Mathematik-Taschenbuch:
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| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
München [u.a.]
Oldenbourg
1998
|
| Edition: | 5., verb. Aufl. |
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XXIV, 889 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3486246690 |
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MATHEMATIK-
TASCHENBUCH
VON
PROF. DR. KARL BOSCH
5., VERBESSERTE AUFLAGE
R. OLDENBOURG VERLAG MUENCHEN WIEN
INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT XXIII
1. GRUNDLAGEN DER ARITHMETIK UND ALGEBRA 1
1.1 MENGENLEHRE 1
1.1.1 GRUNDBEGRIFFE UND MENGENOPERATIONEN 1
1.1.2 ABBILDUNGEN (FUNKTIONEN) VON MENGEN 3
1.1.3 DIREKTE PRODUKTE VON MENGEN 5
1.1.3.1 DIREKTES PRODUKT ZWEIER MENGEN 5
1.2. DIE REELLEN ZAHLEN E 6
1.2.1 DIE NATUERLICHEN ZAHLEN N 6
1.2.1.1 MENGE DER NATUERLICHEN ZAHLEN 6
1.2.1.2 RECHENOPERATIONEN 6
1.2.1.3 DEZIMALSYSTEM 7
1.2.1.4 DUALSYSTEM (BINAERSYSTEM) 8
1.2.1.5 P-ADISCHE DARSTELLUNG 8
1.2.1.6 PRIMZAHLEN 9
1.2.1.7 GROESSTER GEMEINSAMER TEILER 9
1.2.1.8 EUKLIDISCHER ALGORITHMUS ZUR BESTIMMUNG VON GGT (M,N) . 9
1.2.1.9 KLEINSTES GEMEINSAMES VIELFACHES 10
1.2.2 DIE GANZEN ZAHLEN Z 11
1.2.3 DIE RATIONALEN ZAHLEN (BRUECHE) 11
1.2.4 DAS RECHNEN MIT BRUECHEN 12
1.2.5 DEZIMALBRUECHE 13
1.2.6 EIGENSCHAFTEN DER RATIONALEN ZAHLEN 15
1.2.7 DIE REELLEN ZAHLEN E 16
1.2.8 DAS RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN 18
1.2.9 UNGLEICHUNGEN 21
1.2.10 INTERVALLE 24
1.2.10.1 BESCHRAENKTE INTERVALLE 24
1.2.10.2 NICHT BESCHRAENKTE INTERVALLE 24
1.2.11 ABSOLUTE BETRAEGE 25
1.2.11.1 DER ABSOLUTE BETRAG 25
1.2.11.2 ABSTAND ZWEIER ZAHLEN 25
1.2.11.3 DAS RECHNEN MIT BETRAGSUNGLEICHUNGEN 26
1.2.11.4 QUADRATISCHE UNGLEICHUNGEN 27
1.3 POTENZEN UND WURZELN 27
1.3.1 POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN 27
1.3.2 DIEN-TE WURZEL 28
1.3.3 POTENZEN MIT RATIONALEN EXPONENTEN 30
1.3.4 POTENZEN MIT IRRATIONALEN EXPONENTEN 32
1.3.5 LOESUNG VON POTENZGLEICHUNGEN 33
VI
INHALTSVERZEICHNIS
1.4 KOMBINATORIK UND BINOMISCHER LEHRSATZ 34
1.4.1 FAKULTAETEN 34
1.4.2 BINOMIALKOEFFIZIENTEN 35
1.4.2.1 BINOMIALKOEFFIZIENTEN BEI NATUERLICHEN ZAHLEN 35
1.4.2.2 BINOMIALKOEFFIZIENTEN BEI REELLEN ZAHLEN 35
1.4.2.3 DAS PASCALSCHE DREIECK 36
1.4.3 DER BINOMISCHE LEHRSATZ 37
1.4.4 POLYNOMINALKOEFFIZIENTEN 38
1.4.5 DER POLYNOMISCHE LEHRSATZ 38
1.4.6 PERMUTATIONEN (ANORDNUNGSMOEGLICHKEITEN) 39
