Lineare Algebra: eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen ; mit liebevollen Erklärungen, einleuchtenden Beispielen und lohnenden Übungsaufgaben, nicht ohne lustige Sprüche, launigen Ton und leichte Ironie, dargestellt zu Nutzen der Studierenden der ersten Semester
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Braunschweig [u.a.]
Vieweg
2001
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| Series: | Mathematik für Studienanfänger
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Vorwort: Mathematik - eine Mutfrage?.......................................................................
v
Inhaltsverzeichnis.........................................................................................................viii
1 Was wir wissen müssen, bevor wir anfangen können.............................................1
1.1 Mengen..............................................................................................................1
1.2 Äquivalenzrelationen.........................................................................................4
1.3 Abbildungen.......................................................................................................6
1.4 Wann haben zwei Mengen gleich viele Elemente?.........................................11
1.5 Die
Σ
-Notation
.................................................................................................16
1.6 Beweisprinzipien..............................................................................................18
Richtig oder falsch?.................................................................................................19
Übungsaufgaben......................................................................................................20
Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:............................................23
Was sagen Sie dazu?................................................................................................23
2 Körper.......................................................................................................................24
2.1 Die Definition..................................................................................................24
2.2 Beispiele von Körpern.....................................................................................27
2.2.1 Der Körper der komplexen Zahlen.......................................................27
2.2.2 Der Quaternionenschiefkörper.............................................................30
2.2.3 Einige endliche Körper.........................................................................33
2.3 Automorphismen von Körpern........................................................................39
2.3.1 Die Definitionen...................................................................................39
2.3.2 Der Körper der rationalen Zahlen.........................................................40
2.3.3 Der Körper der reellen Zahlen..............................................................41
2.3.4 Konjugiert-komplexe Zahlen................................................................42
Richtig oder falsch?.................................................................................................43
Übungsaufgaben......................................................................................................44
Projekt: Die Gaußsche Zahlenebene........................................................................46
Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:............................................47
3 Vektorräume.............................................................................................................48
3.1 Die Definition..................................................................................................48
3.2 Beispiele von Vektorräumen............................................................................50
3.2.1 Vektorräume mit Hilfe von Geometrie.................................................50
3.2.2 Der Vektorraum Kn..............................................................................50
3.2.3 Der Vektorraum aller mxn-Matrizen...................................................50
3.2.4 Der Vektorraum aller unendlichen Folgen...........................................51
їх
3.2.5 Ein Vektorraum unendlicher Folgen....................................................52
3.2.6 Vektorräume von Funktionen...............................................................52
3.2.7 Lösungen eines Gleichungssystems.....................................................52
3.2.8 Teilmengen einer Menge......................................................................52
3.2.9 Körper als Vektorräume.......................................................................53
3.3 Elementare Theorie der Vektorräume..............................................................54
3.3.1 Der Begriff der Basis............................................................................54
3.3.2 Der Steinitzsche Austauschsatz............................................................61
3.3.3 Der Dimensionssatz..............................................................................67
3.3.4 Faktorräume..........................................................................................69
3.4 Zur Geschichte der linearen Algebra.................................................................75
Richtig oder falsch?.................................................................................................77
Übungsaufgaben......................................................................................................79
Projekt: Der unendlichdimensionale Vektorraum V^............................................84
Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:............................................86
Anwendungen von Vektorräumen.........................................................................87
4.1 Affine Geometrie.............................................................................................87
4.1.1 Affine Räume.......................................................................................87
4.1.2 Unterräume...........................................................................................90
4.2 Lineare Gleichungssysteme..............................................................................92
4.2.1 Begriffe und Fragen..............................................................................92
4.2.2 Exkurs über Matrizen...........................................................................93
4.2.3 Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen......................................97
4.2.4 Der Gaußsche Algorithmus................................................................102
4.3 Codierungstheorie..........................................................................................108
4.3.1 Grundlegende Begriffe.......................................................................108
4.3.2 Lineare Codes.....................................................................................111
Richtig oder falsch?...............................................................................................117
Übungsaufgaben....................................................................................................118
Projekt: Die
Hamming-Codes
................................................................................121
Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:..........................................123
Was sagen Sie dazu?..............................................................................................123
Lineare Abbildungen.............................................................................................124
5.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften..............................................124
5.2 Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen.................................130
5.3 Der Homomorphiesatz...................................................................................136
5.4 Der Dualraum.................................................................................................139
Richtig oder falsch?...............................................................................................143
Übungsaufgaben....................................................................................................144
Projekt:
Hom
(V,
W)..............................................................................................
147
Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:..........................................147
6 Polynomringe..........................................................................................................148
6.1 Ringe..............................................................................................................148
6.2 Was ist eigentlich x?.....................................................................................150
6.3 Polynomdivision............................................................................................156
6.4 Ideale von K[x].............................................................................................160
Richtig oder falsch?...............................................................................................162
Übungsaufgaben....................................................................................................163
Projekte..................................................................................................................166
Projekt A: Der Ring
Z
.................................................................................166
Projekt B: Der Ring H[x]............................................................................168
Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:..........................................169
7 Determinanten........................................................................................................170
7.1 Die Determinantenfunktion...........................................................................170
7.2 Permutationen................................................................................................173
7.3 Gerade und ungerade Permutationen.............................................................177
7.4 Die Leibnizsche Determinantenformel..........................................................182
7.5 Wie berechnet man eine Determinante?........................................................186
7.6 Der Multiplikationssatz..................................................................................195
Richtig oder falsch?...............................................................................................197
Übungsaufgaben....................................................................................................198
Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:..........................................199
Was sagen Sie dazu?..............................................................................................200
8 Diagonalisierbarkeit...............................................................................................201
8.1 Eigenvektoren und Eigenwerte......................................................................202
8.2 Das charakteristische Polynom......................................................................207
8.3 Das Minimalpolynom....................................................................................213
Richtig oder falsch?...............................................................................................221
Übungsaufgaben....................................................................................................222
Projekt: Drehungen................................................................................................225
Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:..........................................226
Was sagen Sie dazu?..............................................................................................226
9 Elementarste Gruppentheorie..............................................................................227
9.1 Beispiele von Gruppen...................................................................................227
9.1.1 Gruppen in bekannten Strukturen.......................................................228
9.1.2 Gruppen aus bekannten Objekten.......................................................229
9.1.3 Gruppen aus Permutationen...............................................................230
9.2 Einfache Strukturaussagen für Gruppen........................................................233
9.2.1 Untergruppen......................................................................................233
9.2.2 Zyklische Gruppen.............................................................................235
9.2.3 Der Homomorphiesatz........................................................................238
Xl
Richtig oder falsch?...............................................................................................241
Übungsaufgaben....................................................................................................242
Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:..........................................244
10 Skalarprodukte.....................................................................................................245
10.1 Ein Beispiel................................................................................................245
10.2 Bilinearformen...........................................................................................247
10.3 Skalarprodukte...........................................................................................255
10.4 Orthogonale Abbildungen.........................................................................262
10.5 — und eine zweite symmetrische Bilinearform?.......................................270
Richtig oder falsch?.............................................................................................273
Übungsaufgaben..................................................................................................274
Projekt: Skalarprodukte komplexer Vektorräume...............................................276
Sie sollten mit folgenden Begriffen umgehen können:.......................................278
Adieu!...........................................................................................................................279
Lösungsvektoren der D-Aufgaben............................................................................280
Stichwortverzeichnis...................................................................................................282
Literaturverzeichnis....................................................................................................289
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