Von der Black-Scholes-Optionspreisformel zum GARCH-Optionsbewertungsmodell: Entwicklung und exemplarische Durchführung eines Ansatzes zur Überprüfung der Validität von Optionspreismodellen
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1998
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Inhaltsübersicht
1 Einleitung 1
2 Eigenschaften von Aktienrenditezeitreihen 5
3 GARCH Modelle 43
4 Optionshandel an der DTB 99
5 Ausgewählte Optionspreismodelle 123
6 Das GARCH Optionspreismodell 175
7 Zusammenfassung und Ausblick 225
Anhang 229
Literaturverzeichnis 241
III
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis VIII
Tabellenverzeichnis X
1 Einleitung 1
1.1 Problemstellung 1
1.2 Aufbau der Arbeit 2
2 Eigenschaften von Aktienrenditezeitreihen 5
2.1 Einführung 5
2.2 Verwendete Daten 6
2.3 Definitionen 8
2.3.1 Diskrete Aktienrenditen 8
2.3.2 Kontinuierliche Aktienrenditen 8
2.3.3 Zusammenhänge zwischen diskreten und kontinuierlichen Aktienrenditen 9
2.4 Verteilung 10
2.4.1 Normalverteilungsannahme 10
2.4.2 Alternative Verteilungsannahmen 14
2.4.2.1 Stabile Pareto Levy Verteilung 15
2.4.2.2 Mischverteilungsmodelle 17
2.5 Mögliche Strukturen von Renditezeitreihen 19
2.5.1 Einführung 19
2.5.2 Stationarität 22
2.5.3 Tests auf Stationarität 22
2.5.4 Lineare Abhängigkeiten 24
2.5.4.1 Autoregressive Prozesse 27
2.5.4.2 Moving Average Prozesse 28
2.5.4.3 Autoregressive Moving Average Prozesse 29
2.5.5 Nichtlineare Abhängigkeiten 31
2.6 Varianz und Volatilität 34
2.6.1 Bestimmung der Volatilität aus historischen Renditen 36
2.6.2 Alternative Volatilitätsmaße 39
3 GARCH Modelle 43
3.1 Einführung 43
3.2 Das ARCH Modell 44
3.2.1 Grundlagen 44
,• 3.2.2 Eigenschaften am Beispiel eines ARCH(1) Prozeß 45
IV Inhaltsverzeichnis
3.2.3 Tests 48
3.2.4 Schätzung 49
3.3 Das GARCH Modell 51
3.3.1 Grundlagen 51
3.3.2 Eigenschaften am Beispiel eines GARCH(1,1) Prozeß 52
3.3.3 Tests 59
3.3.4 Schätzung 59
3.3.5 Empirische Ergebnisse 61
3.4 Veränderungen der GARCH Parameter im Zeitablauf 64
3.4.1 Grundproblem 64
3.4.2 250 Tage Schätzung 65
3.4.3 750 Tage Schätzung 66
3.4.4 Schätzergebnisse für eine kontinuierlich wachsende Stichprobe 67
3.5 GARCH Regressionsmodelle 68
3.5.1 Definition und Schätzung 68
3.5.2 ARMA GARCH Modelle 70
3.5.3 Tests 70
3.5.4 Empirische Ergebnisse 71
3.6 Erweiterungen 73
3.6.1 Symmetrie und Asymmetrie der Volatilität 73
3.6.2 Modelle mit einem symmetrischen Verlauf der Volatilität 76
3.6.2.1 Das GARCH M Modell 76
3.6.2.1.1 Grundlagen 76
3.6.2.1.2 Empirische Ergebnisse 78
3.6.2.2 Das IGARCH Modell 79
3.6.2.2.1 Grundlagen 79
3.6.2.2.2 Empirische Ergebnisse 81
3.6.2.3 Das Komponentenmodell 82
3.6.2.3.1 Grundlagen 82
3.6.2.3.2 Empirische Ergebnisse 84
3.6.3 Modelle mit einem asymmetrischen Verlauf der Volatilität 85
3.6.3.1 Das EGARCH Modell 85
3.6.3.1.1 Grundlagen 85