1.4.7 KOMBINATIONEN 40
1.4.7.1 KOMBINATIONEN OHNE WIEDERHOLUNG 40
1.4.7.2 KOMBINATIONEN MIT WIEDERHOLUNG 41
1.4.8 VARIATIONEN 41
1.4.8.1 VARIATIONEN OHNE WIEDERHOHLUNG 41
1.4.8.2 VARIATIONEN MIT WIEDERHOHLUNG 42
1.5 LOGARITHMEN 43
1.5.1 ALLGEMEINE LOGARITHMEN 43
1.5.2 DEKADISCHE LOGARITHMEN 43
1.5.3 NATUERLICHE LOGARITHMEN 43
1.5.4 BINAERE LOGARITHMEN 44
1.5.5 LOGARITHMENGESETZE 44
1.5.6 UMRECHNUNGSREGEL BEI VERSCHIEDENEN BASEN 45
1.5.7 ANWENDUNGEN 46
1.6 VOLLSTAENDIGE INDUKTION 46
1.7 ELEMENTARE FOLGEN UND REIHEN; SUMMEN UND MITTELWERTE . 48
1.7.1 ZAHLENFOLGEN UND (ENDLICHE) REIHEN 48
1.7.2 ARITHMETISCHE FOLGEN UND REIHEN (ERSTER ORDNUNG) 48
1.7.3 ARITHMETISCHE FOLGEN UND REIHEN HOEHERER ORDNUNG 49
1.7.4 GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN 51
1.7.5 SPEZIELLE ENDLICHE BZW. UNENDLICHE REIHEN (SUMMENFORMELN) . . 54
1.7.6 FINANZMATHEMATIK 55
1.7.6.1 ABSCHREIBUNGEN . 55
1.7.6.2 ZINSESZINS-UND RENTENRECHNUNG 56
1.7.7 MITTELWERTE 59
1.7.7.1 ARITHMETISCHES MITTEL 59
1.7.7.2 GEOMETRISCHES MITTEL 59
1.7.7.3 HARMONISCHES MITTEL 59
1.7.7.4 ANWENDUNGSMOEGLICHKEITEN DER EINZELNEN MITTELWERTE 60
1.8 KOMPLEXE ZAHLEN 60
1.8.1 MENGE DER KOMPLEXEN ZAHLEN 60
1.8.2 GAUSSSCHE (KOMPLEXEN) ZAHLENEBENE 61
1.8.3 DAS RECHNEN MIT KOMPLEXEN ZAHLEN 62
1.8.4 DIE EULERSCHE FORMEL 63
INHALTSVERZEICHNIS VII
1.8.5 DIE MOIVRESCHE FORMEL 66
1.8.6 GEOMETRISCHE KONSTRUKTION DER WURZEL 67
1.8.7 KOMPLEXE N-TE EINHEITSWURZEL 68
1.8.8 KOMPLEXE LOESUNGEN BEI QUADRATISCHEN GLEICHUNGEN 69
1.8.9 FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 69
1.9 GLEICHUNGEN MIT EINER UNBEKANNTEN 70
1.9.1 LINEARE GLEICHUNGEN A X + B = 0 71
1.9.2 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN (GLEICHUNGEN ZWEITEN GRADES) . 75
1.9.2.1 ELEMENTAR LOESBARE SPEZIALFAELLE 75
1.9.2.2 QUADRATISCHE ERGAENZUNG-GESCHLOSSENE FORMEL 75
1.9.2.3 ZERLEGUNG IN LINEARFAKTOREN 76
1.9.2.4 DIE WURZELSAETZE VON VIETA 77
1.9.2.5 GRAPHISCHE LOESUNG (UND ANWENDUNGEN) 77
1.9.3 KUBISCHE GLEICHUNGEN (GLEICHUNGEN DRITTEN GRADES) 80
' 1.9.3.1 GRAPHISCHE LOESUNG 80
1.9.3.2 ELEMENTAR LOESBARE SPEZIALFAELLE 81
1.9.3.3 ABSPALTEN EINES LINEARFAKTORS BEI EINER BEKANNTEN LOESUNG . 82
1.9.3.4 DIE CARDANISCHE FORMEL 82
1.9.3.5 DIE WURZELSAETZE VON VIETA 86
1.9.3.6 NUMERISCHE BESTIMMUNG REELLER LOESUNGEN 87
1.9.4 GLEICHUNGEN VIERTEN GRADES 87
1.9.4.1 LOESBARE SPEZIALFAELLE 87
1.9.4.2 ABSPALTEN VON LINEARFAKTOREN 88
1.9.4.3 DIE KUBISCHE RESOLVENTE 88
