Mathematik für Einsteiger: Vor- und Brückenkurs zum Studienbeginn
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| Language: | German |
| Published: |
Heidelberg u.a.
Spektrum, Akad. Verl.
2001
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| Edition: | 2. Aufl. |
| Series: | Spektrum-Lehrbuch
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| Physical Description: | VIII, 316 S. graph. Darst. |
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Vorwort zur 2. Auflage
і
Vorwort iv
Inhaltsverzeichnis
vii
1 Wie wahr ist die Mathematik? 1
Mathematik im Alltag, von Thaies bis Euklid, Axiomensysteme, Sätze
und Beweise in der Geometrie, Aussagenlogik, Prädikatenlogik und Tau¬
tologien, Aufbau einer mathematischen Theorie, Beweismethoden.
2 Von Mengen und Unmengen 31
Der Mengenbegriff, Probleme der Mengenbildung, Mengen-Algebra, die
Arbeit mit
Quantoren,
Verneinungsregeln.
3 Unendlich viele Zahlen 46
Die Axiome der Addition, die Axiome der Multiplikation, die Axiome
der Anordnung, natürliche Zahlen, das Induktionsprinzip, ganze Zahlen,
endliche Mengen, Teilbarkeit und Primzahlen, Euklidischer Algorithmus,
große Zahlen.
4 Auf dem Weg ins Irrationale 75
Das Summenzeichen, elementare Kombinatorik, geometrische Folgen, das
Vollständigkeitsaxiom, der Betrag einer reellen Zahl, quadratische Glei¬
chungen und Ungleichungen, Wurzeln, Folgen, Grenzwertsätze, geometri¬
sche Reihen, monotone Konvergenz, Intervallschachtelungen.
5 Eins hängt vom andern ab 113
Produktmengen und Relationen, der Funktionsbegriff, Mengen von Funk¬
tionen, Polynome, injektive und surjektive Abbildungen, Mächtigkeit, Ver¬
knüpfung von Abbildungen, Umkehrabbildungen und Monotonie, Loga¬
rithmen, Automorphismen und Gruppen.
Vlil
6 Die Parallelität der Ereignisse 142
Der Begriff des Lineals, Projektionen, Koordinaten, lineare Gleichungssy¬
steme, Halbebenen und Dreiecke, Orthogonalität, der Satz des
Pythago¬
ras,
Flächenfunktionen.
7 Allerlei Winkelzüge 166
Kreis und Bogenmaß, Winkel in Dreiecken, Winkelfunktionen, die Addi¬
tionstheoreme, Bewegungen.
8 Das Parallelogramm der Kräfte 187
Vektoren, Vektorräume, lineare Unabhängigkeit, Ortsvektoren, Geraden
und Ebenen, Norm und Skalarprodukt, die Hessesche Normalform, Basis
und Dimension, Matrizen und Determinanten, das
G
auß
ver
fahren, das
Vektorprodukt.
9 Extremfälle 220
Stetigkeit, Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen, Stetigkeitsbeweise,
Die Ableitung, Ableitungsregeln, Extremwerte, der Mittelwertsatz, Wen¬
depunkte und Krümmung.
10 Die Kunst des Integrierens 251
Das Riemannsche Integral, Berechnung von Integralen, der Fundamental¬
satz, natürlicher Logarithmus und Exponentialfunktion, partielle Integra¬
tion und Substitution.
11 Imaginäre Welten 271
Kubische Gleichungen, komplexe Zahlen, komplexe Folgen und Funktio¬
nen, die Eulersche Formel, Einheitswurzeln, der Fundamentalsatz der Al¬
gebra, Quaternionen.
Anhang 1 : Einige Beweise 290
Anhang 2 : Lösungen 299
Literaturverzeichnis 306
Stichwortverzeichnis 308
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