Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler: mit Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
2001
|
| Edition: | 7., durchges. und erw. Aufl. |
| Series: | Viewegs Fachbücher der Technik
|
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XXX, 496 S. zahlr. graph. Darst. |
| ISBN: | 3528644427 |
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Titel: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler
Autor: Papula, Lothar
Jahr: 2001
Lothar Papula
Mathematische
Formelsammlung
für Ingenieure
und Naturwissenschaftler
7., durchgesehene und erweiterte Auflage
Mit zahlreichen Abbildungen
und Rechenbeispielen
und einer ausführlichen Integraltafel
vieweg
VII
Inhaltsverzeichnis
I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie 1
1 Grundlegende Begriffe über Mengen 1
1.1 Definition und Darstellung einer Menge 1
1.2 Mengenoperationen 2
2 Rechnen mit reellen Zahlen 2
2.1 Reelle Zahlen und ihre Eigenschaften 2
2.1.1 Natürliche und ganze Zahlen 2
2.1.2 Rationale, irrationale und reelle Zahlen 4
2.1.3 Rundungsregeln für reelle Zahlen 5
2.1.4 Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengerade 5
2.1.5 Grundrechenarten 6
2.2 Zahlensysteme 7
2.3 Intervalle 8
2.4 Bruchrechnung 8
2.5 Potenzen und Wurzeln 10
2.6 Logarithmen 12
2.7 Binomischer Lehrsatz 14
3 Elementare (endliche) Reihen 16
3.1 Definition einer Reihe 16
3.2 Arithmetische Reihen 16
3.3 Geometrische Reihen 16
3.4 Spezielle Zahlenreihen 16
4 Gleichungen mit einer Unbekannten 17
4.1 Algebraische Gleichungen w-ten Grades 17
4.1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen 17
4.1.2 Lineare Gleichungen 18
4.1.3 Quadratische Gleichungen 18
4.1.4 Kubische Gleichungen 19
4.1.5 Bi-quadratische Gleichungen 20
4.2 Allgemeine Lösungshinweise für Gleichungen 21
4.3 Graphisches Lösungsverfahren 22
4.4 Regula falsi 23
4.5 Tangentenverfahren von Newton 24
5 Ungleichungen mit einer Unbekannten 25
VIII Inhaltsverzeichnis
6 Lehrsätze aus der elementaren Geometrie 26
6.1 Satz des Pythagoras 26
6.2 Höhensatz 26
6.3 Kathetensatz (Euklid) 27
6.4 Satz des Thaies 27
6.5 Strahlensätze 27
6.6 Sinussatz 28
6.7 Kosinussatz 28
7 Ebene geometrische Körper (Planimetrie) 28
7.1 Dreiecke 28
7.1.1 Allgemeine Beziehungen 28
7.1.2 Spezielle Dreiecke 29
7.1.2.1 Rechtwinkliges Dreieck 29
7.1.2.2 Gleichschenkliges Dreieck 29
7.1.2.3 Gleichseitiges Dreieck 30
7.2 Quadrat 30
7.3 Rechteck 30
7.4 Parallelogramm 31
7.5 Rhombus oder Raute 31
7.6 Trapez 31
7.7 Reguläres «-Eck 32
7.8 Kreis 32
7.9 Kreissektor oder Kreisausschnitt 32
7.10 Kreissegment oder Kreisabschnitt 32
7.11 Kreisring 33
7.12 Ellipse 33
8 Räumliche geometrische Körper (Stereometrie) 33
8.1 Prisma 33
8.2 Würfel 34
8.3 Quader 34
8.4 Pyramide 34
8.5 Pyramidenstumpf 35
8.6 Tetraeder oder dreiseitige Pyramide 35
8.7 Keil 36
8.8 Gerader Kreiszylinder 36
8.9 Gerader Kreiskegel 36
8.10 Gerader Kreiskegelstumpf 37
8.11 Kugel 37
8.12 Kugelausschnitt oder Kugelsektor 37
8.13 Kugelschicht oder Kugelzone 38
8.14 Kugelabschnitt, Kugelsegment, Kugelkappe oder Kalotte 38
8.15 Ellipsoid 38
8.16 Rotationsparaboloid 39
8.17 Tonne oder Faß 39
8.18 Torus 40
8.19 Guldinsche Regeln für Rotationskörper 40
Inhaltsverzeichnis IX
9 Koordinatensysteme 41
9.1 Ebene Koordinatensysteme 41
9.1.1 Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten 41
9.1.2 Polarkoordinaten 42
9.1.3 Koordinatentransformationen 42
9.1.3.1 Parallelverschiebung eines kartesischen
Koordinatensystems 42
9.1.3.2 Zusammenhang zwischen den kartesischen und
den Polarkoordinaten 42
9.1.3.3 Drehung eines kartesischen Koordinatensystems 43
9.2 Räumliche Koordinatensysteme 44
9.2.1 Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten 44
9.2.2 Zylinderkoordinaten 44
9.2.3 Zusammenhang zwischen den kartesischen und
den Zylinderkoordinaten 44
9.2.4 Kugelkoordinaten 45
9.2.5 Zusammenhang zwischen den kartesischen und
den Kugelkoordinaten 45
II Vektorrechnung 46
1 Grundbegriffe 46
1.1 Vektoren und Skalare 46
1.2 Spezielle Vektoren 46
1.3 Gleichheit von Vektoren 47
1.4 Kollineare, parallele und anti-parallele Vektoren, inverser Vektor 47
2 Komponentendarstellung eines Vektors 48