1.9.4.4 BENUTZUNG EINER REELLEN LOESUNG DER KUBISCHEN GLEICHUNG . 90
1.9.4.5 NUMERISCHE BESTIMMUNG REELLER LOESUNGEN 91
1.9.4.6 SATZ VON VIETA 91
1.9.5 ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN N-TEN GRADES-POLYNOME 91
1.9.5.1 BERECHNUNG DER FUNKTIONSWERTE MIT DEM HORNER-SCHEMA UND
POLYNOMDIVISION 92
1.9.5.2 WURZELN ALGEBRAISCHER GLEICHUNGEN 94
1.9.6 GLEICHUNGEN, DIE SICH AUF ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN ZURUECKFUEHREN
LASSEN 96
1.9.6.1 GLEICHUNGEN MIT GEBROCHEN RATIONALEN FUNKTIONEN 96
1.9.6.2 WURZELGLEICHUNGEN 97
1.9.6.3 DIE SUBSTITUTIONSMETHODE 97
1.9.7 TRANSZENDENTE GLEICHUNGEN 97
1.9.7.1 EXPONENTIALGLEICHUNGEN 99
1.9.7.2 LOGARITHMISCHE GLEICHUNGEN 100
1.9.8 NUMERISCHE VERFAHREN ZUR LOESUNG VON GLEICHUNGEN 101
1.9.8.1 ITERATIONSVERFAHREN BEI KONTRAHIERENDEN ABBILDUNGEN 101
1.9.8.2 REGULA FALSI (LINEARES EINGABELN) 104
1.9.8.3 QUADRATISCHES EINGABELN 105
1.9.8.4 DAS NEWTON-VERFAHREN 105
VIII
INHALTSVERZEICHNIS
1.10 INTERPOLATIONSPOLYNOME 106
1.10.1 ALLGEMEINES POLYNOM DURCH N + 1 PUNKTE 106
1.10.2 INTERPOLATIONSPOLYNOM 107
1.10.3 LAGRANGE-INTERPOLATION 107
1.10.3.1 FORMEL FUER BELIEBIGE STUETZSTELLEN 107
1.10.3.2 FORMEL FUER AEQUIDISTANTE STUETZSTELLEN 108
1.10.4 NEWTON-INTERPOLATION (DIFFERENZSCHEMA) 109
1.10.4.1 FORMEL FUER BELIEBIGE STUETZSTELLEN 109
1.10.4.2 FORMELN FUER AEQUIDISTANTE STUETZSTELLEN 110
1.11 APPROXIMATIONSPOLYNOME 115
1.11.1 TAYLERPOLYNOME 115
1.11.2 INTERPOLATIONSPOLYNOME 115
1.11.3 APPROXIMATION DURCH BERNSTEINPOLYNOME 116
1.11.4 KLEINSTE QUADRAT APPROXIMATION 116
1.11.5 APPROXIMATION IM QUADRATISCHEN MITTEL 117
1.11.5.1 ENTWICKLUNG NACH LEGENDRE-POLYNOMEN 119
1.11.6 APPROXIMATION IM GEWICHTETEN QUADRATISCHEN MITTEL 120
1.11.6.1 ENTWICKLUNG NACH TSCHEBYSCHEFF-POLYNOMEN 120
2. VEKTORRAEUME UND N-DIMENSIONALE ZAHLENRAEUME 122
2.1 ZWEI-UND DREIDIMENSIONALE ZAHLENRAEUME 122
2.2 ZWEI- UND DREIDIMENSIONALE EUKLIDISCHE VEKTORRAEUME
V
2
UNDV
3
123
2.2.1 DER BEGRIFF DES VEKTORS 123
2.2.2 KOMPONENTENZERLEGUNG 126
2.2.2.1 ZWEIDIMENSIONALE VEKTOREN 126
2.2.2.2 DREIDIMENSIONALE VEKTOREN 127
2.2.3 DAS RECHNEN MIT VEKTOREN IN KOMPONENTENZERLEGUNG 128
2.2.4 DAS SKALARPRODUKT (INNERES PRODUKT) 130
2.2.5 DAS VEKTORPRODUKT (AEUSSERES PRODUKT, KREUZPRODUKT) 133
2.2.6 SPATPRODUKT UND DOPPELTE VEKTORPRODUKTE 137
2.2.7 LINEAR UNABHAENGIGE (ABHAENGIGE) VEKTOREN-KOMPONENTEN
ZERLEGUNG 140
2.2.7.1 VEKTOREN IN DER EBENE 140
