Mathematische und physikalische Aspekte verallgemeinerter Eichfeldtheorien im Ashtekarprogramm:
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INHALTSVERZEICHNIS
1 EINLEITUNG 1
1.1 EINFUEHRUNG IN DIE THEMATIK. 1
1.2 ZIELE UND AUFBAU DER VORLIEGENDEN ARBEIT. 7
1.3 MISCELLANEA. 10
2 SPEZIELLE MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 11
2.1 PROJEKTIVE LIMITES. 11
2.1.1 TOPOLOGIE DES PROJEKTIVEN LIMES. 11
2.1.2 ZYLINDERFUNKTIONEN. 12
2.1.3 MASSE AUF PROJEKTIVEN LIMITES. 13
2.1.4 GRUPPENWIRKUNGEN AUF PROJEKTIVEN LIMITES. 14
2.2 VERALLGEMEINERTE FOURIERANALYSIS . 18
2.2.1 SATZ VON PETER UND WEYL . 19
2.2.2 DER CASIMIROPERATOR. 19
2.2.3 LAPLACE-BELTRAMI-OPERATOR. 23
2.2.4 BEZIEHUNG ZWISCHEN LAPLACE-BELTRAMI- UND CASIMIROPERATOR. 24
2.2.5 DIMENSION VON DARSTELLUNGEN. 25
2.2.6 ASYMPTOTIK DER FOURIERKOEFFIZIENTEN. 25
2.2.7 KONVERGENZKRITERIUM FUER FOURIERREIHEN. 26
2.2.8 FOURIERREIHEN AUF GN UND GN/AD . 28
3 VERALLGEMEINERTE ZUSAMMENHAENGE UND EICHTRANSFORMATIONEN 31
3.1 WEGE. 32
3.2 EICHTHEORIE AUF DEM GITTER . 35
3.2.1 ALGEBRAISCHE DEFINITION . 35
3.2.2 TOPOLOGISCHE DEFINITION. 36
3.2.3 RELATIONEN ZWISCHEN GITTEREICHTHEORIEN. 37
3.3 EICHTHEORIE IM KONTINUUM. 38
3.3.1 DEFINITION VON A, Q UND A/Q. 39
3.3.2 TOPOLOGISCHE CHARAKTERISIERUNG VON
A, Q UND A/Q. 39
3.3.3 WIRKUNG VON EICHTRANSFORMATIONEN AUF ZUSAMMENHAENGEN. 40
3.3.4 ALGEBRAISCHE CHARAKTERISIERUNG VON A, Q UND A/Q. 41
3.4 EINBETTUNG DER KLASSISCHEN IN DIE VERALLGEMEINERTE EICHTHEORIE.'. .
43
4 HYPHE UND DAS ASHTEKAR-LEWANDOWSKI-MASS 45
4.1 GRAPHEN UND WEBS. . 46
4.2 HYPHE. 47
4.3 KONSTRUKTION ZUR MINIMALEN ABAENDERUNG VON ZUSAMMENHAENGEN. 48
4.4 SURJEKTIVITAET DER PROJEKTIONEN. 50
4.5 GRAPHEN UND HYPHE. 52
4.6 GERICHTETHEIT DER MENGE ALLER HYPHE. 53
4.6.1 NICHTUNABHAENGIGE WEGE. 54
4.6.2 BEWEIS VON SATZ 4.16. 55
4.6.3 OFFENES PROBLEM. 56
4.7 INDUZIERTES HAARSCHES MASS. 57
4.8 SCHWACHE FUNDAMENTALSYSTEME. 59
4.9 REGULAERE ZUSAMMENHAENGE. 62
4.9.1 DICHTHEIT. 62
4.9.2 GROESSE VON A UND A/Q. 65
VI
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN
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5 EICHORBITTYPEN
5.1 STABILISATOR EINES ZUSAMMENHANGS .
5.2 ISOMORPHIE VON B(A) UND Z(HJ) . .
5.3 HOMOEOMORPHIEKLASSE EINES EICHORBITS
5.4 KONJUGIERTE STABILISATOREN.
5.5 DEFINITION DES EICHORBITTYPS.
68
69
70
71
72
75
6 STRATIFIZIERUNG VON
A
6.1 HALBORDNUNG DER EICHORBITTYPEN.
6.2 REDUKTION DES PROBLEMS AUF ENDLICHDIMENSIONALE G-RAEUME
6.2.1 ADJUNGIERTE WIRKUNG VON G AUF GN.
6.2.2 REDUKTIONSABBILDUNG.
6.3 SLICE-THEOREM FUER
A
.
