3.5 Parallele Durchführung des ADI Verfahrens 44
3 Graph Partitionierung 49
3.1 Hilfsmittel und Definitionen 49
3.2 Spektralbisektion 53
3.3 Weitere Partitionierungsheuristiken 59
4 Die Methode der konjugierten Gradienten 61
4.1 Sequentielle Durchführung 61
4.1.1 Minimierung eines Funktionais 61
4.1.2 Zusammenhang zum Gauß Seidel Verfahren 63
4.1.3 Die Methode des steilsten Abstiegs 64
4.1.4 Die Methode der konjugierten Gradienten (CG Verfahren) . . 64
4.2 Das vorkonditionierte CG Verfahren 69
4.2.1 Das symmetrische SOR Verfahren (SSOR Verfahren) 75
4.2.2 Konstruktion einer Vorkonditionierungsmatrix 81
4.2.3 Weitere Möglichkeiten zur Vorkonditionierung 85
4.3 Parallelisierung des CG Verfahrens 87
4.3.1 Der parallele Algorithmus 87
4.3.2 Parallele Vorkonditionierung durch Gebietszerlegung 89
INHALTSVERZEICHNIS XI
5 Mehrgitterverfahren (Multi Grid Method) 99
5.1 Motivation 99
5.2 Übergang zwischen Gittern 103
5.3 Grobgitterkorrektur (Coarse Grid Correction) 105
5.4 Interpolation und Prolongation im zweidimensionalen Fall 107
5.5 Bemerkungen zur Programmierung des Mehrgitterverfahrens 109
5.5.1 Gitterzerlegung und Mehrgitterverfahren 113
6 Das symmetrische Eigenwert Problem 117
6.1 Das Jacobi Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten 118
6.1.1 Parallele Durchführung 122
6.1.2 Realisierung auf einem Parallelrechner 124
6.2 Berechnung der Eigenwerte durch Reduktion der Matrix auf Tridia
gonalgestalt 126
6.2.1 Reduktion auf Tridiagonalgestalt 126
6.2.2 Berechnung der Eigenwerte einer symmetrischen Tridiagonal
matrix 129
6.3 Ein Divide and Conquer Verfahren („Teile und Herrsche Verfahren ) . 131
6.3.1 Divide and Conquer Verfahren für Tridiagonalmatrizen T e
Mnx mit n = 2m 136
7 Der Gauß Algorithmus Anwendung bei Integralgleichungen 139
7.1 Grundlagen 139
7.2 Das Nyström Verfahren 141
7.3 Parallele Durchführung des Nyström Verfahrens 143
7.3.1 Der parallele Gauß Algorithmus mit Pivotsuche 143
8 Aufgaben für ein Parallelrechnerpraktikum 147
8.1 Elementare Aufgaben 147
8.1.1 Speed up 147
8.1.2 Ein erstes paralleles Programm 148
8.1.3 Punkt zu Punkt Kommunikation mit MPI 148
XII INHALTSVERZEICHNIS
8.1.4 Kommunikationsbandbreite und Start up Zeit 149
8.1.5 Kollektive Kommunikation mit MPI 150
8.2 Parallele Matrix Vektor Multiplikation für dichtbesetzte Matrizen . . 153
8.3 SOR Verfahren mit Red Black Ordnung 158
8.4 Direktes Lösen von Gleichungssystemen mit Tridiagonalmatrix .... 164
8.5 Graphpartitionierung I 173
8.6 Graphpartitionierung II 175
8.7 CG Verfahren 182
8.8 Jacobi Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten 190
8.9 Nyström Verfahren 193
A Ein Linux Cluster als Parallelrechner 197
A.l Hardware 197
A.2 Systemsoftware 199
A.2.1 Betriebssystem Installation 200
A.2.2 Nameservices 203
A.2.3 NIS (Network Information Service) 204
A.2.4 NFS (Network File System) 206
A.2.5 Remote Shell (rsh) / Secure Shell (ssh) 209
A.2.6 Automatisierung durch Skripte 211
A.3 Programmbibliotheken zur parallelen Programmierung 212
A.3.1 Programmerstellung 213
A.3.2 Die Compiler mpicc, mpiCC und mpif 77 218
A.3.3 Starten und Beenden der Kommunikationsumgebung mit
lamboot und lamwipe 219
A.3.4 Starten von parallelen Programmen mit mpirun 219
A.3.5 MPI Kurzreferenz 220
Literaturverzeichnis 239
Stichwortverzeichnis 243
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