2.1 Komponentendarstellung in einem kartesischen Koordinatensystem 48
2.2 Komponentendarstellung spezieller Vektoren 48
2.3 Betrag und Richtungswinkel eines Vektors 49
3 Vektoroperationen 50
3.1 Addition und Subtraktion von Vektoren 50
3.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 51
3.3 Skalarprodukt (inneres Produkt) 51
3.4 Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt) 53
3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt) 55
3.6 Formeln für Mehrfachprodukte 56
4 Anwendungen 56
4.1 Arbeit einer konstanten Kraft 56
4.2 Vektorielle Darstellung einer Geraden 57
4.2.1 Punkt-Richtungs-Form 57
4.2.2 Zwei-Punkte-Form 57
4.2.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden 58
Inhaltsverzeichnis
4.2.4 Abstand zweier paralleler Geraden 58
4.2.5 Abstand zweier windschiefer Geraden 59
4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden 60
4.3 Vektorielle Darstellung einer Ebene 60
4.3.1 Punkt-Richtungs-Form 60
4.3.2 Drei-Punkte-Form 61
4.3.3 Ebene senkrecht zu einem Vektor 62
4.3.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene 62
4.3.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene 63
4.3.6 Abstand zweier paralleler Ebenen 64
4.3.7 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene. . . 65
4.3.8 Schnittwinkel zweier Ebenen 66
III Funktionen und Kurven 67
1 Grundbegriffe 67
1.1 Definition einer Funktion 67
1.2 Darstellungsformen einer Funktion 67
1.2.1 Analytische Darstellung 67
1.2.2 Parameterdarstellung 67
1.2.3 Kurvengleichung in Polarkoordinaten 68
1.2.4 Graphische Darstellung 68
2 Allgemeine Funktionseigenschaften 68
2.1 Nullstellen 68
2.2 Symmetrie 69
2.3 Monotonie 69
2.4 Periodizität 70
2.5 Umkehrfunktion (inverse Funktion) 70
3 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion 71
3.1 Grenzwert einer Folge 71
3.2 Grenzwert einer Funktion 72
3.2.1 Grenzwert für x --* XQ 72
3.2.2 Grenzwert für x --· ± oo 72
3.3 Rechenregeln für Grenzwerte 72
3.4 Grenzwertregel von Bernoulli und de 1'Hospital 73
3.5 Stetigkeit einer Funktion 74
4 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 75
4.1 Definition der ganzrationalen Funktionen 75
4.2 Lineare Funktionen (Geraden) 75
4.2.1 Allgemeine Geradengleichung 75
4.2.2 Hauptform einer Geraden 75
4.2.3 Punkt-Steigungs-Form einer Geraden 75
4.2.4 Zwei-Punkte-Form einer Geraden 76
Inhaltsverzeichnis XI
4.2.5 Achsenabschnittsform einer Geraden 76
4.2.6 Hessesche Normalform einer Geraden 76
4.2.7 Abstand eine Punktes von einer Geraden 76
4.2.8 Schnittwinkel zweier Geraden 77
4.3 Quadratische Funktionen (Parabeln) 77
4.3.1 Hauptform einer Parabel 77
4.3.2 Produktform einer Parabel 78
4.3.3 Scheitelpunktsform einer Parabel 78
4.4 Polynomfunktionen höheren Grades (n-ten Grades) 78
4.4.1 Abspaltung eines Linearfaktors 78
4.4.2 Nullstellen einer Polynomfunktion 78
4.4.3 Produktdarstellung einer Polynomfunktion 78
4.5 Horner-Schema 79
4.6 Reduzierung einer Polynomfunktion (Nullstellenberechnung) 80
4.7 Interpolationspolynome 81
4.7.1 Allgemeine Vorbetrachtungen 81
4.7.2 Interpolationsformel von Lagrange 81
4.7.3 Interpolationsformel von Newton 83
5 Gebrochenrationale Funktionen 85
5.1 Definition der gebrochenrationalen Funktionen 85
5.2 Nullstellen, Defmitionslücken, Pole 86
5.3 Asymptotisches Verhalten im Unendlichen 87
6 Potenz- und Wurzelfunktionen 87
6.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten 87
6.2 Wurzelfunktionen 89
6.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten 89
7 Trigonometrische Funktionen 90
7.1 Winkelmaße 90
7.2 Definition der trigonometrischen Funktionen 91
7.3 Sinus- und Kosinusfunktion 92
7.4 Tangens- und Kotangensfunktion 93
7.5 Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen 93
7.6 Trigonometrische Formeln 94
7.6.1 Additionstheoreme 94
7.6.2 Formeln für halbe Winkel 95
7.6.3 Formeln für Winkelvielfache 95
7.6.4 Formeln für Potenzen 96
7.6.5 Formeln für Summen und Differenzen 96
7.6.6 Formeln für Produkte 97
7.7 Anwendungen in der Schwingungslehre 97
7.7.1 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion 97
7.7.2 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen) 98
7.7.2.1 Gleichung einer harmonischen Schwingung 98