3.6.3.1.2 Empirische Ergebnisse 87
3.6.3.2 Das TGARCH Modell 88
3.6.3.2.1 Grundlagen 88
3.6.3.2.2 Empirische Ergebnisse 89
3.6.3.3 Das asymmetrische Komponentenmodell 90
3.6.3.3.1 Grundlagen 90
3.6.3.3.2 Empirische Ergebnisse 91
3.6.4 Weitere Modelle 92
3.6.4.1 Das NARCH Modell 92
Inhaltsverzeichnis V
3.6.4.2 Das FIGARCH Modell 94
3.6.4.3 Das kontinuierliche GARCH Modell 96
3.6.4.4 Das multivariate GARCH Modell 96
3.6.4.5 Das Hauptkomponenten GARCH Modell 97
4 Optionshandel an der DTB 99
4.1 Geschichtliche Entwicklung der Optionsmärkte 99
4.2 Begriff der Aktienoption 101
4.3 Rechtliche Einordnung der Aktienoption 102
4.4 Wirtschaftliche Einordnung der Aktienoption 102
4.4.1 Kassageschäfte 103
4.4.2 Aktienoptionsgeschäfte 104
4.4.3 Optionspreis 109
4.4.3.1 Innerer Wert 109
4.4.3.2 Zeitwert 109
4.4.4 Motive für den Kauf von Optionen 110
4.5 Deutsche Terminbörse (DTB) 110
4.5.1 Entstehung der Deutschen Terminbörse 110
4.5.2 Organisation und Börsenteilnehmer 111
4.5.3 Handel 2
4.5.4 Clearing 113
4.5.4.1 Risk Based Margining 115
4.5.4.2 Vorteile des Clearingsystems 116
4.5.5 Wirtschaftliche Bedeutung der Optionsmärkte 116
4.5.6 Gehandelte Aktienoptionen und DAX Option 119
4.5.7 Kontraktspezifikation 120
4.5.8 Settlement Preis 122
5 Ausgewählte Optionspreismodelle 123
5.1 Einführung 123
5.2 Grundlegende Bestimmungsfaktoren des Optionswertes 123
5.2.1 Direkte Bestimmungsfaktoren 123
5.2.2 Indirekte Bestimmungsfaktoren 124
5.3 Modellübersicht 125
5.4 Verteilungsfreie Optionsbewertung 127
5.4.1 Arbitrage und Dominanz 127
5.4.2 Wertgrenzen durch das Verhältnis von Aktie zu Option 128
5.4.2.1 Wert einer Option am Verfalltag 128
5.4.2.2 Wert einer Option vor ihrem Verfalltag 129
5.4.2.2.1 Wertgrenzen aufgrund der Anzahl der Rechte 129
5.4.2.2.2 Wertgrenzen aufgrund des inneren Wertes 130
VI Inhaltsverzeichnis
5.4.2.2.3 Wertgrenzen aufgrund des Basispreises 131
5.4.2.2.4 Wertgrenzen aufgrund des Aktienkurses 133
5.4.3 Wertgrenzen durch das Verhältnis von Kaufoption zu Verkaufsoption
(Put Call Parität) 134
5.5 Optionspreismodelle mit konstanter Volatilität 136
5.5.1 Das Binomialmodell 136
5.5.1.1 Prämissen 136
5.5.1.2 Modellherleitung 136
5.5.1.2.1 Einperiodiges Modell 137
5.5.1.2.2 Duplikation 137
5.5.1.2.3 Interpretation 139
5.5.1.2.4 Zweiperiodiges Modell 140
5.5.1.2.5 Erweiterung auf beliebig viele Perioden 143
5.5.2 Das Black/Scholes Modell 145
5.5.2.1 Brownsche Bewegung 145
5.5.2.2 Prämissen 152
5.5.2.3 Modellherleitung 152
5.5.2.4 Anwendung auf eine europäische Option 154
5.5.2.5 Übergang vom Binomialmodell zum Black/Scholes Modell 156
5.5.2.6 Bemerkungen zur Volatilität 157
5.5.2.6.1 Options Vega 157
5.5.2.6.2 Einfluß der Volatilitätsschätzung auf die Modellpreise 158
5.5.2.6.3 Implizite Volatilität 159
5.5.2.7 Kritik 162
5.5.3 Reine Sprung Modelle 164
5.5.4 Mertons stochastisches Zinssatz Modell 165