2.2.7.2 RAEUMLICHE VEKTOREN 141
2.3 DER N-DIMENSIONALE ZAHLENRAUM R
N
142
2.4 DER N-DIMENSIONALE EUKLIDISCHE VEKTORRAUM V
N
143
2.5 ALLGEMEINE ABSTRAKTE VEKTORRAEUME (LINEARE RAEUME) 145
2.6 EUKLIDISCHE VEKTORRAEUME 147
3. GEOMETRIE DER EBENE (ANALYTISCHE GEOMETRIE UND PLANIMETRIE) . 151
3.1 KOORDINATENSYSTEME IN DER EBENE 151
3.1.1 GERADLINIGE KOORDINATENSYSTEME
INHALTSVERZEICHNIS IX
3.1.1.1 SCHIEFWINKLIGE GERADLINIGE KOORDINATENSYSTEME 151
3.1.1.2 KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM 152
3.1.2 KRUMMLINIGE KOORDINATENSYSTEME 153
3.1.2.1 POLARKOORDINATEN 153
3.1.2.2 UMRECHNUNG VON POLARKOORDINATEN IN KARTESISCHE 155
3.1.3 TRANSFORMATIONEN KARTESISCHER KOORDINATEN 156
3.1.3.1 PARALLELVERSCHIEBUNG 157
3.1.3.2 DREHUNG 157
3.2 ANALYTISCHE GEOMETRIE DER EBENEN UND PLANIMETRIE 159
3.2.1 LAENGEN UND WINKELBERECHNUNG, STRECKENTEILUNG UND LOTE . . . 159
3.2.1.1 ABSTAND ZWEIER PUNKTE (STRECKENMESSUNG) 159
3.2.1.2 WINKELMESSUNG 160
3.2.1.3 STRECKENTEILUNG - 161
3.2.1.4 STRECKENHALBIERUNG UND MITTELLOT 162
3.2.1.5 LOT AUF EINE STRECKE (ABSTAND) 163
3.2.1.6 HALBIEREN EINES WINKELS 163
3.2.2 DIE GERADE 164
3.2.2.1 DIE PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN 164
3.2.2.2 KOORDINATENGLEICHUNGEN 166
3.2.2.3 HESSESCHE NORMALFORM-ABSTAND VON EINER GERADEN 169
3.2.3 ZWEI GERADEN 173
,3.2.3.1 PARALLELE GERADEN 173
3.2.3.2 SCHNITTPUNKT ZWEIER GERADEN 175
3.2.3.3 SCHNITTWINKEL ZWEIER GERADEN 176
3.2.3.4 ORTHOGONALE GERADEN 177
3.2.3.5 WINKELHALBIERENDE 177
3.2.4 DREIECKE 178
3.2.4.1 ALLGEMEINE DREIECKE 178
3.2.4.2 AEHNLICHE DREIECKE UND STRAHLENSAETZE 186
3.2.4.3 RECHTWINKLIGE DREIECKE 189
3.2.4.4 GLEICHSCHENKLIGE DREICKE 191
3.2.4.5 GLEICHSEITIGE DREICKE 192
3.2.4.6 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN IM ALLGEMEINEN DREIECK 192
3.2.5 VIERECKE 195
3.2.5.1 DAS ALLGEMEINE VIERECK 195
3.2.5.2 TRAPEZ 195
3.2.5.3 PARALLELOGRAMM 197
3.2.5.4 RHOMBUS (RAUTE) 198
3.2.5.5 RECHTECK 198
3.2.5.6 QUADRAT 199
3.2.5.7 SEHNENVIERECK 199
3.2.5.8 TANGENTENVIERECK 200
3.2.6 REGELMAESSIGES N-ECK 201
3.2.7 KREIS 204
3.2.7.1 KREISGLEICHUNGEN 204
X
INHALTSVERZEICHNIS
3.2.7.2 KREISEIGENSCHAFTEN 205
3.2.7.3 KREIS DURCH DREI PUNKTE 206
3.2.7.4 SCHNITT VOM KREIS UND GERADE 207
3.2.7.5 KREISNORMALE 208
3.2.7.6 ABSTAND EINES PUNKTES VOM KREIS 209
3.2.7.7 TANGENTE IN EINEM PUNKT AUF DEM KREIS 210
3.2.7.8 KREISTANGENTE VON EINEM PUNKT AUSSERHALB DES KREISES 210