7.7.2.2 Darstellung einer harmonischen Schwingung
im Zeigerdiagramm 98
XII Inhaltsverzeichnis
7.7.3 Superposition (Überlagerung) gleichfrequenter
harmonischer Schwingungen 99
8 Arkusfunktionen 100
8.1 Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion 100
8.2 Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion 101
8.3 Wichtige Beziehungen zwischen den Arkusfunktionen 102
9 Exponentialfunktionen 103
9.1 Definition der Exponentialfunktionen 103
9.2 Spezielle Exponentialfunktionen aus den Anwendungen 104
9.2.1 Abklingfunktion 104
9.2.2 Sättigungsfunktion 104
9.2.3 Gauß-Funktion (Gaußsche Glockenkurve) 105
9.2.4 Kettenlinie 105
10 Logarithmusfunktionen 106
10.1 Definition der Logarithmusfunktionen 106
10.2 Spezielle Logarithmusfunktionen 106
11 Hyperbelfunktionen 107
11.1 Definition der Hyperbelfunktionen 107
11.2 Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen 108
11.3 Formeln 109
11.3.1 Additionstheoreme 109
11.3.2 Formeln für halbe Argumente 109
11.3.3 Formeln für Vielfache des Arguments 110
11.3.4 Formeln für Potenzen 110
11.3.5 Formeln für Summen und Differenzen 111
11.3.6 Formeln für Produkte 111
11.3.7 Formel von Moivre 111
12 Areafunktionen 112
12.1 Definition der Areafunktionen 112
12.2 Wichtige Beziehungen zwischen den Areafunktionen 113
13 Kegelschnitte 114
13.1 Allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes 114
13.2 Kreis 114
13.2.1 Geometrische Definition 115
13.2.2 Mittelpunktsgleichung eines Kreises (Ursprungsgleichung) 115
13.2.3 Kreis in allgemeiner Lage (Hauptform) 115
13.2.4 Gleichung eines Kreises in Polarkoordinaten 115
13.2.5 Parameterdarstellung eines Kreises 115
Inhaltsverzeichnis XIII
13.3 Ellipse 116
13.3.1 Geometrische Definition 116
13.3.2 Mittelpunktsgleichung einer Ellipse (Ursprungsgleichung) 116
13.3.3 Ellipse in allgemeiner Lage (Hauptform) 116
13.3.4 Gleichung einer Ellipse in Polarkoordinaten 117
13.3.5 Parameterdarstellung einer Ellipse 117
13.4 Hyperbel 118
13.4.1 Geometrische Definition 118
13.4.2 Mittelpunktsgleichung einer Hyperbel (Ursprungsgleichung) 118
13.4.3 Hyperbel in allgemeiner Lage (Hauptform) 118
13.4.4 Gleichung einer Hyperbel in Polarkoordinaten 119
13.4.5 Parameterdarstellung einer Hyperbel 120
13.4.6 Gleichung einer um 90° gedrehten Hyperbel 120
13.4.7 Gleichung einer gleichseitigen oder rechtwinkligen Hyperbel
(a = b) 120
13.5 Parabel 121
13.5.1 Geometrische Definition 121
13.5.2 Scheitelgleichung einer Parabel 121
13.5.3 Parabel in allgemeiner Lage (Hauptform) 121
13.5.4 Gleichung einer Parabel in Polarkoordinaten 122
13.5.5 Parameterdarstellung einer Parabel 122
14 Spezielle Kurven 123
14.1 Gewöhnliche Zykloide (Rollkurve) 123
14.2 Epizykloide 123
14.3 Hypozykloide 124
14.4 Astroide (Sternkurve) 125
14.5 Kardioide (Herzkurve) 125
14.6 Lemniskate (Schleifenkurve) 126
14.7 Strophoide 126
14.8 Cartesisches Blatt 127
14.9 ,,Kleeblatt" mit n bzw. 2« Blättern 127
14.10 Spiralen 128
14.10.1 Archimedische Spirale 128
14.10.2 Logarithmische Spirale 128
IV Differentialrechnung 129
1 Differenzierbarkeit einer Funktion 129
1.1 Differenzenquotient 129
1.2 Differentialquotient oder 1. Ableitung 129
1.3 Ableitungsfunktion 129
1.4 Höhere Ableitungen 130
1.5 Differential einer Funktion 130
2 Erste Ableitung der elementaren Funktionen (Tabelle) 131
XIV Inhaltsverzeichnis
3 Ableitungsregeln 132
3.1 Faktorregel 132
3.2 Summenregel 132
3.3 Produktregel 132
3.4 Quotientenregel 133
3.5 Kettenregel 133
3.6 Logarithmische Differentiation 134
3.7 Ableitung der Umkehrfunktion 134
3.8 Implizite Differentiation 135
3.9 Ableitungen einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve). . . . 135
3.10 Ableitungen einer in Polarkoordination dargestellten Kurve 136
4 Anwendungen der Differentialrechnung 136
4.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung einer geradlinigen Bewegung 136
4.2 Tangente und Normale 137
4.3 Linearisierung einer Funktion 137
4.4 Charakteristische Kurvenpunkte 138
4.4.1 Geometrische Deutung der 1. und 2. Ableitung 138
4.4.2 Relative Extremwerte (Maxima, Minima) 138
4.4.3 Wendepunkte, Sattelpunkte 140
V Integralrechnung 141
1 Bestimmtes Integral 141
1.1 Definition eines bestimmten Integrals 141
