Parametrische Modelle zur Ermittlung des Value-at-Risk:
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1998
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Inhaltsverzeichnis
Verzeichnis wichtiger Symbole v
1 Einleitung 1
2 Das Portfolio Risikomaß Value at Risk 3
2.1 Definition von Wertänderungen und Renditen 3
2.1.1 Wertänderungen und Renditen einer Finanzposition 3
2.1.2 Wertänderungen und Renditen eines Portfolios 6
2.2 Oberblick über Portfolio Risikomaße g
2.2.1 Momente der Portfolio Wertänderung 8
2.2.2 Lower Partial Moments der Portfolio Wertänderung 11
2.2.3 Value at Risk als Quantil der Portfolio Wertänderung 12
2.2.3.1 Definition des Value at Risk 12
2.2.3.2 ökonomische Interpretation des Value at Risk und Anwendungen 14
2.2.3.3 Zusammenhang zwischen Value at Risk und Lower Partial Mo¬
ments 15
2.2.3.4 Zur Wahl der Parameter Wahrscheinlichkeitsniveau und Halte¬
dauer 16
2.2.3.5 Untere Schranken des Value at Risk 16
2.2.4 Maximum Loss als Zielfunktionswert eines Optimierungsproblems . 20
2.3 Kohärente Portfolio Risikomaße 22
2.3.1 Definition kohärenter Portfolio Risikomaße 22
2.3.2 Ãberprüfung der Kohärenz an ausgewählten Beispielen 25
2.3.2.1 Standardabweichung 25
2.3.2.2 Delta Normal Value at Risk 26
2.3.2.3 Delta Gamma Normal Value at Risk 28
2.3.2.4 Maximum Loss 29
2.4 Modelle zur Ermittlung des Value at Risk 30
2.4.1 Parametrische Modelle 30
2.4.2 Simulationsmodelle 33
2.4.2.1 Historische Simulation 33
2.4.2.2 Monte Carlo Simulation 34
3 Delta Normal Value at Risk 37
3.1 Annahmen 38
3.1.1 Taylor Entwicklung der Portfolio Wertänderung 38
3.1.1.1 Taylor Entwicklung und Satz von Taylor 38
3.1.1.2 Wertänderung einer Position und Positions Sensitivitäten . 39
i
i; INHALTSVERZEICHNIS
3.1.1.3 Modifizierte Positions Sensitivitäten 41
3.1.1.4 Portfolio Wertänderung und Portfolio Sensitivitäten 43
3.1.2 Normalverteilung der Risikofaktoren 46
3.1.2.1 Normalverteilung der relativen Wertänderungen der Risikofaktoren 46
3.1.2.2 Eigenschaften der Kovarianzmatrix der Risikofaktoren 47
3.1.2.3 Normalverteilung der absoluten Wertänderungen der Risikofak¬
toren 48
3.2 Wahrscheinlichkeitsverteilung der Portfolio Wertänderung 49
3.3 Aufteilung des Delta Normal Value at Risk 52
3.3.1 Risikofaktorbezogene Delta Normal Value at Risk Werte 52
3.3.2 Component Value at Risk Werte 58
3.4 Beurteilung des Delta Normal Value at Risk 60
4 Delta Gamma Normal Value at Risk 63
4.1 Annahmen 63
4.2 Portfolio Wertänderung bei einem Risikofaktor 64
4.2.1 Momente der Portfolio Wertänderung 64
4.2.2 Darstellung der Portfolio Wertänderung als quadratische Form 69
4.3 Portfolio Wertänderung bei mehreren Risikofaktoren 72
4.3.1 Transformation der Wertänderungen der Risikofaktoren 73
4.3.1.1 Zerlegung der Kovarianzmatrix 73
4.3.1.2 Diagonalisierung der Gamma Matrix 79
4.3.2 Charakterisierung des transformierten Systems 79
4.3.2.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung der Risikofaktoren 80
4.3.2.2 Portfolio Sensitivitäten 81
4.3.2.3 Portfolio Wertänderung 84
4.3.3 Momente der Portfolio Wertänderung 85
4.3.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung der Portfolio Wertänderung 95
4.3.4.1 Portfolio Wertänderung bei invertierbarer Gamma Matrix . 96
4.3.4.2 Portfolio Wertänderung bei nicht invertierbarer Gamma Matrix 99
4.4 Bestimmung des Quantiis der Portfolio Wertänderung 102
4.4.1 Ansatz von Zangari 104
4.4.2 Ansatz von Fallon 105
4.4.3 Ansatz von Britten Jones/Schaefer 109
4.4.4 Ansatz von Rouvinez 111
4.5 Alternatives Konzept: Delta Gamma Maximum Loss 116
4.5.1 Quadratisches Optimierungsproblem im ursprünglichen System 117
4.5.1.1 Zielfunktion und Nebenbedingung 117
4.5.1.2 Kuhn Tucker Bedingungen 119
4.5.1.3 Losung im Spezialfall Delta Maximum Loss 121
4.5.2 Quadratisches Optimierungsproblem im transformierten System 122
4.5.2.1 Zielfunktion und Nebenbedingung 123
4.5.2.2 Kuhn Tucker Bedingungen 124
4.5.2.3 Zur Lösung 125
4.6 Beurteilung des Delta Gamma Normal Value at Risk 127
INHALTSVERZEICHNIS iii
5 Mapping von Finanzinstrumenten auf Risikofaktoren 129
5.1 Mapping von Zinsinstrumenten 129
5.1.1 Mapping von ausfallrisikolosen Bonds 130
5.1.2 Mapping von ausfallrisikobehafteten Bonds 136
5.1.3 Darstellung von Zinsinstrumenten als Portfolio von Zerobonds 137
5.2 Mapping von Aktien 139
5.3 Mapping von Commodities 142
5.4 Mapping von Fremdwährungspositionen 143
5.5 Mapping von Optionen 145
5.6 Beurteilung des Mapping 146
6 Prognose der Kovarianzmatrix der Risikofaktoren 149
6.1 Begriffe und Definitionen 150
6.2 Prognose der Kovarianzmatrix mit dem MA Modell 152
6.2.1 Univariates MA Modell 152
6.2.2 Multivariates MA Modell 154
6.2.3 Beurteilung des MA Modells 156
6.3 Prognose der Kovarianzmatrix mit dem EWMA Modell 156
6.3.1 Univariates EWMA Modell 156
6.3.2 Multivariates EWMA Modell 159
6.3.3 Beurteilung des EWMA Modells 160
6.4 Prognose der Kovarianzmatrix mit GARCH Ansätzen 161
6.4.1 Univariate GARCH Ansätze 161
6.4.1.1 ARCH Modell 162
6.4.1.2 GARCH Modell 164
6.4.1.3 Integrated GARCH Modell 171
6.4.2 Multivariate GARCH Ansätze 172
6.4.2.1 Vector GARCH Modell 174
6.4.2.2 Diagonal Vector GARCH Modell 175
6.4.2.3 Scalar GARCH Modell 177
6.4.3 Beurteilung der GARCH Ansätze 179
7 Zusammenfassung 181
Literaturverzeichnis 183 |
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