3.2.7.9 GEMEINSAME TANGENTEN AN ZWEI KREISE 212
3.2.7.10 SCHNITT ZWEIER KREISE 214
3.2.7.11 LAENGEN-UND FLAECHENBERECHNUNG AM KREIS 215
3.2.8 KEGELSCHNITTE 217
3.2.8.1 ELLIPSE 219
3.2.8.2 HYPERBEL 232
3.2.8.3 PARABEL 242
3.2.8.4 POLARKOORDINATEN VON KEGELSCHNITTEN 249
3.2.9 KURVEN ZWEITER ORDNUNG 251
4. GEOMETRIE DES RAUMES (ANALYTISCHE GEOMETRIE UND
STEREOMETRIE) 253
4.1 KOORDINATENSYSTEME 253
4.1.1 GERADLINIGE KOORDINATENSYSTEME 253
4.1.1.1 SCHIEFWINKLIGE GERADLINIGE KOORDINATENSYSTEME 253
4.1.1.2 KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM 254
4.1.2 KRUMMLINIGE KOORDINATENSYSTEME 255*
4.1.2.1 KUGELKOORDINATEN 255
4.1.2.2 ZYLINDERKOORDINATEN 256
4.1.3 TRANSFORMATIONEN KARTESISCHER KOORDINATEN 257
4.1.3.1 PARALLELVERSCHIEBUNG 257
4.1.3.2 DREHUNGEN 258
4.2 ANALYTISCHE GEOMETRIE DES RAUMES 260
4.2.1 STRECKEN UND WINKEL 260
4.2.1.1 ABSTAND ZWEIER PUNKTE-LAENGE EINER STRECKE 260
4.2.1.2 WINKEL ZWISCHEN ZWEI STRECKEN 261
4.2.1.3 STRECKENTEILUNG 261
4.2.2 DIE GERADE 262
4.2.2.1 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN 262
4.2.2.2 GERADE ALS SCHNITT ZWEIER EBENEN 263
4.2.2.3 RICHTUNGSWINKEL EINER GERADEN 264
4.2.2.4 ABSTAND EINES PUNKTES VON EINER GERADEN 265
4.2.2.5 PARALLELE GERADEN 267
4.2.2.6 ABSTAND ZWEIER WINDSCHIEFER GERADEN 268
4.2.2.7 SCHNITT ZWEIER GERADEN 270
4.2.3 DIEEBENE 270
4.2.3.1 PARAMETERDARSTELLUNG DER EBENE 271
4.2.3.2 KOORDINATENGLEICHUNGEN DER EBENE 272
INHALTSVERZEICHNIS
XI
4.2.3.3 SPEZIELLE EBENENDARSTELLUNGEN 273
4.2.3.4 DIE HESSESCHE NORMALFORM 275
4.2.3.5 PARALLELE EBENEN 278
4.2.3.6 SCHNITT ZWEIER EBENEN 279
4.2.3.7 SCHNITT EINER GERADEN MIT EINER EBENE 281
4.2.3.8 SCHNITT DREIER EBENEN 282
4.3 FLAECHENINHALT VON RAEUMLICHEN DREIECKEN UND PARALLELO
GRAMMEN 283
4.4 VOLUMINA UND OBERFLAECHEN VON KOERPERN (STEREOMETRIE) . 284
4.4.1 POLYEDER 284
4.4.1.1 PRISMA 284
4.4.1.2 PYRAMIDE 287
4.4.1.3 PYRAMIDENSTUMPF 288
4.4.1.4 TETRAEDER 290
4.4.1.5 REGELMAESSIGE POLYEDER 290
4.4.1.6 KEIL 292
4.4.1.7 OBELISK 293
4.4.1.8 PRISMOID (PRISMATOID) 294
4.4.2 ZYLINDER 295
4.4.2.1 SCHIEFER ZYLINDER 295
4.4.2.2 GERADER ZYLINDER 296
4.4.2.3 SCHIEFER KREISZYLINDER 296
4.4.2.4 GERADER KREISZYLINDER 297
4.4.3 KEGEL 300
4.4.3.1 KREISKEGEL 301
4.4.4 KUGEL 305
4.4.4.1 VOLLKUGEL 305
4.4.4.2 KUGELAUSSCHNITT 306
4.4.4.3 KUGELABSCHITT (KUGELSEGMENT ODER KUGELKAPPE) 307
4.4.4.4 KUGELSCHICHT 307
4.5 FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG 308
