Grundwissen Mathematik für Ingenieure:
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| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart [u.a.]
Teubner
2001
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| Ausgabe: | 1. Aufl. |
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Titel: Grundwissen Mathematik für Ingenieure
Autor: Richter, Matthias
Jahr: 2001
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 13
1.1 GrundbegrifFe der Logik.13
1.1.1 Aussagen, Elemente und Mengen.13
1.1.2 Aussageformen und Aussagenverbindungen.15
1.1.3 Beweisverfahren.19
1.2 GrundbegrifFe der Mengenlehre .21
1.2.1 Mengenoperationen.21
1.2.2 Losen von Ungleichungen.25
1.2.3 Produktmengen und Abbildungen.27
1.3 Funktionen .33
1.3.1 GrundbegrifFe.33
1.3.2 HilFsFunktionen.35
1.3.3 EigenschaFten von Funktionen.37
1.4 GrundFunktionen.45
1.4.1 Potenzfunktionen.45
1.4.2 WinkelFunktionen.46
1.4.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen.56
1.5 Elementare Funktionen.58
1.5.1 Polynome, ganze rationale Funktionen.58
1.5.2 Gebrochen rationale Funktionen.64
1.5.3 Hyperbolische und Area-Funktionen.65
1.6 Die binomische Formel.69
1.7 Hinweise zur Arbeit mit dem TI-89.70
2 Komplexe Zahlen 71
2.1 Definition der komplexen Zahlen.71
2.2 Darstellungen komplexer Zahlen.73
2.3 Rechenoperationen mit komplexen Zahlen .76
2.4 Potenzieren und Radizieren .80
2.5 Produktdarstellung von Polynomen.84
Inhaltsverzeichnis
8
2.6 Komplexe Zahlen mit dem TI-89.
2.7 Aufgaben.
3 Vektoren
3.1 Grundbegriffe.
3.2 Vektoroperationen .
3.2.1 Addition von Vektoren.
3.2.2 Multiplication eines Vektors mit einer reellen Zahl . . .
3.2.3 Das Skalarprodukt von Vektoren (inneres Produkt) . .
3.2.4 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt, aufieres Produkt) .
3.2.5 Das Spatprodukt.
3.3 Darstellung von Vektoren in der Ebene und im Raum .
3.3.1 Vektordarstellung in der Ebene.
3.3.2 Vektordarstellung im Raum.
3.3.3 Vektoroperationen .
3.4 Anwendungen in der Geometrie.
3.4.1 Parameterdarstellung einer Geraden.
3.4.2 Parameterdarstellung einer Ebene.
3.4.3 Parameterfreie Darstellung einer Ebene.
3.4.4 Parameterfreie Darstellung einer Geraden .
3.4.5 Abstandsprobleme.
3.4.6 Aufgaben.
3.5 Der n-dimensionale Vektorraum Rn.
3.6 Vektoren mit dem TI-89.
4 Matrizen und lineare Gleichungssysteme 125
4.1 Grundbegriffe.125
4.2 Matrizenoperationen .128
4.2.1 Addition von Matrizen.128
4.2.2 Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl . 129
4.2.3 Multiplikation von Matrizen.129
4.2.4 Aufgaben.131
4.2.5 Verflechtungsmodelle.132
4.3 Lineare Gleichungssysteme. 135
4.3.1 Grundbegriffe.135
4.3.2 Gaufi'sches Eliminationsverfahren.137
4.3.3 Losbarkeit linearer Gleichungssysteme .139
4.4 Inverse Matrizen.142
4.5 Determinanten .
4.6 Lineare Unabhangigkeit von Vektoren.148
. 86
. 88
89
. 89
. 90
. 91
. 92
. 93
. 96
. 98
. 99
. 99
. 100
. 101
. 107
. 107
. 109
. Ill
. 113
. 114
. 117
. 119
. 123
Inhal tsverzeichnis 9
4.7 Eigenwerte und Eigenvektoren .152
4.8 Matrizen mit dem TI-89.155
5 Kurven in der Ebene und im Raum 159
5.1 Koordinatensysteme .159
5.2 Ebene Kurven.163
5.2.1 Einfuhrung .163
5.2.2 Darstellung ebener Kurven mit dem TI-89.165
5.2.3 Algebraische Kurven zweiter Ordnung.167
5.2.4 Rollkurven.171
5.2.5 Spiralen.173
5.3 Raumkurven.173
6 Grenzwerte von Folgen und Funktionen 175
6.1 Folgen und Reihen von reellen Zahlen.175
6.1.1 Zahlenfolgen und deren Eigenschaften.175
6.1.2 Grenzwerte von Zahlenfolgen .178
6.1.3 Zahlenreihen.186
6.2 Grenzwerte bei Funktionen.191
6.3 Stetigkeit von Funktionen.199
7 Differenzialrechnung 205
7.1 Ableitung einer Funktion.205
7.2 Ableitung einiger elementarer Funktionen.209
7.3 Ableitungsregeln .211
7.4 Differenzial einer Funktion.217
7.5 Hohere Ableitungen.222
7.6 Differenzialrechnung mit dem TI-89 . 223
7.7 Mittelwertsatz.224
7.8 L'Hospitalsche Regel.225
7.9 Kurvendiskussion.227
7.9.1 Monotonie von Funktionen.227
7.9.2 Kriimmung von Funktionen und Kurven.228
7.9.3 Lokale Extrempunkte von Funktionen.235
7.10 Newtonverfahren.240
7.11 Splines.242
7.12 Extremwertaufgaben.246
10
Inhaitsverzeichnis
8 Integralrechnung
8.1 Bestimmtes Integral.
8.2 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion.