1.2 Berechnung eines bestimmten Integrals 142
1.3 Elementare Integrationsregeln für bestimmte Integrale 143
2 Unbestimmtes Integral 144
2.1 Definition eines unbestimmten Integrals 144
2.2 Allgemeine Eigenschaften der unbestimmten Integrale 144
2.3 Tabelle der Grund- oder Stammintegrale 146
3 Integrationsmethoden 147
3.1 Integration durch Substitution 147
3.1.1. Allgemeines Verfahren 147
3.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen (Tabelle) 148
3.2 Partielle Integration (Produktionsintegration) 150
3.3 Integration einer gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung
des Integranden 151
3.3.1 Partialbruchzerlegung 151
3.3.2 Integration der Partialbrüche 154
3.4 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden 155
3.5 Numerische Integration 155
3.5.1 Trapezformel 155
3.5.2 Simpsonsche Formel 156
3.5.3 Romberg-Verfahren 158
Inhaltsverzeichnis XV
4 Uneigentliche Integrale 161
4.1 Unendliches Integrationsintervall 161
4.2 Integrand mit Pol 161
5 Anwendungen der Integralrechnung 162
5.1 Integration der Bewegungsgleichung 162
5.2 Arbeit einer ortsabhängigen Kraft (Arbeitsintegral) 162
5.3 Lineare und quadratische Mittelwerte einer Funktion 163
5.3.1 Linearer Mittelwert 163
5.3.2 Quadratischer Mittelwert 163
5.3.3 Zeitliche Mittelwerte einer periodischen Funktion 163
5.4 Flächeninhalt 163
5.5 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche 165
5.6 Flächenträgheitsmomente (Flächenmomente 2. Grades) 166
5.7 Bogenlänge einer ebenen Kurve 166
5.8 Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsvolumen) 167
5.9 Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche) 168
5.10 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers 169
5.11 Massenträgheitsmoment eines homogenen Körpers 170
VI Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen 172
1 Unendliche Reihen 172
1.1 Grundbegriffe 172
1.1.1 Definition einer unendlichen Reihe 172
1.1.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe 172
1.2 Konvergenzkriterien 173
1.2.1 Quotientenkriterium 173
1.2.2 Wurzelkriterium 174
1.2.3 Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen 174
1.3 Spezielle konvergente Reihen 174
2 Potenzreihen 175
2.1 Definition einer Potenzreihe 175
2.2 Konvergenzradius und Konvergenzbereich einer Potenzreihe 176
2.3 Wichtige Eigenschaften der Potenzreihen 176
3 Taylor-Reihen 177
3.1 Taylorsche und Mac Laurinsche Formel 177
3.1.1 Taylorsche Formel 177
3.1.2 Mac Laurinsche Formel 177
3.2 Taylorsche Reihe 178
3.3 Mac Laurinsche Reihe 178
3.4 Spezielle Potenzreihenentwicklungen (Tabelle) 179
3.5 Näherungspolynome einer Funktion (mit Tabelle) 181
XVI Inhaltsverzeichnis
4 Fourier-Reihen 183
4.1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion 183
4.2 Fourier-Zerlegung einer nichtsinusförmigen Schwingung 185
4.3 Spezielle Fourier-Reihen (Tabelle) 186
VII Lineare Algebra 189
1 Reelle Matrizen 189
1.1 Grundbegriffe 189
1.1.1 Definition einer reellen Matrix 189
1.1.2 Spezielle Matrizen 190
1.1.3 Gleichheit von Matrizen 190
1.2 Spezielle quadratische Matrizen 190
1.2.1 Diagonalmatrix 191
1.2.2 Einheitsmatrix 191
1.2.3 Dreiecksmatrix 191
1.2.4 Symmetrische Matrix 191
1.2.5 Schiefsymmetrische Matrix 191
1.2.6 Orthogonale Matrix 192
1.3 Rechenoperationen für Matrizen 192
1.3.1 Addition und Subtraktion von Matrizen 192
1.3.2 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar 192
1.3.3 Multiplikation von Matrizen 193
1.4 Reguläre Matrix 194
1.5 Inverse Matrix 194
1.5.1 Definition einer inversen Matrix 194
1.5.2 Berechnung einer inversen Matrix 195
1.5.2.1 Berechnung der inversen Matrix A~'
unter Verwendung von Unterdeterminanten 195
1.5.2.2 Berechnung der inversen Matrix A_1
nachdem
Gaußschen Algorithmus (Gauß-Jordan-Verfahren) 195
1.6 Rang einer Matrix 196
1.6.1 Definitionen 196
1.6.1.1 Unterdeterminanten einer Matrix 196
1.6.1.2 Rang einer Matrix 196
1.6.1.3 Elementare Umformungen einer Matrix 196
1.6.2 Rangbestimmung einer Matrix 197
1.6.2.1 Rangbestimmung einer (m, n)-Matrix A
unter Verwendung von Unterdeterminanten 197
1.6.2.2 Rangbestimmung einer (m, «)-Matrix A
mit Hilfe elementarer Umformungen 197
2 Determinanten 198
2.1 Zweireihige Determinanten 198
