Introduction aux méthodes numériques:
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Paris
Springer
2001
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INTRODUCTION AUX METHODES
NUMERIQUES
SPRINGER
TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION 11
1 PROBLEMES NUMERIQUES 15
1.1 ERREURS ET PRECISION 15
1.2 CONVERGENCE ET STABILITE 17
1.3 ACCELERATION DE LA CONVERGENCE 19
1.4 COMPLEXITE 19
1.5 OPTIMISATION 21
1.6 PROBLEMES BIEN POSES, PROBLEMES RAIDES 23
1.7 CONDITIONNEMENT 25
1.8 EXERCICES 29
2 APPROXIMATION ET INTERPOLATION 31
2.1 INTERPOLATION DE LAGRANGE 31
2.2 INTERPOLATION D HERMITE 34
2.3 INTERPOLATION DE TCHEBYCHEV 35
2.4 DIFFERENCES DIVISEES 36
2.5 ALGORITHME DE NEVILLE-AITKEN 44
2.6 MEILLEURE APPROXIMATION 45
2.7 APPROXIMATION UNIFORME 47
2.8 APPROXIMATION QUADRATIQUE 50
2.9 POLYNOMES ORTHOGONAUX 52
2.10 POLYNOMES DE BERNSTEIN 56
2.11 FONCTIONS SPLINES . 58
TABLE DES MATIERES
2.12 APPROXIMANTS DE PADE 61
2.13 EXERCICES 62
RESOLUTION D EQUATIONS 65
3.1 EQUATIONS ALGEBRIQUES 65
3.2 THEOREMES DE POINTS FIXES 67
3.3 LOCALISATION DES RACINES 68
3.4 METHODES DES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES 70
3.5 METHODE DE LA SECANTE 70
3.6 METHODE DE MULLER 71
3.7 METHODE DE LA BISSECTION 71
3.8 METHODE DE NEWTON-RAPHSON 72
3.9 METHODE DE STEFFENSEN 73
3.10 METHODE DE BRENT 73
3.11 METHODE DE LA MATRICE ASSOCIEE 74
3.12 METHODE DE BAIRSTOW 74
3.13 METHODE D AITKEN 76
3.14 EXERCICES . 77
INTEGRATION NUMERIQUE 79
4.1 PRINCIPES GENERAUX 79
4.2 METHODE DES RECTANGLES 81
4.3 METHODE DES TRAPEZES 82
4.4 METHODE DE SIMPSON 83
4.5 METHODE DE NEWTON-COTES 84
4.6 METHODE DE PONCELET 85
4.7 METHODE DE ROMBERG 86
4.8 METHODES DE GAUSS 86
4.9 INTEGRATION DE GAUSS-LEGENDRE 88
4.10 INTEGRATION DE GAUSS-LAGUERRE 89
4.11 INTEGRATION DE GAUSS-TCHEBYCHEV 90
4.12 INTEGRATION DE GAUSS-HERMITE 90
4.13 EXERCICES 91
SYSTEMES LINEAIRES 95
5.1 GENERALITES SUR LES MATRICES 95
5.2 METHODE DE REMONTEE 100
5.3 ELIMINATION DE GAUSS 100
5.4 METHODE DE GAUSS-JORDAN 102
5.5 PROBLEME.DES PIVOTS 103
5.6 METHODE DE CROUT 105
5.7 METHODE DE CHOLESKY 107
5.8 METHODE DE HOUSEHOLDER 107
5.9 METHODES ITERATIVES 109
5.10 METHODE DE JACOBI 110
TABLE DES MATIERES 5
5.11 METHODE DE GAUSS-SEIDEL 111
5.12 METHODES DE RELAXATION 112
5.13 ^METHODES PROJECTIVES 113
5.14 METHODE DE LA PLUS PROFONDE DESCENTE 114
5.15 METHODE DU GRADIENT CONJUGUE 114
5.16 METHODE DU GRADIENT CONJUGUE PRECONDITIONNE 115
5.17 METHODE DU GRADIENT CONJUGUE POUR LES MOINDRES CARRES . . 116
5.18 EXERCICES 116
VALEURS ET VECTEURS PROPRES 121
6.1 METHODE DE LA PUISSANCE ITEREE ET DEFLATION DE WIELANDT . . 121
6.2 METHODE DE JACOBI 123
6.3 METHODE DE GIVENS-HOUSEHOLDER 125
6.4 METHODE DE RUTISHAUSER 126
6.5 METHODE DE FRANCIS 127
6.6 METHODE DE DANISLEVSKI 128
6.7 METHODE DE KRYLOV 128
6.8 METHODE DE SOURIAU-LE VERRIER 129
6.9 EXERCICES 129
EQUATIONS ET SYSTEMES D EQUATIONS DIFFERENTIELLES 131
7.1 EXISTENCE ET UNICITE DES SOLUTIONS 131
7.2 CHAMPS DE VECTEURS 132
7.3 INVERSION LOCALE 134
7.4 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES 135
7.5 POINTS CRITIQUES 138
7.6 ENSEMBLES LIMITES . 138
7.7 STABILITE DE LIAPOUNOV 139