4.5.1 ALLGEMEINE FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG 308
4.5.2 HAUPTACHSENTRANSFORMATION 309
4.5.2.1 DREHUNG 309
4.5.2.2 PARALLELVERSCHIEBUNG 310
4.5.3 ELLIPSOID 310
4.5.4 EINSCHALIGES HYPERBOLOID 311
4.5.5 ZWEISCHALIGES HYPERBOLOID 313
4.5.6 ELLIPTISCHER KEGEL 314
4.5.7 ELLIPTISCHER ZYLINDER 315
4.5.8 HYPERBOLISCHER ZYLINDER 316
4.5.9 PARABOLISCHER ZYLINDER 317
4.5.10 ELLIPTISCHES PARABOLOID 318
4.5.11 HYPERBOLISCHES PARABOLOID 319
4.5.12 ALLGEMEINE DISKUSSION DER FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG 320
XII
INHALTSVERZEICHNIS
4.6 SPHAERISCHE TRIGONOMETRIE (GEOMETRIE DER KUGELOBERFLAECHE) . . 322
4.6.1 GROSS-UND KLEINKREISE AUF DER KUGEL 322
4.6.2 KUGELZWEIECK (KUGELKEIL) 323
4.6.3 KUGELDREIECK 324
4.6.4 RECHTWINKLIGES KUGELDREIECK 329
4.6.5 ENTFERNUNGSBERECHNUNG AUF DER KUGEL (ERDOBERFLAECHE) 330
4.6.5.1 GRUNDBEGRIFFE 330
4.6.5.2 KUERZESTE ENTFERNUNG ZWEIER ORTE-ORTHODROME ENTFERNUNG . 331
4.6.5.3 LOXODROME 333
5. (UNENDLICHE) FOLGEN, REIHEN UND PRODUKTE 334
5.1 REELLE ZAHLENFOLGEN 334
5.1.1 GRUNDBEGRIFFE 334
5.1.2 ARITHMETISCHE ZAHLENFOLGEN 335
5.1.3 GEOMETRISCHE ZAHLENFOLGEN 336
5.1.4 KONVERGENTE ZAHLENFOLGEN 336
5.1.5 DIVERGENTE ZAHLENFOLGEN ' 339
5.1.6 SPEZIELLE GRENZWERTE 340
5.1.6.1 GEOMETRISCHE FOLGEN 340
5.1.6.2 GEBROCHEN RATIONALE FUNKTION IN N 340
5.1.6.3 GRENZWERTE BEI STETIGEN FUNKTIONEN 341
5.1.6.4 WICHTIGE GRENZWERTE 341
5.1.7 GRENZWERTE VON REKURSIV DEFINIERTEN ZAHLENFOLGEN 341
5.2 UNENDLICHE REIHEN 342
5.2.1 KONVERGENZ UND DIVERGENZ BEI UNENDLICHEN REIHEN 342
5.2.2 DIE UNENDLICHE GEOMETRISCHE REIHE 345
5.2.3 DAS RECHNEN MIT KONVERGENTEN REIHEN 346
5.2.4 ALTERNIERENDE REIHEN (LEIBNIZ'SCHE REIHEN) 346
5.2.5 ABSOLUTE KONVERGENZ 347
5.2.6 KONVERGENZ- UND DIVERGENZKRITERIEN BEI REIHEN MIT NICHTNEGA
TIVEN GLIEDERN 348
5.2.7 KONVERGENZKRITERIEN FUER BELIEBIGE REIHEN 351
5.2.8 SPEZIELLE REIHEN 352
5.2.9 DOPPELREIHEN (DOPPELSUMMEN) 355
5.2.10 MULTIPLIKATION VON REIHEN 357
5.3 UNENDLICHE PRODUKTE 359
5.3.1 KONVERGENZ BEI UNENDLICHEN PRODUKTEN 359
5.3.2 ABSOLUTE KONVERGENZ VON UNENDLICHEN PRODUKTEN 362
6. REELLE FUNKTIONEN EINER VARIABLEN 364
6.1 GRUNDBEGRIFFE 364
6.2 GRENZWERTE EINER FUNKTION 369
6.2.1 ALLGEMEINE GRENZWERTE 369
6.2.2 PRAKTISCHE BERECHNUNG VON GRENZWERTEN 372
INHALTSVERZEICHNIS XIII
6.2.3 GRENZWERTBESTIMMUNG NACH DER REGEL VON BERNOULLI - L'HOSPITAL
(UNBESTIMMTE AUSDRUECKE) 373
6.2.3.1 DIE REGEL VON BERNOULLI-L'HOSPITAL 373