6.4 OFFENHEIT DER STRATA.
6.5 DICHTHEIT DER STRATA.
6.5.1 SUKZESSIVES VERGROESSERN DES TYPS.
6.5.2 KONSTRUKTION BELIEBIGER TYPEN.
6.6 KLASSIFIKATION DER EICHORBITTYPEN.
6.7 STRATIFIZIERUNG VON
A
.
77
78
79
79
79
80
84
84
85
87
87
88
7 GRIBOW-PROBLEM
7.1 BUENDELSTRUKTUR DER STRATA.
7.2 MODIFIZIERTE HAUPTFASERBUENDEL.
7.3 STRATA ALS HAUPTFASERBUENDEL.
7.4 FASTGLOBALE TRIVIALITAET VON
(GFC)GEN.
7.5 VERHAELTNIS DER STRUKTURGRUPPEN.
7.6 FASTGLOBALE TRIVIALITAET VON
AGEN
.
7.6.1 UNABHAENGIGE ERZEUGER DES HOLONOMIEZENTRALISATORS
7.6.2 WAHL DER UEBERDECKUNG VON M
GT!N.
7.6.3 EIGENSCHAFTEN DER UEBERDECKUNG.
7.6.4 BEWEIS VON THEOREM 7.12.
7.7 TRIVIALITAET VON
A
FUER ABELSCHES G.
7.8 KRITERIUM FUER NICHTTRIVIALITAET VON
AGEA
.
7.8.1 ALLGEMEINES KRITERIUM.
7.8.2 KONKRETES KRITERIUM.
7.8.3 ALLGEMEINE VERMUTUNG.
7.9 DISKUSSION.
90
92
94
95
97
99
100
100
101
101
102
103
103
103
104
106
107
8 ZWEIDIMENSIONALE YANG-MILLS-THEORIE /
8.1 QUANTISIERUNG VON YANG-MILLS-THEORIEN .
8.2 BESTIMMUNG DES YANG-MILLS-MASSES.
8.2.1 LOOP-NETWORK-ZUSTAENDE.
8.2.2 KONTINUUMSLIMES UND REGULARISIERUNG DER YANG-MILLS-WIRKUNG
8.2.3 FAHNENWELTEN.
8.2.4 DEFINITION DER ERWARTUNGSWERTE.
8.2.5 BERECHNUNG DER ERWARTUNGSWERTE.
8.3 DICHTEFUNKTION.
8.4 EIGENSCHAFTEN DES YANG-MILLS-MASSES.
8.4.1 REGULAERE ZUSAMMENHAENGE.
8.4.2 PYM-FASTGLOBALE TRIVIALITAET DES GENERISCHEN STRATUMS.
8.4.3 SINGULARITAET VON HYU BZGL. MO.
8.5 DISKUSSION.
110
112
113
114
115
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119
120
122
127
128
128
128
130
VU
9 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK 137
9.1 ZUSAMMENFASSUNG . 137
9.2 AUSBLICK. 139
ANHANG 143
A ALLGEMEINE MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 143
A.L TOPOLOGIE. 143
A.L.L GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN UND AUSSAGEN. 143
A.1.2 STETIGE ABBILDUNGEN. 144
A.L.3 PRODUKTRAEUME. 145
A.L.4 QUOTIENTENRAEUME. 146
A.L.5 KOMPAKTHEIT. 146
A.L.6 NORMALITAET . 147
A.L.7 REGULARITAET. 147
A.L. 8 HOMOTOPIE . 148
A.L.9 TOPOLOGISCHE GRUPPEN. 149
A.L. 10 FASERBUENDEL. 149
A.2 C*-ALGEBREN. 130
A.2.1 DEFINITION EINER
C*-ALGEBRA. 150
A.2.2 SATZ VON STONE-WEIERSTRASS. 151
A.2.3 IDEALE UND HOMOMORPHISMEN. 151
A.2.4 DAS SPEKTRUM . 151
A.2.5 MAXIMALE IDEALE UND CHARAKTERE. 152
A.2.6 TOPOLOGIE AUF M(21). 152
A.2.7 CHARAKTERISIERUNG KOMMUTATIVER C*-ALGEBREN. 152
A.3 MASSTHEORIE. 153
A.3.1 GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN UND AUSSAGEN. 153
A.3.2 INTEGRATION. 154
A.3.3 ABSOLUTSTETIGKEIT VON MASSEN. 156
A.3.4 MASSE AUF TOPOLOGISCHEN RAEUMEN. 157
A.3.5 INVARIANTE MASSE . 158