2.2 Dreireihige Determinanten 199
2.3 Determinanten höherer Ordnung 200
2.3.1 Unterdeterminate Dik 200
2.3.2 Algebraisches Komplement (Adjunkte) A 200
2.3.3 Definition einer «-reihigen Determinante 200
Inhaltsverzeichnis XVII
2.4 Laplacescher Entwicklungssatz 201
2.5 Rechenregeln für w-reihige Determinanten 201
2.6 Regeln zur praktischen Berechnung einer «-reihigen Determinante 203
2.6.1 Elementare Umformungen einer «-reihigen Determinante 203
2.6.2 Reduzierung und Berechnung einer «-reihigen Determinante 203
3 Lineare Gleichungssysteme 204
3.1 Grundbegriffe 204
3.1.1 Definition eines linearen Gleichungssystems 204
3.1.2 Spezielle lineare Gleichungssysteme 204
3.2 Lösungsverhalten eines linearen (m, «)-Gleichungssystems 205
3.2.1 Kriterium für die Lösbarkeit eines linearen (m, n)-Systems
Ax = c 205
3.2.2 Lösungsmenge eines linearen (m, «)-Systems Ax = c 205
3.3 Lösungsverhalten eines quadratischen linearen Gleichungssystems 206
3.4 Lösungsverfahren für ein lineares Gleichungssystem nach Gauß
(Gaußscher Algorithmus) 207
3.4.1 Äquivalente Umformungen eines linearen (m, «)-Systems 207
3.4.2 Gaußscher Algorithmus 207
3.5 Cramersche Regel 210
3.6 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren 210
4 Komplexe Matrizen 211
4.1 Definition einer komplexen Matrix 211
4.2 Rechenoperationen und Rechenregeln für komplexe Matrizen 212
4.3 Konjugiert komplexe Matrix 212
4.4 Konjugiert transponierte Matrix 213
4.5 Spezielle komplexe Matrizen 213
4.5.1 Hermitesche Matrix 213
4.5.2 Schiefthermitesche Matrix 213
4.5.3 Unitäre Matrix 214
5 Eigenwertprobleme 214
5.1 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix 214
5.2 Eigenwerte und Eigenvektoren spezieller «-reihiger Matrizen 216
VIII Komplexe Zahlen und Funktionen 217
1 Darstellungsformen einer komplexen Zahl 217
1.1 Algebraische oder kartesische Form 217
1.2 Polarformen 218
1.2.1 Trigonometrische Form 218
1.2.2 Exponentialform 218
1.3 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen 219
1.3.1 Polarform --· Kartesische Form 219
1.3.2 Kartesische Form -- Polarform 219
Inhaltsverzeichnis
2 Grundrechenarten für komplexe Zahlen 220
2.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen 220
2.2 Multiplikation komplexer Zahlen 220
2.3 Division komplexer Zahlen 221
3 Potenzieren 222
4 Radizieren (Wurzelziehen) 223
5 Natürlicher Logarithmus einer komplexen Zahl 224
6 Ortskurven 225
6.1 Komplexwertige Funktion einer reellen Variablen 225
6.2 Ortskurve einer parameterabhängigen komplexen Zahl 225
6.3 Inversion einer Ortskurve 226
7 Komplexe Funktionen 227
7.1 Definition einer komplexen Funktion 227
7.2 Definitionsgleichungen einiger elementarer Funktionen 227
7.2.1 Trigonometrische Funktionen 227
7.2.2 Hyperbelfunktionen 227
7.2.3 Exponentialfunktion (e-Funktion) 228
7.3 Wichtige Beziehungen und Formeln 228
7.3.1 Eulersche Formeln 228
7.3.2 Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Funktionen
und der komplexen e-Funktion 228
7.3.3 Trigonometrische und Hyperbelfunktionen mit imaginärem
Argument 228
7.3.4 Additionstheoreme der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen
für komplexes Argument 228
7.3.5 Arkus- und Areafunktionen mit imaginärem Argument 229
8 Anwendungen in der Schwingungslehre 229
8.1 Darstellung einer harmonischen Schwingung durch einen rotierenden
komplexen Zeiger 229
8.2 Ungestörte Überlagerung gleichfrequenter harmonischer Schwingungen
(,,Superpositionsprinzip") 230
IX Differential- und Integralrechnung für Funktionen
von mehreren Variablen 232
1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung 232
1.1 Definition einer Funktion von mehreren Variablen 232
1.2 Darstellungsformen einer Funktion von zwei Variablen 232
1.2.1 Analytische Darstellung 232
1.2.2 Graphische Darstellung 233
1.2.2.1 Darstellung einer Funktion als Fläche im Raum 233
1.2.2.2 Schnittkurvendiagramme 233
1.2.2.3 Höhenliniendiagramm 233
Inhaltsverzeichnis XIX
1.3 Spezielle Flächen (Funktionen) 234
1.3.1 Ebenen 234
1.3.2 Rotationsflächen 234
1.3.2.1 Gleichung einer Rotationsfläche 234
1.3.2.2 Spezielle Rotationsflächen 235
2 Partielle Differentiation 236
2.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung 236
