Existence de chocs faibles pour des systemes quasi-lińeaires hyperboliques multidimensionnels:
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Paris
Societe Mathématique de France
2000
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| adam_text | Titel: Existence de chocs faibles pour des systèmes quasi-linéaires hyperboliques multidimensionnels
Autor: Francheteau, Jacques
Jahr: 2000
TABLE DES MATIERES
1. Introduction ............................................................................................................................1
1.1. Enonce du probleme ........................................................................................................1
1.2. La strategic generale. Techniques miscs en jeu ....................................................3
1.3. Exemples ............................................................................................................................18
1.4. Plan de Particle ................................................................................................................20
2. Resultats principaux .................................................... 21
2.1. Le systeme ............................................................................................................................21
2.2. Chocs faibles ....................................................................................................................22
2.3. Changements de variables ............................................................................................23
2.4. Donnees de Cauchy ........................................................................................................27
2.5. Un exemple ........................................................................................................................29
2.0. Le resultat principal .................................................... 29
2.7. Prolongement d une solution locale dans les variables initiales .......... 31
2.8. Convergence des solutions vers l onde sonique .......................... 32
2.9. Application au systeme d Euler de la dynamique des gaz ................ 33
3. Les etapes des preuves .................................................. 37
3.1. Solutions approchees ........................................................................................................37
3.2. Les equations pour le probleme non-lineaire ........................................................39
3.3. Les estimations a priori pour le probleme non-lineaire ....................................41
3.4. Theoreme de prolongement a e fixe ........................................................................44
3.5. Temps d existence a priori et preuve du theoreme 2.6.2 ................................44
3.0. Prolongement d un choc faible. Preuve du theor ne 2.7.1 .............. 46
4. Estimations preliminaires .............................................. 49
4.1. Inegalites non lineaires .................................................. 49
4.2. Estimations L°° ........................................................ 51
vi TABLE DES MATlERES
5. Operateurs de traces et de relevement de traces ........................................53
5.1. Un lemme de trace ............................................................................................................53
5.2. Construction d un operateur de relevement de trace ........................................54
5.3. Action de 7Z dans les espaces W k °° ....................................................................56
5.4. Action de 1Z dans les espaces Hs ................................................................................58
6. Compatibilites. Constructions de solutions approchees .............. 61
6.1. Developpement de Taylor des solutions ................................................................61
6.2. Conditions de compatibilites ........................................................................................63
6.3. Construction d une famille de donnees initiales compatibles globales .... 67
6.4. Construction d une famille de solutions approchees ........................................70
6.5. Donnees initiales compatibles locales. Prolongement ........................................74
6.6. Solutions approchees locales. Prolongement ........................................................76
6.7. Solutions locales exactes dans le passe. Prolongement ....................................79
7. Paralinearisation ........................................................ 83
7.1. Le paraproduit ....................................................................................................................83
7.2. Generality sur 1 equation (3.2.3) ................................................................................88
7.3. Paralinearisation de 1 equation pour le probleme lineaire ................................90
7.4. Paralinearisation de l equation pour le probleme non-lineaire ........................95
7.5. Paralinearisation des conditions aux limites pour le probleme lineaire .. 95
7.6. Paralinearisation des conditions aux limites pour le probleme non-lineaire
........................................................................ 97
8. Estimations d energie conormales ....................................105
8.1. La stabilite L2 ..........................................................105
8.2. Estimations pour le probleme paradifferentiel ..........................106
8.3. Estimation d energie pour le probleme non-lineaire ......................110
8.4. Estimation d energie pour le probleme lineaire ..........................112
9. Estimations a priori pour le probleme non-lineaire ..................115
9.1. Estimation de dntt ......................................................115
9.2. Estimations des derivees normales ......................................121
9.3. Estimation du saut de u ................................................122
9.4. Estimation de 4? ........................................................125
9.5. Estimation a priori principale. Preuve du theoreme 3.3.3 ................128
10. Le theoreme de prolongement a e fixe ..............................131
10.1. Enonce dn resultat ....................................................131
10.2. Operateurs de regularisation ..........................................134
10.3. Description du schema iteratif........................................136
10.4. Estimations douces .....................................................142
10.o. Hypothese de recurrence ............................148
10.6. Estimations de Fu, Gu et ..........................................150
10./. Preuve du theoreme 10.1.1 ........................153
asti;:hisquh
TABLE DES MATlfiRES vii
11. Prolongement de la regularite ........................................159
11.1. Enonce du resultat ....................................................159
11.2. Operateurs de regularisation ..........................................161
11.3. Regularite tangentielle ................................................165
11.4. Regularite conormale ..................................................172
11.5. Preuve du theoreme 11.1.2 ............................................174
12. Application au systeme d Euler. Comparaison des solutions......177
12.1. Le systeme d Euler de la dynamique des gaz ..........................177
12.2. Le systeme d Euler isentropique ........................................179
12.3. Le theoreme de comparaison ..........................................182
12.4. Comparaison des solutions approchees ................................184
12.5. Le probleme lineaire pour (V, r4 ) ......................................185
12.6. Inegalites d energie pour (u,r^) ......................................186
12.7. Estimation de ^ ......................................................188
12.8. Estimation du saut de v ..............................................190
12.9. Preuve du theoreme 12.3.4 ............................................192
Bibliographie ................................................................195
SOClfiTfi MATHltMATIQUE DE FRANCE 2000
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