Fraktale und Julia-Mengen:
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Thun ; Frankfurt am Main
Deutsch
1998
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Inhalt
I Klassische Fraktale l
1 Cantor Menge 2
1.1 Konstruktion und Eigenschaften 2
1.2 Triadische Darstellung 5
1.3 Erzeugung mit Hilfe eines iterierten Funktionensystems 9
2 Affine Abbildungen und Kontraktionen 12
2.1 Affine Abbildungen der Ebene 12
2.2 Kontraktionen 15
2.3 Iterierte Funktionensysteme 16
3 Sierpinski Dreieck 1 g
3.1 Konstruktion und Eigenschaften 18
3.2 Binäre Darstellung 22
4 Koch Kurve 24
4.1 Iterierte Abbildung eines Dreiecks 24
4.2 Iterierte Abbildung eines Intervalls 28
4.3 Rekursive Konstruktion der Koch Polygone 32
5 Heighway Drachen 34
Übungen 41
II Dimension 47
1 Box Dimension 48
1.1 Einführung und Definition 48
1.2 Äquivalente Definitionen 52
1.2.1 Diskreter Grenzübergang 52
1.2.2 Überdeckung durch ein Netz von Quadraten 55
1.3 Dimension selbstähnlicher Mengen 58
1.3.1 Sierpinski Dreieck 58
1.3.2 Koch Kurve 62
vi
1.3.3 Selbstähnliche Mengen 62
1.4 Eigenschaften der Box Dimension 64
2* Hausdorff Dimension 67
Übungen 77
III Iterierte Funktionensysteme 83
1 Hausdorff Metrik 83
2 Invariante Mengen 90
2.1 Hutchinson Operator 90
2.2 Konvergenz von Iterationsfolgen 93
2.3 Wiedergabe von Attraktoren 95
2.3.1 Ein erster Algorithmus 95
2.3.2 Zufällige Auswahl von Kontraktionen 100
2.4 Struktur von Attraktoren 102
2.5 Adressen 103
2.5.1 Lokalisierung von Attraktorpunkten 103
2.5.2 Korrektheit des Algorithmus IFS2 105
2.6 Bilder als Attraktoren 109
2.7 Symmetrische Fraktale 113
Übungen 118
IV Dynamik komplexer Funktionen Julia Mengen 120
1 Polynome ersten Grades 122
2 Ausgefüllte Julia Mengen 124
2.1 Definition und erste Eigenschaften 124
2.1.1 Julia Mengen 124
2.1.2 Fluchtschranken 127
2.1.3 Invarianz 130
2.2 Julia Mengen der quadratischen Familie 131
2.2.1 Grafische Wiedergabe 131
2.2.2 Symmetrieeigenschaften 135
vii
2.3 Der Punkt oo als anziehender Fixpunkt 136
3 Quadratische Familie und Mandelbrot Menge 140
3.1 Die Mandelbrot Menge 140
3.2 Grafische Wiedergabe 149
3.3 Weitere Eigenschaften 151
4 Fixpunkte und Zyklen 154
4.1 Fixpunkte 154
4.1.1 Klassifikation von Fixpunkten 154
4.1.2 Die quadratische Familie 155
4.1.3 Fixpunkte beliebiger Funktionen 159
4.1.4 Einzugsbereiche und Julia Mengen 160
4.2 Periodische Punkte und Zyklen 161
4.2.1 Ein einführendes Beispiel 161
4.2.2 Zyklen und Attraktionsverhalten 163
4.3 Kritische Punkte 169
5 Julia Mengen 170
5.1 Erste Eigenschaften 170
5.1.1 Quadratische Familie 170
5.1.2 Beliebige Polynome 173
5.2 Lage der periodischen Punkte 174
5.3 Weitere Eigenschaften von Julia Mengen 176
5.3.1 Ein grundlegender Satz über Julia Mengen 176
5.3.2 Dichtheit der Urbilder 181
5.3.3 Julia Mengen als Rand von Einzugsbereichen 182
5.3.4 Überabzählbarkeit 184
5.3.5 Gelegentliche Surjektivität 185
5.3.6 Chaos 187
5.4 Julia Mengen der quadratischen Familie 188
5.4.1 Grafische Wiedergabe 188
5.4.2 Symmetrie 193
6 Linearisierbarkeit 193
6.1 Konjugierte Funktionen 194
6.2 Anziehende und abstoßende Fixpunkte 196
6.3 Indifferente Fixpunkte 197
viii
6.3.1 Linearisierbarkeit und Lage in K(f) 197
6.3.2 Rational indifferente Fixpunkte und Zyklen 198
6.3.3 Irrational indifferente Fixpunkte 201
7 Die Mandelbrot Menge
Ordnungsprinzip der quadratischen Familie 203
7.1 Anziehende Fixpunkte und Zyklen 205
7.1.1 Anziehende Fixpunkte der Hauptkörper 205
7.1.2 Anziehende 2 Zyklen der kreisförmige Nebenkörper 208
7.1.3 Periodische Komponenten 211
7.2 Bifurkationen 215
7.2.1 Periodenverdoppelnde Bifurkationen 215
7.2.2 Periodenvervielfachende Bifurkationen 216
7.2.3 Bifurkationen auf der reellen Achse
logistische Gleichung 221
7.3 Klassifikation von Julia Mengen 224
Übungen 227
V Computerübungen 240
VI Mathematischer Anhang 251
1 Funktionen, Abbildungen, Mengen 251
2 Der n dimensionale euklidische Raum R 253
3 Komplexe Zahlen und Funktionen 258
4 Beweis zweier Sätze aus Kapitel IV 275
5 Alternative Charakterisierung von Julia Mengen 278
Literaturverzeichnis 280
Sachverzeichnis 283
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