2.1.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung von z = f(x; v) 236
2.1.2 Partielle Ableitungen 1. Ordnung von y = f{x\; x2;.; x,,) . . . . 237
2.2 Partielle Ableitungen höherer Ordnung 238
2.3 Totales oder vollständiges Differential einer Funktion 239
2.4 Anwendungen 241
2.4.1 Linearisierung einer Funktion 241
2.4.2 Relative Extremwerte (Maxima, Minima) 242
3 Mehrfachintegrale 244
3.1 Doppelintegrale 244
3.1.1 Definition eines Doppelintegrals 244
3.1.2 Berechnung eines Doppelintegrals in kartesischen Koordinaten. . . 245
3.1.3 Berechnung eines Doppelintegrals in Polarkoordinaten 247
3.1.4 Anwendungen 247
3.1.4.1 Flächeninhalt 247
3.1.4.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenene Fläche 248
3.1.4.3 Flächenträgheitsmomente (Flächenmomente 2. Grades) 249
3.2 Dreifachintegrale 250
3.2.1 Definition eines Dreichfachintegrals 250
3.2.2 Berechnung eines Dreichfachintegrals in kartesischen
Koordinaten 251
3.2.3 Berechnung eines Dreifachintegrals in Zylinderkoordinaten 253
3.2.4 Berechnung eines Dreifachintegrals in Kugelkoordinaten 253
3.2.5 Anwendungen 254
3.2.5.1 Volumen eines zylindrischen Körpers 254
3.2.5.2 Schwerpunkt eines homogenen Körpers 254
3.2.5.3 Massenträgheitsmoment eines homogenen Körpers 255
X Gewöhnliche Differentialgleichungen 257
1 Grundbegriffe 257
1.1 Definition einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung 257
1.2 Lösungen einer Differentialgleichung 257
1.3 Anfangswertprobleme 257
1.4 Randwertprobleme 258
2 Differentialgleichungen 1. Ordnung 258
2.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung mit trennbaren Variablen 258
2.2 Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung, die durch Substitutionen
lösbar sind (Tabelle) 259
XX Inhaltsverzeichnis
2.3 Exakte Differentialgleichungen 1. Ordnung 260
2.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung 261
2.4.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung 261
2.4.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung 261
2.4.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung 261
2.4.3.1 Integration durch Variation der Konstanten 261
2.4.3.2 Integration durch Aufsuchen einer partikulären Lösung 262
2.4.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten 262
2.5 Numerische Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung 264
2.5.1 Streckenzugverfahren von Euler 264
2.5.2 Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung 266
2.5.3 Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung 267
3 Differentialgleichungen 2. Ordnung 270
3.1 Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung, die sich auf
Differentialgleichungen 1. Ordnung zurückführen lassen 270
3.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 271
3.2.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten 271
3.2.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung 271
3.2.2.1 Wronski-Determinante 271
3.2.2.2 Allgemeine Lösung der homogenen Differential-
gleichung 271
3.2.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung 272
3.3 Numerische Integration einer Differentialgleichung 2. Ordnung 275
4 Anwendungen 278
4.1 Mechanische Schwingungen 278
4.1.1 Allgemeine Schwingungsgleichung der Mechanik 278
4.1.2 Freie ungedämpfte Schwingung 278
4.1.3 Freie gedämpfte Schwingung 279
4.1.3.1 Schwache Dämpfung (Schwingungsfall) 279
4.1.3.2 Aperiodischer Grenzfall 280
4.1.3.3 Aperiodische Schwingung (Kriechfall) 280
4.1.4 Erzwungene Schwingung 281
4.1.4.1 Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung . . . . 281
4.1.4.2 Stationäre Lösung 281
4.2 Elektromagnetische Schwingungen in einem Reihenschwingkreis 282
5 Lineare Differentialgleichungen w-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 283
5.1 Definition einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten 283
5.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung 283
5.2.1 Wronski-Determinante 283
5.2.2 Allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung 284
5.2.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung 285
Inhaltsverzeichnis XXI
6 Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten 286