5.6 Optionspreismodelle mit funktionaler Abhängigkeit
der Volatilität vom Basiswert 166
5.6.1 Das CEV Modell 166
5.6.2 Das Compound Option Modell 168
5.6.3 Das Displaced Diflusion Modell 169
5.7 Optionspreismodelle mit einem DifftisionsprozeQ für die Volatilität 170
5.7.1 Das Modell von Heston 170
5.7.2 Das Sprung Diffusionsmodell 172
5.8 Beurteilung der Optionspreisbewertung und ihrer Modelle 173
6 Das GARCH Optionspreismodell 175
6.1 Einführung 175
6.2 Grundmodell 175
63 Ableitung von GARCH Optionspreisen 177
6.3.1 Probleme bei der GARCH Bewertung 177
6.3.2 Risikoneutrale Bewertung 178
Inhaltsverzeichnis VII
6.3.2.1 Allgemeine Annahmen für die risikoneutrale Bewertung 178
6.3.2.2 Vereinfachte Ableitung unter der Einschränkung X = 0 179
6.3.3 Schätzalgorithmus 181
6.3.4 Mögliche Alternative zum Grundmodell 184
6.4 Simulationsstudie für den deutschen Aktienoptionsmarkt 186
6.4.1 Verwendete Daten 187
6.4.2 Bestimmung der Black/Scholes Preise 188
6.4.3 Bestimmung der GARCH Preise 189
6.4.4 Wertentwicklung der Optionsserien 190
6.4.4.1 Marktpreise 191
6.4.4.1.1 Abgrenzung von Marktphasen 191
6.4.4.1.2 Auswahl von Basispreisen 193
6.4.4.2 Black/Scholes Preise 195
6.4.4.2.1 Verwendete Varianzschätzer 195
6.4.4.2.2 Vergleich zwischen Black/Scholes und Marktpreisen 198
6.4.4.2.2.1 Marktphase 1 (Abwärtsbewegung) 199
6.4.4.2.2.2 Marktphase 2 (Aufwärtsbewegung) 200
6.4.4.2.2.3 Marktphase 3 (Stagnation) 201
6.4.4.2.2.4 Fazit 203
6.4.4.3 GARCH Preise 203
6.4.4.3.1 Durchführung der Simulation 203
6.4.4.3.2 Vergleich zwischen GARCH und Marktpreisen 203
6.4.4.3.2.1 Marktphase 1 (Abwärtsbewegung) 204
6.4.4.3.2.2 Marktphase 2 (Aufwärtsbewegung) 205
6.4.4.3.2.3 Marktphase 3 (Stagnation) 207
6.4.4.3.2.4 Fazit 208
6.4.4.3.3 Vergleich zwischen GARCH und Black/Scholes Preisen 208
6.4.4.3.3.1 Marktphase 1 (Abwärtsbewegung) 209
6.4.4.3.3.2 Marktphase 2 (Aufwärtsbewegung) 210
6.4.4.3.3.3 Marktphase 3 (Stagnation) 212
6.4.4.3.3.4 Fazit 213
6.4.4.3.4 Gründe für die Preisunterschiede 214
6.4.4.3.5 Vergleich der Differenzen zwischen GARCH und
Black/Scholes Preisen in bezug auf Marktpreise 215
6.4.4.3.5.1 Marktphase 1 (Abwärtsbewegung) 215
6.4.4.3.5.2 Marktphase 2 (Aufwärtsbewegung) 216
6.4.4.3.5.3 Marktphase 3 (Stagnation) 217
6.4.4.3.5.4 Fazit 218
6.4.4.4 Betrachtung einer standardisierten Daimler Benz Option 219
6.4.5 Abschließende Bewertung 222
7 Zusammenfassung und A usblick 22S
Anhang 229
Literaturverzeichnis 241
VIII
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1.1 : Zusammenhänge zwischen den Kapiteln 4
Abbildung 2.1 : Daimler Benz Rendite und angepaßte Normalverteilung 1 11
Abbildung 2.2 : Daimler Benz Rendite und angepaßte Normalverteilung II 12
Abbildung 2.3 : Varianten des Random Walk Modells 21
Abbildung 2.4 : Korrelogramm der Daimler Benz Rendite 25
