Numerik partieller Differentialgleichungen: eine anwendungsorientierte Einführung
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
0. Zum Beispiel: Differentialgleichungsmodelle
für Prozesse in porösen Medien........................... 1
0.1 Transport- und Reaktionsprozesse in porösen Medien ....... 1
0.2 Fluidtransport in porösen Medien........................ 3
0.3 Reaktiver Lösungstransport in porösen Medien............. 7
0.4 Randwert- und Anfangs-Randwert-Aufgaben............... 10
Übungen.............................................. 14
1. Zu Beginn: Die Finite-Differenzen-Methode
für die
1.1 Das Dirichlet-Problem für die Poisson-Gleichung........... 17
1.2 Die Finite-Differenzen-Methode .......................... 18
1.3 Verallgemeinerung und Grenzen
der Finite-Differenzen-Methode........................... 27
1.4 Maximumprinzipien und Stabilität........................ 31
Übungen.............................................. 38
2. Die Finite-Element-Methode
am Beispiel der Poisson-Gleichung........................ 39
2.1 Variationsformulierung für das Modellproblem ............. 39
2.2 Die Finite-Element-Methode am Beispiel der linearen Elemente 47
2.3 Stabilität und Konvergenz der Finite-Element-Methode..... 60
2.4 Die Implementierung der Finite-Element-Methode - 1. Teil .. 65
2.5 Lösen dünnbesetzter linearer Gleichungssysteme
mit direkten Verfahren.................................. 73
Übungen.............................................. 82
3. Die Finite-Element-Methode
für lineare elliptische Randwertaufgaben 2. Ordnung..... 85
3.1 Variationsgleichungen und Sobolevräume.................. 85
3.2 Elliptische Randwertaufgaben 2. Ordnung................. 92
3.3 Elementtypen und affin-äquivalente Triangulierungen....... 104
3.4 Konvergenzordnungsabschätzungen....................... 121
3.5 Die Implementierung der Finite-Element-Methode - 2. Teil .. 136
X
3.6 Konvergenzordnungsaussagen
bei Quadratur und Interpolation .........................143
3.7 Die Kondition von Finite-Element-Matrizen................151
3.8 Allgemeine Gebiete und isoparametrische Elemente.........154
3.9 Das Maximumprinzip für Finite-Element-Methoden.........159
Übungen..............................................164
4. Gittergenerierung und
4.1 Gittergenerierung.......................................169
4.2
Übungen..............................................187
5. Iterationsverfahren für lineare Gleichungssysteme........191
5.1 Linear stationäre Iterationsverfahren......................193
5.2 Gradientenverfahren und
Methode der konjugierten Gradienten.....................209
5.3 Vorkonditionierte CG-Verfahren..........................220
5.4 Krylov-Unterraum-Methoden
für nichtsymmetrische Gleichungssysteme..................225
5.5 Mehrgitterverfahren ....................................231
5.6 Geschachtelte Iterationen................................244
Übungen..............................................246
6. Die Finite-Element-Methode
für parabolische Anfangs-Randwert-Aufgaben............249
6.1 Problembeschreibung und Lösungsbegriff..................249
6.2 Semidiskretisierung mittels vertikaler Linienmethode........253
6.3 Volldiskrete Schemata...................................257
6.4 Stabilität..............................................261
Übungen..............................................266
7. Iterationsverfahren für nichtlineare Gleichungssysteme . .. 269
7.1 Fixpunktiteration ......................................271
7.2 Das Newtonverfahren und Varianten......................275
7.3 Semilineare Randwertaufgaben
für elliptische und parabolische Gleichungen...............286
Übungen..............................................292
8. Die
8.1 Die Grundidee der
8.2 Die
Differentialgleichungen 2. Ordnung auf Dreiecksgittern......301
Übungen..............................................317
Inhaltsverzeichnis
9. Diskretisierungsverfahren
für konvektionsdominierte Probleme......................319
9.1 Die Stromliniendiffusionsmethode.........................323
9.2
9.3 Lagrange-Galerkin-Verfahren............................333
Übungen..............................................335
A. Anhänge..................................................337
A.l Bezeichnungen.........................................337
A.2 Einige Grundbegriffe der
A.3 Einige Grundbegriffe der linearen Algebra.................341
A.4 Einige Definitionen und Schlussweisen
der linearen Funktionalanalysis...........................346
A.5 Funktionenräume.......................................351
Literaturverzeichnis ..........................................355
Sachverzeichnis...............................................359
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