8.3 Integrationsmethoden.
8.3.1 Substitutionsregel.
8.3.2 Partielle Integration .
8.3.3 Integration gebrochen rationaler Funktionen.
8.4 Hauptsatz.
8.5 Uneigentliches Integral.
8.6 Integralrechnung mit dem TI-89.
8.7 Anwendungen.
8.7.1 Bogenlange ebener Kurven.
8.7.2 Volumen und Mantelinhalte von Rotationskorpern . .
8.7.3 Flacheninhalt ebener Flachen.
8.8 Numerische Integration.
8.8.1 Rechteckregel.
8.8.2 Trapezregel.
8.8.3 Simpsonregel.
8.8.4 Beispiele und Folgerungen.
9 Funktionenreihen ^95
9.1 Funktionenfolgen und Funktionenreihen.295
9.2 .^98
9.3 Taylor-Reihen.302
9.4 Fourier-Reihen .308
10 Funktionen mehrerer Variabler 315
10.1 Funktionen zweier Variabler.315
10.2 Funktionen von n Variablen.319
10.3 Differenzialrechnung fiir Funktionen mehrerer Variabler.324
10.3.1 Partielle Ableitungen.324
10.3.2 Totale Differenzierbarkeit und Gradient.327
10.3.3 Totales Differenzial.330
10.3.4 Richtungsableitung.332
10.3.5 Verallgemeinerte Kettenregel.334
10.3.6 Differenziation implizit gegebener Funktionen.336
10.3.7 Taylor-Formel.338
10.3.8 Lokale Extrempunkte.339
10.3.9 Methode der kleinsten Quadrate.343
10.3.10Differenziation von Vektorfunktionen.346
249
. 249
. 250
. 253
. 253
. 255
. 258
. 263
. 267
. 271
. 273
. 273
. 276
. 282
. 287
. 288
. 289
. 289
. 290
\
Inhal tsverzeichnis 11
10.4 Integralrechnung fiir Funktionen mehrerer Vaxiabler.350
10.4.1 Einfiihrung .350
10.4.2 Parameterintegrale.352
10.4.3 Ebene und raumliche Normalbereiche.355
10.4.4 Berechnung von Mehrfachintegralen.358
10.4.5 Transformationen von Integralen .364
10.4.6 Kurvenintegrale.365
11 Differenzialgleichungen 367
11.1 Grundbegriffe.367
11.2 Differenzialgleichungen 1. Ordnung.369
11.2.1 Geometrische Darstellung der Losung.369
11.2.2 Differenzialgleichungen mit trennbaren Variablen . 371
11.2.3 Variation der Konstanten .375
11.2.4 Exakte Differenzialgleichungen.378
11.3 Differenzialgleichungen hoherer Ordnung.381
11.3.1 Spezielle Differenzialgleichungen 2. Ordnung.381
11.3.2 Lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizi-
enten.383
11.4 Differenzialgleichungssysteme .392
11.5 Erganzungen .397
12 Wahrscheinlichkeitsrechnung 399
12.1 Zufallige Ereignisse.399
12.1.1 Grundbegriffe.399
12.1.2 Ereignisoperationen.402
12.1.3 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.405
12.1.4 Klassische Methoden.407
12.1.5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten.410
12.1.6 Unabhangigkeit von Ereignissen.412
12.2 Zufallsgrofien.415
12.2.1 Zufallsgrofie und Verteilungsfunktion.415
12.2.2 Kenngrofien von Zufallsgrofien.419
12.2.3 Normalverteilung.423
12.2.4 Binomialverteilung.425
12.2.5 Poisson- und Exponentialverteilung.427
12.2.6 Weibullverteilung.430
12.3 Mehrdimensionale Zufallsgrofien.431
12.3.1 Grundbegriffe.431
12.3.2 Kovarianz und Korrelation.434
12 Inhal tsverzeichnis
12.3.3 Zweidimensionale Normalverteilung.436
12.3.4 Summen von Zufallsgrofien und Grenzwertsatze.437
12.3.5 Priifverteilungen .439
13 Mathematische Statistik 441
13.1 Grundbegriffe.441
13.2 Deskriptive Statistik.442
13.3 Induktive Verfahren.449
13.3.1 Parameterschatzungen.449
13.3.2 Beispiele von Parameterschatzungen .454
13.3.3 Parametertests.457
13.3.4 Beispiele zu Parametertests .458
13.3.5 Parameterfreie Verfahren.463
13.4 Erganzungen .466
LOsungen 467
Literatur 495
Index 496 |
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