Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser:
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Paris
InterEd. [u.a.]
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|---|---|
| adam_text | Table des matières
Introduction générale 9
CHAPITRE 0. NOTATIONS ET RAPPELS DE THÉORIE
DES DISTRIBUTIONS
1 Espaces de fonctions différentiables et opérateurs différentiels 13
2 Distributions sur un ouvert de 1R 14
3 Convolution 16
4 Noyaux 18
5 Analyse de Fourier sur 1R 19
CHAPITRE I. OPÉRATEURS PSEUDO DIFFÉRENTIELS
1 Introduction 23
1.1 L usage de la transformation de Fourier 23
1.2 Les opérateurs à coefficients variables 25
1.3 Les deux côtés réconciliés 27
2 Symboles 28
2.1 Définition et exemples 28
2.2 Approximation des symboles 30
2.3 Sommes asymptotiques et symboles classiques
pseudo différentiels dans S et S 30
3 Opérateurs pseudo différentiels dans S et 8 33
3.1 Action dans S 33
3.2 Noyaux et adjoints 34
3.2.1 Noyaux 34
3.2.2 Adjoints 35
3.2.3 Adjoint d un opérateur pseudo différentiel 36
4 Composition des opérateurs 38
5 Action des opérateurs pseudo différentiels et espaces de Sobolev 39
5.1 Action sur L1 39
5.2 Action sur les espaces de Sobolev 41
5.3 Inégalité de Gârding (version « faible ») 41
5.4 Inversion des opérateurs elliptiques 42
6 Table des matières
6 Opérateurs dans un ouvert de ]R 44
6.1 Propriété pseudo locale 44
6.2 Symboles locaux et opérateurs dans un ouvert 45
6.3 Opérateurs proprement supportés 46
7 Opérateurs sur une variété 47
7.1 Opérateurs pseudo différentiels et changements de variables 47
7.2 Symbole principal et fibre cotangent 48 ;
7.2.1 Le fibre cotangent T* M (quelques rappels) 48
7.2.2 Le symbole principal 50
8 Appendice 51
8.1 Intégrales oscillantes 51
8.2 Démonstration des théorèmes de calcul symbolique 54
8.3 Action d un opérateur pseudo différentiel sur une fonction
oscillante 57
Commentaires sur le chapitre I 61
Exercices sur le chapitre I 61
CHAPITRE II. ANALYSE NON LINÉAIRE DYADIQUE.
ANALYSE MICROLOCALE. ESTIMATIONS D ÉNERGIE
A. Analyse non linéaire dyadique 91
1 Décomposition de Littlewood Paley : propriétés générales 91
1.1 La décomposition de Littlewood Paley 91
1.2 Caractérisation des espaces de Sobolev 94
1.3 Caractérisation des espaces de Hôlder 94
1.4 Injections de Sobolev 96
1.5 Inégalités de convexité 96
1.6 Opérateurs de régularisation 97
2 Application à l étude des produits et de la composition 98
2.1 Estimation d un produit de deux fonctions 98
2.2 Estimation d une fonction composée 101
B. Analyse microlocale : front d onde et opérateurs pseudo
différentiels 104 i
1 Front d onde d une distribution 104
1.1 Définition du front d onde 104
1.2 Exemples. Cas des distributions de Fourier 106
2 Opérateurs linéaires et front d onde 107
2.1 Un théorème général 107
2.2 Opérateurs pseudo différentiels et front d onde 111
C. Estimations d énergie 113
1 Opérateurs du premier ordre 113 ¦
1.1 L estimation d énergie 114
i
Table des matières 7
1.2 Existence de solutions 115
1.3 Propagation des singularités 117
2 Opérateurs d ordre m 119
Commentaires sur le chapitre II 122
Exercices sur le chapitre II 123
CHAPITRE III. THÉORÈMES DE FONCTIONS IMPLICITES
A. Théorème des fonctions implicites et problèmes elliptiques 139
1 Rappel du théorème dans le cadre des espaces de Banach 139
1.1 Le théorème d inversion locale 139
1.2 Le théorème des fonctions implicites 141
2 Quelques exemples d équations différentielles non linéaires 141
2.1 Résolubilité locale d équations différentielles 141
2.2 Solutions périodiques d équations non linéaires 142
2.3 Perturbation d un problème de Dirichlet non linéaire 143
2.4 Résolubilité locale d équations elliptiques non linéaires 144
B. Deux exemples d utilisation de la méthode du point fixe 147
1 Un exemple de la mécanique des fluides 147
1.1 Systèmes hyperboliques symétriques quasi linéaires 147
1.2 Existence locale en temps d une solution 148
1.3 Contrôle en «grande norme» 150
1.4 Convergence en «petite norme» 151
1.5 Régularité de la solution et conclusion 152
2 Le problème du plongement isométrique 152
2.1 Présentation générale 152
2.2 Réduction à un problème de point fixe 153
C. Le théorème de Nash Moser 155
1 Présentation générale 155
2 Deux exemples classiques 157
2.1 Perturbation d un champ constant sur le tore 157
2.2 L exemple du plongement isométrique traité par la technique
de Nash Moser 160
3 Estimations douces 160
3.1 Applications douces 160
3.2 Quelques applications douces naturelles 161
3.3 Solutions d équations différentielles 163
3.3.1 Un calcul explicite 163
3.3.2 Une estimation a priori 163
3.4 Retour sur les exemples classiques 164
3.5 Conclusion 165
8 Table des matières
4 Le théorème de Nash Moser 165
4.1 Schéma de résolution 166
4.2 Structure de la récurrence 169
4.3 Preuve de l hypothèse de récurrence 170
4.4 Régularité additionnelle de la solution construite 173
4.5 Conclusion et remarques 174
Commentaires sur le chapitre III 174
Exercices sur le chapitre III 175
Bibliographie 183
Principales notations introduites 185
Index 187
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