Vektor- und Dyadenrechnung für Physiker und Techniker:
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Seite
Einleitung 1
I. Teil. Arithmetik und Algebra extensiver Größen.... 3
1. Erste Einführung der neuen Größen 3
2. Strenge Definitionsgleichungen 5
Grundsatz des Projizierens 5
3. Ãœberanschauliche Bedeutung unserer Definitionsgleichungen 9
a) Vektoren in mehrdimensionalen Räumen 9
b) Koordinatentransformationen 10
c) Skalares Produkt und metrische Fundamentalgrößen... 13
d) Bivektoren 14
4. Definitionsgleichungen der Dyaden 16
a) Einführung der Dyaden 16
b) Verschiedene Darstelhmgsformen der Dyaden (Neuner¬
form) 20
c) Symmetrische und antisymmetrische Dyaden, Vektor der
antisymmetrischen Dyade 22
5. Die vektorische Multiplikation 26
a) Zurückführung auf das Punktprodukt: Vektor Dyade... 26
b) Vektor und erster Skalar einer Dyade 28
c) Vektorisches Tripelprodukt 30
6. Noch einige wichtige Produktbildungen und Rechenregeln 31
a) Skalares Tripelprodukt, reziproke Systeme 31
b) Vektorisches Quadrupelprodukt, Identitätsdyade 33
c) Darstellung der Produkte im schiefwinkligen Bezugs¬
system. Polare und axiale Vektoren 34
d) Kreuzprodukt von Vektor und Dyade 35
e) Produkte zweier Dyaden. Reziproke Dyade 36
f) Doppel und Tripelprodukte von Dyaden. Zweite Dyade,
zweiter und dritter Skalar 39
g) Einige Rechenregeln 43
X Inhaltsverzeichnis
Seite
7. Eigenwertprobleme der Dyaden 44
a) Die Dyade als lineare Vektorfunktion 44
b) Hauptachsentransformation (Säkulargleichung) 45
c) Bidyaden 46
d) Tonische, im besonderen symmetrische Dyaden, Normal¬
form der Dyade 47
e) Die durchwegs reellen Wurzeln der Säkulargleichung sind
nicht alle voneinander verschieden 52
f) Die Säkulargleichung hat eine reelle und zwei konjugiert
komplexe Wurzeln 54
g) Hermitische Dyaden 57
8. Invarianten der Dyade; Cayley Hamiltonsche Gleichung;
die Dyade als Deformationsdyade 60
a) Invarianten 60
b) Vertauschungssatz 61
c) Die Cayley Hamiltonsche Gleichung 62
d) Die Dyade als Deformationsdyade 63
e) Das Ellipsoid als anschaulicher Repräsentant der
Dyade 64
f) Einfacher und zusammengesetzter Schub 67 ,
g) Die zyklische Dyade und der Versor 68
h) Die unitäre Dyade 73
8. Triaden und Tetraden 74
a) Einführung der Triaden und Tetraden 74
b) Verallgemeinerung auf extensive Größen noch höheren
Ranges. Der Verjüngungsprozeß 77
c) Produktbildungen aus extensiven Größen beliebigen
Ranges 79
d) Systematik der Tetraden. Reziproke Systeme von Dyaden 82
e) Systematik; Identitäts , reziproke, symmetrische, anti
symmetrische Tetrade 85
f) Einige Rechenregeln 87
gj Eigenwertprobleme und Transformationstheorie der
Tetraden 89
h) Korrespondenz zwischen mehrdimensionalen Räumen
nnd extensiven Gebilden höheren Ranges 83 f
i) Irredunble extensive Größen 94 ;
i
Inhaltsverzeichnis XI
Seite
II. Teil. Analysis extensiver Größen 99
1. Differentialoperationen 99
a) Definition des Differentials 99
b) Differentiation von Produkten 100
c) Höhere und partielle Differentialquotienten, Reihen¬
entwicklungen ... .¦ 102
2. Derivationen und Feldbegriff 104
a) Derivation eines Skalarfeldes 104
b) Einführung krummliniger Koordinaten 106
c) Einige Rechenregeln 108
3. Derivationen von Vektorfeldern. Extensive Differential¬
quotienten höherer Ordnung und höheren Ranges 109
a) Dyadische Derivation, Rotor, Divergenz 109
b) Derivationen höheren Ranges und höherer Ordnung 111
c) Der Hamiltonsche Operator als symbolischer Vektor,
Rechenregeln 113
d) Differentiation nach dyadischen und nach komplexen
Veränderlichen 117
e) Einige Formeln 120
4. Integraloperationen 120
5. Linien , Flächen , Raumintegrale. Stokesscher Satz,
Gaußscher Satz und verwandte Sätze 124
a) Linien , Flächen und Raumintegrale 124
b) Umformung von Linienintegralen in Flächenintegrale.