6.1 Grundbegriffe 286
6.2 Integration des homogenen linearen Systems 287
6.3 Integration des inhomogenen linearen Systems 288
6.3.1 Integration durch Aufsuchen einer partikulären Lösung 288
6.3.2 Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren 288
XI Fehler- und Ausgleichsrechnung 290
1 Gaußsche Normalverteilung 290
2 Auswertung einer Meßreihe 291
3 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz 294
3.1 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz für eine Funktion
von zwei unabhängigen Variablen 294
3.2 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz für eine Funktion
von n unabhängigen Variablen 296
4 Lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz 296
5 Ausgleichskurven 298
5.1 Ausgleichung nach dem Gaußschen Prinzip der kleinsten Quadrate 298
5.2 Ausgleichs- oder Regressionsgerade 299
5.3 Ausgleichs- oder Regressionsparabel 301
XII Laplace-Transformationen 302
1 Grundbegriffe 302
2 Allgemeine Eigenschaften der Laplace-Transformation 303
2.1 Linearität (Satz über Linearkombinationen) 303
2.2 Ähnlichkeitssatz 304
2.3 Verschiebungssätze 304
2.4 Dämpfungssatz 306
2.5 Ableitungssätze 306
2.5.1 Ableitungssatz für die Originalfunktion 306
2.5.2 Ableitungssatz für die Bildfunktion 307
2.6 Integralsätze 308
2.6.1 Integralsatz für die Originalfunktion 308
2.6.2 Integralsatz für die Bildfunktion 309
2.7 Faltungssatz 309
2.8 Grenzwertsätze 310
3 Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion 311
4 Laplace-Transformierte spezieller Funktionen (Impulse) 312
XXII Inhaltsverzeichnis
5 Anwendung: Lösung linearer Anfangswertprobleme 318
5.1 Allgemeines Lösungsverfahren 318
5.2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 319
5.3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 320
6 Tabelle spezieller Laplace-Transformationen 321
XIII Vektoranalysis 326
1 Ebene und räumliche Kurven 326
1.1 Vektorielle Darstellung einer Kurve 326
1.2 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter 327
1.2.1 Ableitung einer Vektorfunktion 327
1.2.2 Tangentenvektor 327
1.2.3 Ableitungsregeln für Summen und Produkte 327
1.2.4 Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor
eines Massenpunktes 328
1.3 Bogenlänge einer Kurve 329
1.4 Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor einer Kurve 329
1.5 Krümmung einer Kurve 330
2 Flächen im Raum 332
2.1 Vektorielle Darstellung einer Fläche 332
2.2 Flächenkurven 333
2.3 Flächennormale und Flächenelement 333
2.4 Tangentialebene 334
2.4.1 Tangentialebene beim Flächentyp r = r(u; v) 334
2.4.2 Tangentialebene beim Flächentyp z = f(x; y) 335
2.4.3 Tangentialebene beim Flächentyp F(x; y; z) = 0 335
3 Skalar- und Vektorfelder 336
3.1 Skalarfelder 336
3.2 Vektorfelder 336
4 Gradient eines Skalarfeldes 338
5 Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes 340
5.1 Divergenz eines Vektorfeldes 340
5.2 Rotation eines Vektorfeldes 341
5.3 Spezielle Vektorfelder 342
6 Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator
in speziellen Koordinatensystemen 343
6.1 Darstellung in Polarkoordinaten 343
6.2 Darstellung in Zylinderkoordinaten 345
6.3 Darstellung in Kugelkoordinaten 348
Inhaltsverzeichnis XXIII
7 Linien- oder Kurvenintegrale 350
7.1 Linienintegral in der Ebene 350
7.2 Linienintegral im Raum 352
7.3 Wegunabhängigkeit eines Linien- oder Kurvenintegrals 352
7.4 Konservative Vektorfelder 353
7.5 Arbeitsintegral (Arbeit eines Kraftfeldes) 354
8 Oberflächenintegrale 355
8.1 Definition eines Oberflächenintegrals 355
8.2 Berechnung eines Oberflächenintegrals 356
8.2.1 Berechnung eines Oberflächenintegrals in symmetriegerechten
Koordinaten 356
8.2.2 Berechnung eines Oberflächenintegrals unter Verwendung
von Flächenparametern 357
9 Integralsätze von Gauß und Stokes 358
9.1 Gaußscher Integralsatz 358
9.2 Stokes'scher Integralsatz 359
XIV Wahrscheinlichkeitsrechnung 361
1 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 361
1.1 Permutationen 361
1.2 Kombinationen 362
1.3 Variationen 362
2 Grundbegriffe 363
3 Wahrscheinlichkeit 365
3.1 Absolute und relative Häufigkeit 365
3.2 Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogoroff 366
3.3 Laplace-Experimente 366