Abbildung 2.5 : Prinzip des Filterns 27
Abbildung 2.6 : Korrelogramm der quadrierten Daimler Benz Rendite 32
Abbildung 2.7 : Korrelogramm der absoluten Daimler Benz Rendite 32
Abbildung2.8 : Daimler Benz Rendite 35
Abbildung 2.9 : Volatilität der Daimler Benz Rendite 37
Abbildung 2.10: Rekursive Volatilität der Daimler Benz Rendite 38
Abbildung 3.1 : Existenzbedingungen für die 4. Momente 53
Abbildung 3.2 : 1. Modell 56
Abbildung 3.3 : 2. Modell 57
Abbildung 3.4 : 3. Modell 57
Abbildung 3.5 : 4. Modell 58
Abbildung 3.6 : Korrelogramm der quadrierten Daimler Benz GARCH( 1,1) Residuen 63
Abbildung3.7 : GARCH(1,1) Parameterfür 250 Tage Schätzer 65
Abbildung 3.8 : GARCH(l,l) Parameterfir750 Tage Schätzer 66
Abbildung 3.9 : GARCHfl, 1) Parameter für eine kontinuierlich wachsende Stichprobe 67
Abbildung 3.10: Asymmetrisches Verhalten der Volatilität 74
Abbildung 3.11: Varianten des ARCH Modells 75
Abbildung 4.1 : Gewinn / Verlust bei einem Aktienengagement 103
Abbildung 4.2 : Gewinn / Verlust bei einem Leerverkauf 104
Abbildung 4.3 : Mögliche Elementarpositionen einer Option 105
Abbildung 4.4 : Gewinn I Verlust beim Kauf einer Kaufoption 105
Abbildung 4.5 : Gewinn / Verlust beim Verkauf einer Kaufoption 106
Abbildung 4.6 : Gewinn / Verlust beim Kauf einer Verkaufsoption 106
Abbildung 4.7 : Gewinn / Verlust beim Verkauf einer Verkaufsoption 107
Abbildung 4.8 : Mögliche Optionsstrategien 108
Abbildung 4.9 : Innerer Wert und Zeitwert einer Option 109
Abbildung 4.10: Geschäftsabwicklung an der DTB 114
Abbildung 4.11: DTB Umsätze in gehandelten Kontrakten 117
Abbildung 4.12: Umsätze europäischer Terminbörsen in gehandelten Kontrakten 1995 117
Abbildung 5.1 : Modellansätze zur Optionsbewertung 126
Abbildung 5.2 : Arbitrage vordem Verfalltag aufgrund des inneren Wertes 130
Abbildung 5.3 : Möglicher Wertverlauf einer europäischen Option 134
Abbildung 5.4 : Wertentwicklung über eine Periode 137
Abbildung 5.5 : Duplikation 138
Abbildung 5.6 : Wertentwicklung über zwei Perioden 141
Abbildung 5.7 : Duplikation für zwei Perioden 142
Abbildung 5.8 : Wertänderungen von Aktie und Option 153
Abbildungsverzeichnis IX
Abbildung 5.9 : Das Options Vega 158
Abbildung5.10: ImpliziteDAX Volalilitäten am 22.11.94 162
Abbildung 6.1 : Verlauf des 3 Monats FIBOR 188
Abbildung 6.2 : Wertentwicklung der Daimler Benz Aktie 191
Abbildung 6.3 : Wertentwicklung des DAX 192
Abbildung 6.4 : Wertentwicklung der betrachteten DAX Optionen 194
Abbildung 6.5 : Wertentwicklung der betrachteten Daimler Benz Optionen 194
Abbildung6.6 : DAX Varianzen 197
Abbildung6.7 : Daimler Benz Varianzen 197
Abbildung 6.8 : Differenz zwischen B/S und Marktpreisen (DAX 1775) 199
Abbildung 6.9 : Differenz zwischen B/S und Marktpreisen (Daimler Benz 800) 199
A bbildung 6.10: Differenz zwischen B/S und Marktpreisen (DAX 1600) 200