6.2.3.2 BEHANDLUNG WEITERER UNBESTIMMTER AUSDRUECKE 375
6.3 STETIGE FUNKTIONEN 377
6.3.1 DER BEGRIFF DER STETIGKEIT 377
6.3.2 UNSTETIGKEITSSTELLEN 379
6.3.3 HEBBARE UNSTETIGKEITEN (DEFINITIONSLUECKEN) 381
6.3.4 EIGENSCHAFTEN STETIGER FUNKTIONEN 383
6.4 DIE ABLEITUNG EINER FUNKTION 384
6.4.1 DIFFERENZENQUOTIENT 384
6.4.2 EINSEITIGE ABLEITUNGEN 385
6.4.3 DIE ABLEITUNG AN EINER BESTIMMTEN STELLE 385
6.4.4 ABLEITUNGSFUNKTION 388
6.4.5 ABLEITUNGSREGELN 388
6.4.6 LOGARITHMISCHE ABLEITUNG 391
6.4.7 EIGENSCHAFTEN DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN (MITTELWERTSAETZE) . 392
6.4.8 DAS DIFFERENTIAL EINER FUNKTION 393
6.4.9 HOEHERE ABLEITUNGEN 395
6.4.10 DIFFERENTIALE HOEHERE ORDNUNG 397
6.4.11 ABLEITUNGEN EINER IN PARAMETERDARSTELLUNG GEGEBENEN
FUNKTION 398
6.4.12 ABLEITUNGEN EINER IN POLARKOORDINATEN VORGEGEBENEN FUNKTION . 399
6.4.13 ABLEITUNGEN EINER IMPLIZITEN FUNKTION 401
6.4.14 TAYLOR-POLYNOME UND TAYLOR-REIHEN 401
6.4.15 KURVENDISKUSSION 405
6.4.16 KRUEMMUNG UND KRUEMMUNGSKREIS 412
6.4.17 DIE ELASTIZITAET EINER FUNKTION 417
6.5 ELEMENTARE FUNKTIONEN 418
6.5.1 EINTEILUNG DER ELEMENTAREN FUNKTIONEN 418
6.5.2 GANZE RATIONALE FUNKTIONEN (POLYNOME) 419
6.5.2.1 KONSTANTE FUNKTION 419
6.5.2.2 LINEARE FUNKTION 419
6.5.2.3 QUADRATISCHE FUNKTION 419
6.5.2.4 KUBISCHE PARABEL 420
6.5.2.5 POLYNOME N-TEN GRADES 422
6.5.3 GEBROCHENE RATIONALE FUNKTIONEN 426
6.5.4 ALLGEMEINE POTENZFUNKTIONEN F (X) = X
A
;AGR 433
6.5.4.1 DIEPOTENZFUNKTIONENY = X
N
;NGN 433
6.5.4.2 WURZELFUNKTIONEN * = VX 434
6.5.4.3 POTENZFUNTIONEN MIT BELIEBIGEN POSITIVEN EXPONENTEN 437
6.5.4.4 POTENZFUNKTIONEN MIT NEGATIVEN EXPONENTEN 437
6.5.4.5 EIGENSCHAFTEN DER FUNKTIONEN * = X
A
438
XIV
INHALTSVERZEICHNIS
6.6 EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMISCHE FUNKTIONEN 439
6.6.1 DIE ALLGEMEINE EXPONENTIALFUNKTION 439
6.6.2 DIE E-FUNKTION * = E
X
(SPEZIELLE EXPONENTIALFUNKTION) 441
6.6.3 DER NATUERLICHE LOGARITHMUS 442
6.6.4 DER ALLGEMEINE LOGARITHMUS 445
6.7 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN (KREISFUNKTIONEN) 446
6.7.1 DEFINITION DER TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN 446
6.7.2 BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DEN TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN . 449
6.7.2.1 RUECKFUEHRUNG AUF WINKEL ZWISCHEN 0 UND 90 449
6.7.2.2 UMRECHNUNGSFORMEL FUER DEN GLEICHEN WINKEL 450
6.7.3 ADDITIONSTHEOREME 450
