Introduction à la logique mathématique:
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1964
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| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
Introduction 1
Chapitre 1. — Algèbre des propositions 21
§ 1. Opérations logiques 21
§ 2. Equivalence des formules 25
§ 3. Loi de dualité 30
§ 4. Le problème de la décision 31
§ 5. Représentation des fonctions bivalentes 37
§ 6. Formes normales parfaites 40
Chapitre 2. — Calcul des propositions 46
§ 1. Le concept de formule 46
§ 2. Définition des formules vraies 51
§ 3. Le théorème de la déduction 59
§ 4. Quelques règles du calcul des propositions 62
§ 5. Monotonie 65
§ 6. Formules équivalentes 68
§ 7. Quelques théorèmes sur la déduction 75
§ 8. Formules dans l algèbre des propositions et dans le calcul des propo¬
sitions 82
§ 9. Non-contradiction du calcul des propositions 84
§ 10. Complétude du calcul des propositions 86
§11. Indépendance des axiomes du calcul des propositions 88
Chapitre 3. — Logique des prédicats 98
§ 1. Prédicats 98
§ 2. Quantificateurs 101
§ 3. Sens des prédicats du point de vue de la théorie des ensembles 105
§ 4. Axiomes 108
§ 5. Non-contradiction et indépendance des axiomes 111
§ 6. Correspondances bi-univoques entre champs 113
§ 7. Isomorphisme des champs et complétude d un système d axiomes .. 115
§ 8. Axiomes de la suite naturelle 119
§ 9. Formules normales et formes normales 125
§ 10. Le problème de la décision 127
§11. Logique des prédicats avec une variable 128
§ 12. Champs finis et infinis 134
§ 13. Fonctions de décision (fonctions de Skolem) 137
§ 14. Le théorème de Lôvenheim 143
Chapitre 4 — Calcul des prédicats 147
§ 1. Formules du calcul des prédicats 147
§ 2. Remplacement des variables dans les formules 153
§ 3. Axiomes du calcul des prédicats 154
§ 4. Règles de formation des formules vraies 155
§ 5. Non-contradiction du calcul des prédicats 163
§ 6. Complétude au sens étroit 169
§ 7. Quelques théorèmes du calcul des prédicats 172
§ 8. Le théorème de la déduction 175
§ 9. Autres théorèmes du calcul des prédicats 178
§ 10. Formules équivalentes 187
VIII TABLE DES MATIERES
§ 11. Loi de dualité 191
§ 12. Formes normales 195
§ 13. Équivalence déductive 198
§ 14. Formes normales de Skolem 199
§ 15. Démonstration du théorème de Skolem 204
§ 16. Le théorème de Maltsev 206
§ 17. Le problème de la complétude du calcul des prédicats au sens large .. 215
§ 18. Remarque sur les formules du calcul des prédicats ne contenant pas
de quantificateurs 215
§ 19. Théorème de Gôdel 217
§ 20. Systèmes d axiomes dans le calcul des prédicats 225
Chapitre 5. — Arithmétique axiomatique 230
§ 1. Termes — Calcul des prédicats élargis 230
§ 2. Propriétés du prédicat d égalité et des fonctions d objets 232
§ 3. Relation d équivalence 235
§ 4. Le théorème de la déduction 237
§ 5. Axiomes de l arithmétique 238
§ 6. Exemples de formules déduites 240
§ 7. Termes récurrents 243
§ 8. Arithmétique finie 245
§ 9. Fonctions récurrentes 249
§ 10. Déduction axiomatique des propriétés des fonctions arithmétiques .. 251
§ 11. Prédicats récurrents 255
§ 12. Autres moyens de formation des prédicats récurrents — Quantifi¬
cateurs bornés 257
§ 13. Exemples de formation de nouveaux termes récurrents 258
§ 14. Quelques prédicats et termes de la théorie des nombres 262
§ 15. Fonctions calculables 266
§ 16. Quelques théorèmes de l arithmétique axiomatique 269
Chapitre 6. — Éléments de la théorie des démonstrations 277
§ 1. Exposé du problème de la non-contradiction et de l indépendance des
axiomes 277
§ 2. Facteurs sim. es et termes simples 279
§ 3. Formules primitivement vraies 280
§ 4. Les opérations 1, 2, 3 282
§ 5. Formules régulières 285
§ 6. Quelques lemmes sur les formules régulières 292
§ 7. Opérations duales des opérations 1, 2, 3 305
§ 8. Propriétés des opérations 1*, 2*. 3* 306
§ 9. Régularité des formules déduites dans l arithmétique 313
§ 10. Non-contradiction de l arithmétique finie 316
§11. Indépendance de l axiome de l induction complète dans l arith¬
métique •• 317
§12. Extension du théorème sur l indépendance de l axiome de l induction
complète 319
INDEX ANALYTIQUE 330
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