Holdings: Weil conjectures, perverse sheaves and l'adic Fourier transform

Weil conjectures, perverse sheaves and l'adic Fourier transform:

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Bibliographic Details
Main Authors:	Kiehl, Reinhardt 1935- (Author), Weissauer, Rainer 1954- (Author)
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Language:	English
Published:	Berlin ; Heidelberg Springer [2001]
Series:	Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Folge 3 ; 42
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adam_text	TABLE OF CONTENTS INTRODUCTION .................................................... 1 I. THE GENERAL WEIL CONJECTURES (DELIGNES THEORY OF WEIGHTS) ...... 5 I.1 WEIL SHEAVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.2 WEIGHTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 I.3 THE ZARISKI CLOSURE OF MONODROMY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 I.4 REAL SHEAVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 I.5 FOURIER TRANSFORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 I.6 WEIL CONJECTURES (CURVE CASE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 I.7 THE WEIL CONJECTURES FOR A MORPHISM (GENERAL CASE) . . . . . . . . . . . 52 I.8 SOME LINEAR ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 I.9 REFINEMENTS (LOCAL MONODROMY) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 II. THE FORMALISM OF DERIVED CATEGORIES .......................... 67 II.1 TRIANGULATED CATEGORIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 II.2 ABSTRACT TRUNCATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 II.3 THE CORE OF A T-STRUCTURE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 II.4 THE COHOMOLOGY FUNCTORS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 II.5 THE TRIANGULATED CATEGORY D B C ( X , Q L ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 II.6 THE STANDARD T-STRUCTURE ON D B C ( X , O ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 II.7 RELATIVE DUALITY FOR SINGULAR MORPHISMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 II.8 DUALITY FOR SMOOTH MORPHISMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 II.9 RELATIVE DUALITY FOR CLOSED EMBEDDINGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 II.10 PROOF OF THE BIDUALITY THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 II.11 CYCLE CLASSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 II.12 MIXED COMPLEXES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 III. PERVERSE SHEAVES ............................................ 135 III.1 PERVERSE SHEAVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 III.2 THE SMOOTH CASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 III.3 GLUEING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 III.4 OPEN EMBEDDINGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 III.5 INTERMEDIATE EXTENSIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 III.6 AFFINE MAPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 VIII TABLE OF CONTENTS III.7 EQUIDIMENSIONAL MAPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 III.8 FOURIER TRANSFORM REVISITED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 III.9 KEY LEMMAS ON WEIGHTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 III.10 GABBERS THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 III.11 ADJUNCTION PROPERTIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 III.12 THE DICTIONARY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 III.13 COMPLEMENTS ON FOURIER TRANSFORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 III.14 SECTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 III.15 EQUIVARIANT PERVERSE SHEAVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 III.16 KAZHDAN-LUSZTIG POLYNOMIALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 IV. LEFSCHETZ THEORY AND THE BRYLINSKIRADON TRANSFORM ............ 203 IV.1 THE RADON TRANSFORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 IV.2 MODIFIED RADON TRANSFORMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 IV.3 THE UNIVERSAL CHERN CLASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 IV.4 HARD LEFSCHETZ THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 IV.5 SUPPLEMENT: A SPECTRAL SEQUENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 V. TRIGONOMETRIC SUMS ......................................... 225 V.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 V.2 GENERALIZED KLOOSTERMAN SUMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 V.3 LINKS WITH L -ADIC COHOMOLOGY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 V.4 DELIGNES ESTIMATE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 V.5 THE SWAN CONDUCTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 V.6 THE OGGSHAFAREVICHGROTHENDIECK THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 V.7 THE MAIN LEMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 V.8 THE RELATIVE ABHYANKAR LEMMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 V.9 PROOF OF THE THEOREM OF KATZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 V.10 UNIFORM ESTIMATES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 V.11 AN APPLICATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 BIBLIOGRAPHY FOR CHAPTER V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 VI. THE SPRINGER REPRESENTATIONS ................................. 249 VI.1 SPRINGER REPRESENTATIONS OF WEYL GROUPS OF SEMISIMPLE ALGEBRAIC GROUPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 VI.2 THE FLAG VARIETY B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 VI.3 THE NILPOTENT VARIETY N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 VI.4 THE LIE ALGEBRA IN POSITIVE CHARACTERISTIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 VI.5 INVARIANT BILINEAR FORMS ON G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 VI.6 THE NORMALIZER OF LIE ( B ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 VI.7 REGULAR ELEMENTS OF THE LIE ALGEBRA G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 VI.8 GROTHENDIECKS SIMULTANEOUS RESOLUTION OF SINGULARITIES . . . . . . . . 266 VI.9 THE GALOIS GROUP W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 VI.10 THE MONODROMY COMPLEXES AND * * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 VI.11 THE PERVERSE SHEAF * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 TABLE OF CONTENTS IX VI.12 THE ORBIT DECOMPOSITION OF * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 VI.13 PROOF OF SPRINGERS THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 VI.14 A SECOND APPROACH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 VI.15 THE COMPARISON THEOREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 VI.16 REGULAR ORBITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 VI.17 W -ACTIONS ON THE UNIVERSAL SPRINGER SHEAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 VI.18 FINITE FIELDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 VI.19 DETERMINATION OF T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 BIBLIOGRAPHY FOR CHAPTER VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 APPENDIX ...................................................... 323 A. Q L -SHEAVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 B. BERTINI THEOREM FOR ETALE SHEAVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 C. KUMMER EXTENSIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 D. FINITENESS THEOREMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 BIBLIOGRAPHY ................................................... 355 GLOSSARY ....................................................... 371 INDEX .......................................................... 373
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