7.8 SOLUTIONS PERIODIQUES. THEORIE DE FLOQUET 142
7.9 INTEGRALES ET FONCTIONS ELLIPTIQUES 142
7.10 TRANSCENDANTES DE PAINLEVE 144
7.11 HYPERBOLICITE. VARIETE CENTRALE 145
7.12 CLASSIFICATION DES FLOTS BIDIMENSIONNELS 147
7.13 THEOREME DE POINCARE-BENDIXSON 148
7.14 STABILITE STRUCTURELLE. THEOREME DE PEIXOTO . 149
7.15 BIFURCATIONS 150
7.16 SYSTEME DE LORENZ 151
7.17 METHODES D EULER 153
7.18 METHODES DE RUNGE KUTTA 154
7.19 METHODES D ADAMS 156
7.20 METHODES DE PREDICTION-CORRECTION 158
7.21 EXERCICES 159
EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES 163
8.1 PROBLEMES AUX LIMITES 163
6 TABLE DES MATIERES
8.2 ESPACES DE LEBESGUE 164
8.3 DISTRIBUTIONS 165
8.4, OPERATEURS PSEUDO-DIFFERENTIELS 167
8.5 ESPACES DE SOBOLEV 168
8.6 VARIETE DES CARACTERISTIQUES 170
8.7 CLASSIFICATION DES EQUATIONS 171
8.8 PROBLEMES EQUIVALENTS 172
8.9 SCHEMAS DE DISCRETISATION 176
8.10 CONVERGENCE ET STABILITE 178
8.11 EXERCICES 181
9 EQUATIONS ELLIPTIQUES 183
9.1 FONCTIONS HARMONIQUES. PRINCIPE DU MAXIMUM 184
9.2 L OPERATEUR DE LAPLACE 184
9.3 EQUATIONS ELLIPTIQUES LINEAIRES 185
9.4 EQUATIONS ELLIPTIQUES NON-LINEAIRES 188
9.5 METHODE DE RICHARDSON-LIEBMANN 188
9.6 METHODES DE RELAXATION 189
9.7 METHODE PAR TRANSFORMEE DE FOURIER RAPIDE 189
9.8 EXERCICES 190
10 EQUATIONS PARABOLIQUES 191
10.1 EQUATION DE LA CHALEUR 191
10.2 EQUATION DE LA DIFFUSION 194
10.3 EQUATION PARABOLIQUE NON-LINEAIRE 194
10.4 METHODE DU THETA-SCHEMA 195
10.5 METHODE DE CRANK-NICHOLSON 196
10.6 METHODE ALTERNATIVE DE PEACEMAN-RACHFORD-DOUGLAS . . . 197
10.7 EXERCICES 197
11 EQUATIONS HYPERBOLIQUES 199
11.1 RESULTATS FONDAMENTAUX 199
11.2 EQUATION DU TRANSPORT 204
11.2.1 SCHEMA DE LAX 204
11.2.2 SCHEMA DECENTRE 204
11.2.3 SCHEMA SAUTE-MOUTON 205
11.2.4 SCHEMA DE LAX-WENDROFF 205
11.3 EQUATION DES ONDES 206
11.3.1 METHODE DU THETA-SCHEMA 207
11.3.2 SCHEMA DE LAX 209
11.3.3 SCHEMA SAUTE-MOUTON 209
11.3.4 SCHEMA DE LAX-WENDROFF 210
11.4 EQUATION DE BURGERS 210
11.4.1 SCHEMA DE LAX-FRIEDRICHS 210
11.4.2 SCHEMA SAUTE-MOUTON 212
TABLE DES MATIERES 7
11.4.3 SCHEMA DE LAX-WENDROFF 212
11.4.4 SCHEMA D ENGQUIST-OSHER 213
11.4.5 SCHEMA DE GODOUNOV 213
- * -11.4.6- SCHEMAS DE LERAT-PEYRET 214
11.5 EXERCICES 214
12 METHODE DES ELEMENTS FINIS 217
12.1 PRINCIPE DE LA METHODE 217
12.2 FORMULATION VARIATIONNELLE 218
12.3 MAILLAGE ET FONCTIONS DE FORME 219
12.4 MATRICES DE MASSE ET DE RIGIDITE ELEMENTAIRES 220
12.5 ELEMENTS FINIS LAGRANGIENS D ORDRE 1 220
12.6 ELEMENTS FINIS LAGRANGIENS D ORDRE 2 223
12.7 ELEMENTS FINIS LAGRANGIENS D ORDRE 3 224
12.8 ELEMENTS FINIS HERMITIENS 225
12.9 METHODES DES RESIDUS PONDERES 227
12.10 METHODE DE RAYLEIGH-RITZ 231
12.11 EXERCICES 232
A TABLES D INTEGRATION 235
A.L INTEGRATION DE GAUSS-LEGENDRE 235
A.2 INTEGRATION DE GAUSS-LAGUERRE 236
A.3 INTEGRATION DE GAUSS-HERMITE 236
B POLYNOMES ORTHOGONAUX 239
B.L POLYNOMES DE LEGENDRE 239
B.2 POLYNOMES DE LAGUERRE 240
B.3 POLYNOMES DE TCHEBYCHEV 242
B.4 POLYNOMES DE HERMITE 244
B.5 POLYNOMES DE GEGENBAUER 245
B.6 POLYNOMES DE JACOBI 246
BIBLIOGRAPHIE 249
F NIEDKRS.
STAATS-U.UNIV.-
J CIBLIOTHEK
GOTTINGEN
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