Stokesscher Satz 130
c) Umformung von Flächen in Raumintegrale. Gaußscher
Satz 135
6. Quellen und Wirbel; wirbelfreie und quellenfreie Vektor
und Dyadenfelder 139
a) Wirbelfreie Felder 139
b) Wirbel 140
c) Quellen und quellenfreie Felder , 143
d) Eindeutige Bestimmtheit eines Vektorfeldes durch sein
QueUenfeld und sein WirbetfeM 144
e) Dyadenfelder, das „Vektorfeld des Dyadenfeldes . 147
XU Inhaltsverzeichnis
Seite
7. Ermittlung des Vektorfeldes brw des Dyadenfeldes aus dem
Quellenfeld und dem Wirbelfeld 151
a) Skalares Potential eines ¦wirbelfreien Vektorfeldes lßl
b) Vektorpotential eines Dyaden oder Vektorfeldes 159
c) Dyadisches Potential eines Dyadenfeldes 160
d) Verallgemeinerung auf n dimensionale Räume 161
8. Wichtige Sonderfälle von Quellenfeldern 162
a) Punktförmige Quelle 162
b) Quellinien 163
c) Flächenhaft verteilte Quellen 168
d) Allgemeine Überlegungen über Flächen , Linien und
Punktdivergenzen 172
e) Erörterung der Verhältnisse, falls ein Teil der Quellen sehr
weit entfernt ist 177
9. Vektorische Quellenfelder, insbesondere Wirbelfelder und
wichtige Sonderfälle 180
a) Vektorische Raum , Flächen , Linien und Punktdiver¬
genzen von Dyadenfeldern 180
b) Abhängigkeit des Vektorpotentials von den Wirbelflüssen 184
c) Flächenwirbel und Linienwirbel 185
d) Das vektorische Quellenfeld bestimmt jedenfalls den
quellenfreien Anteil des Vektorfeldes 188
e) Punktwirbel 190
f) Beispiel für eine vektorische Liniendivergenz (Linienwirbel) 193
10. Äquivalenzen zwischen Quellen und Wirbelfeldern 196
a) Eindeutige Bestimmtheit des Quellen und Wirbelfeldes
durch das Vektorfeld 196
b) Mathematische Behandlung der Äquivalenz zwischen
Quellen und Wirbelsystemen 198
c) Doppelschicht und Wirbellinie 207
d) „Reale Bedeutung von Doppelschichten 216
e) In sich abgeschlossene Systematik der Skalarfelder, der
Vektorfelder, der Dyadenfelder 217
f) Vielfachschichten, Multipole und Legendresche Kugel
funktionen 222
Inhaltsverzeichnis XIH
Seite
III. Teil, Physikalische Anwendungen 227
1. Einige Anwendungen aus der Mechanik 227
a) Bewegungsgleichung, Spannungsdyade, Schwerpunktssatz 227
b) Symmetrie der Spannungsdyade, Momentensatz 230
c) Mechanik des starren Körpers 232
2. Beispiele vektorischer Schreibweise in der Geometrie 235
a) Darstellung von Kurven und Flachen. Grundaufgaben.. 236
b) EUipsoid 240
c) Geometrie der Deformation. 244
d) Raumkurven, Frenetsche Dyade 247
e) Flächenkurven 260
f) Flächen 253
g) Differentialgeometrie der Vektorfelder 259
3. Weitere Anwendungen aus der Mechanik 260
a) Mechanik des Massenpunktes 260
b) Systeme von Massenpunkten, „Hamilton Jacobische
Differentialgleichung 263
c) Kinematik des starren Körpers 266
d) Drehung um einen festen Punkt Trägheitsdyade 268
e) Drehung um eine feste Achse 271
i) Bewegte Bezugssysteme 272
g) Keplerbewegung und Störnngsgleichungen 273
4. Anwendungen aus der Theorie der Elastizität 275