3.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit 367
3.5 Multiplikationssatz 367
3.6 Stochastisch unabhängige Ereignisse 368
3.7 Mehrstufige Zufallsexperimente 368
4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen 370
4.1 Zufallsvariable 370
4.2 Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen 371
4.3 Kennwerte oder Maßzahlen einer Verteilung 373
5 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 375
5.1 Binomialverteilung 375
5.2 Hypergeometrische Verteilung 377
5.3 Poisson-Verteilung 379
5.4 Approximationen diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Tabelle) 380
Inhaltsverzeichnis
6 Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen 381
6.1 Gaußsche Normalverteilung 381
6.1.1 Allgemeine Normalverteilung 381
6.1.2 Standardnormalverteilung 382
6.1.3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der tabellierten
Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung 383
6.1.4 Quantile der Standardnormalverteilung 384
6.2 Exponentialverteilung 385
7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen 386
7.1 Mehrdimensionale Zufallsvariable 386
7.2 Summen, Linearkombinationen und Produkte von Zufallsvariablen 388
7.2.1 Additionssätze für Mittelwerte und Varianzen 388
7.2.2 Multiplikationssatz für Mittelwerte 389
7.2.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Summe 389
8 Prüf- und Testverteilungen 390
8.1 Chi-Quadrat-Verteilung (,, X2
-Verteilung") 390
8.2 t-Verteilung von Student 392
XV Grundlagen der mathematischen Statistik 394
1 Grundbegriffe 394
1.1 Zufallsstichproben aus einer Grundgesamtheit 394
1.2 Häufigkeitsverteilung einer Stichprobe 395
1.3 Gruppierung der Stichprobenwerte bei umfangreichen Stichproben 397
2 Kennwerte oder Maßzahlen einer Stichprobe 400
2.1 Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer Stichprobe 400
2.2 Berechnung der Kennwerte unter Verwendung der Häufigkeitsfunktion . . . . 402
2.3 Berechnung der Kennwerte einer gruppierten Stichprobe 403
3 Statistische Schätzmethoden für unbekannte Parameter
(,,Parameterschätzungen") 404
3.1 Aufgaben der Parameterschätzung 404
3.2 Schätzfunktionen und Schätzwerte für unbekannte Parameter
(,,Punktschätzungen") 404
3.2.1 Schätz- und Stichprobenfunktionen 404
3.2.2 Schätzungen für den Mittelwert fi und die Varianz o2
405
3.2.3 Schätzungen für einen Anteilswert p
(Parameter p einer Binomialverteilung) 406
3.2.4 Schätzwerte für die Parameter spezieller Wahrscheinlichkeits-
verteilungen 406
3.3 Vertrauens- oder Konfidenzintervalle für unbekannte Parameter
(,,Intervallschätzungen") 407
Inhaltsverzeichnis XXV
3.3.1 Vertrauens- oder Konfidenzintervalle 407
3.3.2 Vertrauensintervalle für den unbekannten Mittelwert [i
einer Normalverteilung bei bekannter Varianz o2
408
3.3.3 Vertrauensintervalle für den unbekannten Mittelwert [i
einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz a2
409
3.3.4 Vertrauensintervalle für den unbekannten Mittelwert fi
bei einer beliebigen Verteilung 410
3.3.5 Vertrauensintervalle für die unbekannte Varianz o2
einer Normalverteilung 411
3.3.6 Vertrauensintervalle für einen unbekannten Anteilswert p
(Parameter p einer Binomialverteilung) 412
3.3.7 Musterbeispiel für die Bestimmung eines Vertrauensintervalls . . . . 413
4 Statistische Prüfverfahren für unbekannte Parameter (,,Parametertests") 414
4.1 Statistische Hypothesen und Parametertests 414
4.2 Spezielle Parametertests 415
4.2.1 Test für den unbekannten Mittelwert ji einer Normalverteilung
bei bekannter Varianz o2
415
4.2.2 Test für den unbekannten Mittelwert fi einer Normalverteilung
bei unbekannter Varianz o2
417
4.2.3 Tests für die Gleichheit der unbekannten Mittelwerte //, und fi2
zweier Normalverteilungen (,,Differenzentests") 418
4.2.3.1 Differenzentests für Mittelwerte bei abhängigen
Stichproben 419
4.2.3.2 Differenzentests für Mittelwerte bei unabhängigen
Stichproben 420
4.2.4 Tests für die unbekannte Varianz o2
einer Normalverteilung . . . . 424
4.2.5 Tests für den unbekannten Anteilswert p
(Parameter p einer Binomialverteilung) 426
4.2.6 Musterbeispiel für einen Parametertest 428
5 Chi-Quadrat-Test 429 |
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