Analysis: 3
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Basel ; Boston ; Berlin
Birkhäuser Verlag
(2001)
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| Series: | Grundstudium Mathematik
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort
V
Kapitel
IX
Elemente der Maßtheorie
1 Meßbare Räume ............................. 3
σ
-Algebren
................................. 3
Die Boreische
σ-
Algebra......................... 5
Das zweite Abzählbarkeitsaxiom..................... 6
Erzeugung der Boreischen
σ-
Algebra durch Intervalle......... 8
Basen topologischer Räume ....................... 10
Die Produkttopologie........................... 11
Produkte Borelscher
σ
-Algebren
..................... 12
Die Meßbarkeit von Schnitten...................... 14
2 Maße.................................... 17
Mengenfunktionen............................. 17
Maßräume................................. 18
Eigenschaften von Maßen......................... 18
Nullmengen................................ 20
3 Äußere Maße............................... 24
Die Konstruktion äußerer Maße..................... 24
Das Lebesguesche äußere Maß...................... 25
Lebesgue-Stieltjessche äußere Maße................... 28
Hausdorffsche äußere Maße........................ 29
4 Meßbare Mengen............................. 32
Motivation................................. 32
Die
σ
-Algebra
der /^-meßbaren Mengen ................ 33
Lebesguesche und Hausdorffsche Maße................. 35
Metrische Maße.............................. 36
5 Das Lebesguesche Maß.......................... 41
Der Lebesguesche Maßraum....................... 41
Die Regularität des Lebesgueschen Maßes ............... 42
Eine Charakterisierung Lebesgue meßbarer Mengen.......... 45
Bilder Lebesgue meßbarer Mengen ................... 46
Die Translationsinvarianz des Lebesgueschen Maßes.......... 48
Eine Charakterisierung des Lebesgueschen Maßes........... 49
Die Bewegungsinvarianz des Lebesgueschen Maßes........... 51
Der spezielle Transformationssatz.................... 53
Nicht Lebesgue meßbare Mengen .................... 55
Kapitel
X
Integrationstheorie
1 Meßbare Funktionen........................... 4
Einfache und meßbare Funktionen.................... 64
Ein Meßbarkeitskriterium ........................ 66
Meßbare numerische Funktionen..................... 69
Der Verband der meßbaren numerischen Funktionen.......... 71
Punktweise Grenzwerte meßbarer Funktionen ............. 75
Radonmaße ................................ 76
2 Integrierbare Funktionen......................... 83
Das Integral für einfache Funktionen.................. 83
Die -Ci-Seminorm............................. 85
Das Bochner-Lebesguesche Integral................... 87
Die Vollständigkeit von C ........................ 90
Elementare Eigenschaften des Integrals................. 91
Konvergenz in C ............................. 95
3 Konvergenzsätze ............................. 100
Integration nichtnegativer numerischer Funktionen .......... 100
Der Satz über die monotone Konvergenz................ 103
Das Lemma von Fatou.......................... 104
Integration numerischer Funktionen................... 107
Der Satz von Lebesgue.......................... 107
Parameterintegrale............................ 110
4 Die Lebesgueschen Räume........................ 114
Wesentlich beschränkte Funktionen................... 114
Die Höldersehe und die Minkowskische Ungleichung.......... 115
Die Vollständigkeit der Lebesgueschen Räume............. 118
Ĺľ
-Räume........................ 121
Stetige Funktionen mit kompaktem Träger............... 123
Einbettungen.................... 125
Stetige Linearformon auf L(>.................... 127
Inhalt ix
5 Das n-dimensionale Bochner-Lebesguesche Integral.......... 133
Lebesguesche Maßräume......................... 133
Das Lebesguesche Integral für absolut integrierbare Funktionen ... 135
Eine Charakterisierung Riemann integrierbarer Funktionen...... 138
6 Der Satz von Fubini............................ 143
Fast-überall definierte Abbildungen................... 143
Das Cavalierische Prinzip......................... 144
Anwendungen des Cavalierischen Prinzips ............... 147
Der Satz von Tonelli ........................... 150
Der Satz von Fubini für
skalaře
Funktionen .............. 151
Der Satz von Fubini für vektorwertige Funktionen........... 154
Die Minkowskische Ungleichung für Integrale.............. 159
Eine Charakterisierung von Lp(Rm+ E)................ 164
Ein Spursatz................................ 165
7 Die Faltung................................ 169
Die Definition der Faltung........................ 169
Translationsgruppen ........................... 172
Elementare Eigenschaften der Faltung ................. 175
Approximative Einheiten......................... 177
Testfunktionen............................... 179
Glatte Zerlegungen der Eins....................... 181
Faltungen Zs-wertiger Funktionen.................... 184
Distributionen............................... 184
Lineare Differentialoperatoren...................... 188
Schwache Ableitungen .......................... 192
8 Der Transformationssatz......................... 198
Inverse
Bilder des Lebesgueschen Maßes ................ 198
Der allgemeine Transformationssatz................... 202
Ebene Polarkoordinaten ......................... 204
«-dimensionale
Polarkoordinaten .................... 205
Integration rotationssymmetrischer Funktionen ............ 209
Der Transformationssatz für vektorwertige Funktionen........ 210
9 Die Fouriertransformation........................ 213
Definition und elementare Eigenschaften................ 213
Der Raum der schnell fallenden Funktionen .............. 215
Die Faltungsalgebra
S
.......................... 2
1>ѕ
Rechenregeln................................ 219
Der Fouriersche Integralsatz....................... 223
Faltungen und Fourierfransfonnatioiien................. 225
Fouriermultiplikarion^operatoren
....................