a) Die Deformationsdyade 275
b) Der einfache Schub als Beispiel 277
c) Deformationsellipsoid, infinitesimale Deformationen 279
d) Spannungsdyade und Spannungsellipsoid 280
e) Die Bewegungsgleichungen mit Berücksichtigung der
elastischen Spannungen. Energiesatz 282
f) Elastostatik, Bedeutung der Moduln und Beziehungen
zwischen ihnen 286
g) Kristalielastiritat 289
h) Elastische Wellen in Kristallen 295
i) Bestimmung der elastischen Konstanten in Kristallen
(Cl. Schaefer, L. Bergmann) 297
k) Oberflächenwellen 301
XIV Inhaltsverzeichnis
Seite
5. Anwendungen aus der theoretischen Hydrodynamik 305
a) Lagrangesche Gleichungen der Hydrodynamik 305
b) Eulersche Gleichungen der Hydrodynamik 306
c) Differentialform des Energiesatzes 307
d) Berücksichtigung von Reibungswärme und Wärmeleitung 309
e) Differentialfonn des Entropiesatzes 312
f) Zeitliche Änderung von Flächen und Linienintegralen,
die auf bewegte Flächen und Linien bezogen sind 315
g) Helmholtzsche Wirbelsätze 317
h) Die Bemoullische und mit ihr zusammenhängende
Gleichungen 318
i) Zahigkeitsspannungen und Poiseuillesche Strömung.. 320
6. Anwendungen aus der Theorie der elektromagnetischen Er¬
scheinungen ...., 323
a) Die Maxwellschen Gleichungen ¦ 323
b) Die H. Hertzschen Gleichungen 324
c) Die Lorentzschen Gleichungen 326
d) Vereinfachte Feldgleichungen der Praxis 327
e) „Körperliche Fluxionen 328
f) Die elektromagnetische Spannungsdyade 330
g) Lorentzsche Theorie und Gegenwirkungsprinzip 333
h) Dielektrische Kugel im ursprünglich homogenen elektro¬
statischen Felde 335
i) Die Hertzsche Lösung der Maxwellschen Gleichungen
(Strahlender Dipol) 339
k) Elektromagnetische Wellen längs paralleler vollkommener
Leiter 347
7. Anwendungen aus der klassischen Theorie der optischen
Erscheinungen 352
a) Dispersion und Absorption 352
b) Kristalloptik 357
c) Klassische Theorie des Zeemaneffektes und verwandter
Erscheinungen 363
Inhaltsverzeichnis XV
Seite
8. Ausblick auf die Quantenmechanik 366
a) Wellenmechanik 386
b) Zusammenhang mit der Hamilton Jacobi¬
schen Differentialgleichung 371
c) Erwartungswerte, Strahlungsemission 373
d) Heisenbergsche Ungenauigkeitsrelation und
Vertauschungsrelationen 377
e) Matrizenmechanik 381
f) Zusammenhang zwischen Wellen und Matrizen¬
mechanik 385
g) Einige grundlegende Rechenverfahren der Matrizen¬
mechanik 391
9. Ergänzungen 399
a) Sphärische Trigonometrie und Vektorrechnung ... 399
b) Derivationen in krummlinigen Koordiiiaten ...... 400
c) Ebene Vektorrechnung und Funktionentheorie ... 403
c ) Verwandte Ergänzungen zur Potentialtheorie im
Räume 415
d) Eine Bemerkung über Reihenentwicklungen 418
e) Matrizenmechanik und Integralgleichungen 420
f) Einiges über die Vektorrechnung der speziellen Re¬
lativitätstheorie 422
g) Grundzüge des mathematischen Formalismus der
Di rac sehen Theorie des Elektrons 444
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