Abbildung 6.11: Differenz zwischen B/S und Marktpreisen (Daimler Benz 550) 201
Abbildung 6.12: Differenz zwischen B/S und Marktpreisen (DAX 2150) 202
Abbildung 6.13: Differenz zwischen B/S und Marktpreisen (Daimler Benz 650) 202
Abbildung 6.14: Differenz zwischen GARCH und Marktpreisen (DAX 1775) 205
Abbildung 6.15: Differenz zwischen GARCH und Marktpreisen (Daimler Benz 800) 205
Abbildung 6.16: Differenz zwischen GARCH und Marktpreisen (DAX 1600) 206
Abbildung 6.17: Differenz zwischen GARCH und Marktpreisen (Daimler Benz 550) 206
Abbildung 6.18: Differenz zwischen GARCH und Marktpreisen (DAX 2150) 207
Abbildung 6.19: Differenz zwischen GARCH und Marktpreisen (Daimler Benz 650) 207
Abbildung 6.20: Prozentuale GARCH Black/Scholes Differenz (DAX 1775) 209
Abbildung 6.21: Prozentuale GARCH Black/Scholes Differenz (Daimler Benz 800) 209
Abbildung 6.22: Ausschnitt aus Abbildung 6.20 210
Abbildung 6.23: Prozentuale GARCH Black/Scholes Differenz (DAX 1600) 211
Abbildung 6.24: Prozentuale GARCH Black/Scholes Differenz (Daimler Benz 550) 211
Abbildung 6.25: Prozentuale GARCH Black/Scholes Differenz (DAX2150) 212
Abbildung 6.26: Prozentuale GARCH Black/Scholes Differenz (Daimler Benz 650) 213
Abbildung 6.27: GARCH Black/Scholes Differenz (DAX 1775) 215
Abbildung 6.28: GARCH Black/Scholes Differenz (Daimler Benz 800) 216
Abbildung 6.29: GARCH Black/Scholes Differenz (DAX 1600) 216
Abbildung 6.30: GARCH Black/Scholes Differenz (Daimler Benz 550) 217
Abbildung 6.31: GARCH Black/Scholes Differenz (DAX2150) 218
Abbildung 6.32: GARCH Black/Scholes Differenz (Daimler Benz 650) 218
Abbildung 6.33: Prozentuale Differenzen 220
Abbildung 6.34: Absolute Differenzen 221
Abbildung 6.35: Absolute Differenzen (Ausschnitt) 221
l
i
I
X
Tabellenverzeichnis
Tabelle 2.1: Ausgewertete Aktien mit Kennzahlen 7
Tabelle 2.2: Beispiel für diskrete Renditen 8
Tabelle 2.3: Beispiel für kontinuierliche Renditen 9
Tabelle 2.4: Kennzahlen der Aktienrenditen 13
Tabelle 2.5: Prüfgrößenwerte der Stationaritäts Tests 24
Tabelle 2.6: Ljung Box Testergebnisse 26
Tabelle 2.7: Angepaßte ARMA Modelle 31
Tabelle 2.8: Ansätze zur Volatilitätsberechnung 41
Tabelle 3.1: GARCHfl, 1) Schätzergebnisse 62
Tabelle 3.2: ARMA GARCH( 1,1) Schätzergebnisse 71
Tabelle 3.3: GARCH(1,1) Regressionsmodell mit Konstante 72
Tabelle 3.4: GARCH M (1.1) Schätzergebnisse 79
Tabelle 3.5: Schätzergebnisse für das Komponentenmodell 84
Tabelle 3.6: EGARCH Schätzergebnisse 87
Tabelle 3.7: TGARCH Schätzergebnisse 90
Tabelle 3.8: Schätzergebnisse für das asymmetrische Komponentenmodell 91
Tabelle 4.1: Basispreisintervalle für Aktienoptionen 121
Tabelle 5.1: Beispiele zur Bestimmung von fj 151
Tabelle 6.1: Mögliche Werte von k 183
Tabelle 6.2: Ausgewählte Optionen 193
Tabelle 6.3: Verwendete GARCH Schätzergebnisse 196
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