Das Steinerarborezenzproblem mit Rucksackbedingungen: polyedrische Studien und Algorithmen
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Inhaltsverzeichnis
i
1 Einleitung 1
2 Notation und Grundlagen 5
2.1 Polyedertheorie, lineare Programmierung 5
2.2 Graphentheorie 7
3 Beschreibung und Einordnung des SAR 13
3.1 Definitionen und die Komplexität des SAR 13
3.2 Literaturübersicht 17
3.2.1 Polyedrische Ansätze für das SA und das SB 17
3.2.2 Polyedrische Ansätze für verwandte Probleme 24
3.2.3 Heuristische Ansätze 30
3.3 Formulierungen des SAR als ganzzahlige lineare Programme 31
4 Die polyedrische Struktur von SAR 39
4.1 Die Polyeder PSAR , PSAR1 und PSARR 40
4.1.1 Definitionen 40
4.1.2 Dimensionen 41
4.1.3 Eigenschaften von Facetten von PSAR und PSAR1 45
4.2 Lifting Sätze 52
4.2.1 Liften durch Kontraktion 52
4.2.2 Liften durch Einfügen von Kanten 59
4.2.3 Facetten des Steinerarboreszenz Polyeders 66
4.3 Triviale Facetten 68
4.4 Allgemeine Steiner Ungleichungen 71
4.5 Erreichbarkeits Ungleichungen 83
4.6 Rucksack Ungleichungen 91
4.6.1 Einführung 92
4.6.2 Rucksack Ungleichungen auf vollständig symmetrischen Gra¬
phen 95
4.6.3 Rucksack Ungleichungen auf allgemeinen Graphen 102
4.6.4 Spezielle Rucksack Ungleichungen 107
5 Ein Branch and Cut Verfahren für das SAR 113
5.1 Die Methode 113
5.2 Separierungsalgorithmen 116
5.2.1 Separieren von Allgemeinen Steiner Ungleichungen 116
5.2.2 Separieren von Rucksack Ungleichungen 122
5.2.3 Separieren von Speziellen Rucksack Ungleichungen 125
5.2.4 Separieren weiterer Ungleichungen 134
ii INHALTSVERZEICHNIS
5.3 Eine Heuristik für das SAR 136
5.3.1 Algorithmus Bestimme Arboreszenzlösung 136
5.3.2 Bestimmen einer Startlösung 138
5.3.3 Verbessern einer gegebenen Arboreszenzlösung 144
5.3.4 Komplexität von Algorithmus Bestimme Arboreszenzlösung 149
5.4 Identifizieren von Ungleichungen 150
5.4.1 Grundlagen 150
5.4.2 Identifizieren von Rucksack Ungleichungen 152
5.4.3 Identifizieren von Allgemeinen Steiner Ungleichungen 162
5.5 Ein Branch and Cut Verfahren für das SAR 169
5.5.1 Das Verzweigungsverfahren 169
5.5.2 Das Schnittebenenverfahren 173
5.5.3 Details der Implementierung 176
6 Rechenergebnisse 181
6.1 Verschiedene Problemklassen des SAR 181
6.2 Rechenergebnisse 185
6.2.1 Parameter des Branch and Cut Verfahrens 186
6.2.2 Ergebnisse für Instanzen auf zufälligen Graphen 187
6.2.3 Rechenergebnisse für Instanzen auf Gittergraphen 197
6.3 Auswirkungen des Identifizierens von Ungleichungen 204
7 Ausblick 207
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