22·>
Der Satz von Plancherei ......................... 231
x
Inhalt
Symmetrische Operatoren........................ 233
Die Heisenbergsche Unschärferelation.................. 234
Kapitel
XI
Mannigfaltigkeiten und Differentialformen
1
Untermannigfaltigkeiten
......................... 243
Definitionen und elementare Eigenschaften............... 243
Submersionen............................... 250
Berandete Untermannigfaltigkeiten................... 255
Lokale Karten............................... 258
Tangenten und Normalen......................... 260
Der Satz vom regulären Wert ...................... 261
Eindimensionale Mannigfaltigkeiten................... 265
Zerlegungen der Eins........................... 265
2 Multilineare Algebra........................... 269
Äußere Produkte............................. 269
Rücktransformationen .......................... 276
Das Volumenelement........................... 278
Der Rieszsche Isomorphismus ...................... 280
Der Hodgesche Sternoperator ...................... 282
Indefinite innere Produkte........................ 286
Tensoren.................................. 290
3 Die lokale Theorie der Differentialformen................ 294
Definitionen und Basisdarstellungen................... 294
Rücktransformationen .......................... 298
Die äußere Ableitung........................... 302
Das Lemma von
Poincaré
......................... 305
Tensoren.................................. 309
4 Vektorfelder und Differentialformen................... 314
Vektorfelder................................ 314
Lokale Basisdarstellungen ........................ 317
Different ialformen
............................. 318
Lokale Darstellungen........................... 321
Koordinatcntransformationen...................... 327
Die äußere Ableitung........................... 329
Geschlossene und exakte Formen .................... 332
Kontraktionen............................... 332
Orientierbarkeit.............................. 335
Tensorfelder................................ 341
Inhalt xi
5 Riemannsche Metriken.......................... 344
Das Volumenelement........................... 344
Riemannsche Mannigfaltigkeiten..................... 349
Der Sternoperator............................. 360
Die Koableitung.............................. 362
6
Vektoranalysis
............................... 370
Der Rieszsche Isomorphismus ...................... 370
Der Gradient ............................... 373
Die Divergenz............................... 375
Der Laplace-Beltrami Operator..................... 379
Die Rotation................................ 384
Die
Lie-
Ableitung............................. 387
Der Hodge-Laplace Operator....................... 392
Das Vektorprodukt und die Rotation.................. 394
Kapitel XII Integration auf Mannigfaltigkeiten
1 Volumenmaße............................... 403
Die Lebesguesche
σ-
Algebra von
M
................... 403
Die Definition des Volumenmaßes.................... 404
Eigenschaften............................... 409
Integrierbarkeit.............................. 410
Berechnung einiger Volumina ...................... 413
2 Integration von Differentialformen ................... 419
Integrale von m-Formen ......................... 419
Restriktionen auf Untermannigfaltigkeiten............... 421
Der Transformationssatz......................... 426
Der Satz von Fubini............................ 427
Berechnung einiger Integrale....................... 431
Flüsse von Vektorfeldern......................... 434
Das Transporttheorem.......................... 438
3 Der Satz von
Stokes
........................... 442
Der Stokessche Satz für glatte Mannigfaltigkeiten........... 442
Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten.................. 444
Der Stokessche Satz mit Singularitäten................. 448
Ebene Gebiete............................... 452
Höherdimensionale Probleme....................... 454
Homotopieinvarianz und Anwendungen................. 455
Der Gaußsche Integralsatz........................ 459
Die Greenschen Formeln......................... 460
Der klassische Stokessche Satz...................... 462
Der Sternoperator und die Koableitung................. 164
xii Inhalt
Literaturverzeichnis............,.................. 469
Index...................................... 471
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