A.4 DIFFERENTIALGEOMETRIE. 159
A.4.1 TOPOLOGISCHE MANNIGFALTIGKEITEN. 159
A.4.2 DIFFERENZIERBARE MANNIGFALTIGKEITEN. 160
A.4.3 DIFFERENZIERBARE FASERBUENDEL . 160
A.4.4 TANGENTIALVEKTOREN. 161
A.4.5 VEKTORFELDER. 161
A.4.6 INTEGRALKURVEN. 162
A.4.7 DIFFERENTIALFORMEN. 162
A.4.8 LEBESGUESCHE MASSE. 163
A.4.9 TRIANGULIERUNGEN. 163
A.5 LIETHEORIE. 164
A.5.1 LIEGRUPPEN. 164
A.5.2 LIEALGEBREN. 166
A.5.3 EXPONENTIALABBILDUNG. 167
A.5.4 LIEFUNKTOR. 168
A.6 TRANSFONNATIONSGRUPPEN. 168
A.6.1 WIRKUNG EINER GRUPPE. 168
A.6.2 ABBILDUNGEN ZWISCHEN G-RAEUMEN . 169
A.6.3 STABILISATOREN. 169
VIII
A.6.4 ORBITS. 169
A.6.5 ORBITTYPEN. 170
A.6.6 ROEHRENUMGEBUNGEN . 172
A.6.7 EXISTENZ VON ROEHRENUMGEBUNGEN. 173
A.6.8 GLATTE WIRKUNGEN. 174
A.7 HAUPTFASERBUENDEL. 175
A.7.1 TOPOLOGISCHE HAUPTFASERBUENDEL. 175
A.7.2 DIFFERENZIERBARE HAUPTFASERBUENDEL. 176
A.7.3 EICHTRANSFORMATIONEN . 176
A.7.4 ZUSAMMENHAENGE. 177
A.7.5 PARALLELTRANSPORT. 178
A.7.6 KRUEMMUNG. 179
A.8 DARSTELLUNGSTHEORIE. 179
A.8.1 DARSTELLUNGEN VON GRUPPEN. 179
A.8.2 LIEDARSTELLUNGEN. 180
A.8.3 KLASSEN VON LIEALGEBREN. 181
A.8.4 KOMPAKTE LIEGRUPPEN. 182
A.8.5 HALBEINFACHE KOMPLEXE LIEALGEBREN. 182
A.8.6 REELLE KOMPAKTE HALBEINFACHE LIEALGEBREN. 185
A.8.7 KOMMUTATIVE KOMPAKTE LIEGRUPPEN. 185
A.8.8 DARSTELLUNGEN ZUSAMMENHAENGENDER KOMPAKTER LIEGRUPPEN . 186
A.8.9 INTEGRATIONSFORMEL. 186
A. 9 GRAPHENTHEORIE. 187
A.9.1 GRAPHEN UND WEGE. 187
A.9.2 FUNDAMENTALGRUPPE EINES GRAPHEN. 188
A.9.3 PLANARE GRAPHEN. 189
B BEWEISE FUER AUSSAGEN IM ANHANG A 191
B. L BEWEISE FUER AUSSAGEN IM ABSCHNITT A.L . 191
B.2 BEWEISE FUER AUSSAGEN IM ABSCHNITT A.3 . 191
B.3 BEWEISE FUER AUSSAGEN IM ABSCHNITT A.4. 194
B.4 BEWEIS EINER AUSSAGE IM ABSCHNITT A.6 . 195
B. 5 BEWEIS EINER AUSSAGE IM ABSCHNITT A.8 196
C WEGE UND HOLONOMIEN 196
C. L WEGESTRUKTUREN. 196
C.2 AUFTRETENDE HOLONOMIEGRUPPEN. 199
C.3 NICHT VOLLSTAENDIGE ZUSAMMENHAENGE. 199
C. 4 WEITERE ARTEN VON ZUSAMMENHAENGEN.'. 200
D NUETZLICHE ABSCHAETZUNGEN 201
D. L FOURIERREIHEN. 201
D.2 HOLONOMIEN FUER KLEINE WEGE. 203
D. 3 HAARSCHES MASS. 206
E GRIBOW-PROBLEM: BEMERKUNGEN UND BEISPIELE 207
E. 1 GRUPPENISOMORPHIE DER BEIDEN NORMALISATOREN. 207
E.2 KODIMENSION NICHTGENERISCHER STRATA. 209
E.3 STRATIFIZIERUNG VON SU(2)K. 210
E.3.1 ADJUNGIERTE WIRKUNG . 210
E.3.2 ADJUNGIERTE WIRKUNG AUF SU(2)2. 210
E.3.3 ADJUNGIERTE WIRKUNG AUF SU{2)3. 213
IX
F ISOMORPHIE ZWISCHEN
A/G UND A/G 214
G VERFEINERUNG VON FAHNENWELTEN 214
LITERATURVERZEICHNIS 217
LEBENSLAUF 226
BIBLIOGRAPHISCHE BESCHREIBUNG 229
SELBSTAENDIGKEITSERKLAERUNG 231 |
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