6.7.4 DIE ALLGEMEINE SINUSFUNKTION 454
6.7.5 ABLEITUNGEN 455
6.8 ZYKLOMETRISCHE FUNKTIONEN (ARCUSFUNKTIONEN) 459
6.8.1 ARCUSSINUS 459
6.8.2 ARCUSKOSINUS 461
6.8.3 ARCUSTANGENS 462
6.8.4 ARCUSKOTANGENS 464
6.8.5 BEZIEHUNGEN ZWISCHEN ZYKLOMETRISCHEN FUNKTIONEN 465
6.9 HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN (HYPERBELFUNKTIONEN) 468
6.10 INVERSE HYPERBELFUNKTIONEN (AREAFUNKTIONEN) 472
6.10.1 AREASINUS (AREA SINUS HYPERBOLICUS) 472
6.10.2 AREAKOSINUS (AREA COSINUS HYPERBOLICUS) 474
6.10.3 AREATANGENS 475
6.10.4 AREAKOTANGENS 477
6.10.5 BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DEN AREAFUNKTIONEN 478
6.11 INTEGRALRECHNUNG 480
6.11.10. DAS BESTIMMTE INTEGRAL 480
6.11.2 DIE INTEGRALFUNKTION 485
6.11.3 STAMMFUNKTION UND UNBESTIMMTES INTEGRAL 485
6.11.4 INTEGRATIONSREGELN 487
6.11.4.1 PARTIELLE INTEGRATION 488
6.11.4.2 SUBSTITUTIONSMETHODE (INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION) 490
6.11.5 GRUNDINTEGRALE 494
6.11.6 KLASSEN INTEGRIERBARER FUNKTIONEN 495
6.11.6.1 INTEGRATION RATIONALER FUNKTIONEN 495
6.11.6.2 INTEGRATION SPEZIELLER IRRATIONALER FUNKTIONSKLASSEN 498
6.11.7 INTEGRALE, DIE NICHT DURCH ELEMENTARE FUNKTIONEN DARSTELLBAR
SIND 506
6.11.8 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 508
6.11.8.1 UNEIGENTLICHE INTEGRALE UEBER UNENDLICHE INTERVALLE 509
6.11.8.2 UNEIGENTLICHE INTEGRALE NICHT BESCHRAENKTER FUNKTIONEN 514
6.11.9 ANWENDUNGEN DER BESTIMMTEN INTEGRALE 517
6.11.9.1 FLAECHENINHALTE EBENER BEREICHE 517
INHALTSVERZEICHNIS XV
6.11.9.2 BOGENLAENGE 521
6.11.9.3 MANTELFLAECHEN VON ROTATIONSKOERPERN 523
6.11.9.4 VOLUMENBERECHNUNG AUS QUERSCHNITTSFLAECHEN 527
6.11.9.5 VOLUMEN VON ROTATIONSKOERPERN 529
6.11.9.6 SCHWERPUNKTE UND STATISCHE MOMENTE (MOMENTE 1. ORD
NUNG) 532
6.11.9.7 DIE GULDINSCHEN REGELN BEI HOMOGENEN ROTATIONSKOERPERN . . . 540
6.11.9.8 TRAEGHEITSMOMENTE (MOMENTE 2. ORDNUNG) 542
6.11.10 NUMERISCHE INTEGRATION (QUADRATUR) 549
6.11.10.1 APPROXIMATION DURCH INTERPOLATIONSPOLYNOME 549
6.11.10.2 NEWTON-COTES-FORMELN FUER AQUIDISTANTE STUETZSTELLEN 550
6.11.11 PARAMETERABHAENGIGE INTEGRALE 555
6.11.11.1 ALLGEMEINE PARAMETERABHAENGIGE INTEGRALE 555
6.11.11.2 DIE GAMMAFUNKTION (EULERSCHES INTEGRAL ZWEITER GATTUNG) . .
556
6.11.11.3 DIE BETAFUNKTION (EULERSCHES INTEGRAL ERSTER GATTUNG) 557
6.12 FUNKTIONENFOLGEN UND FUNKTIONENREIHEN 558
6.12.1 FUNKTIONENFOLGEN 558
6.12.2 ALLGEMEINE FUNKTIONSREIHEN 560
6.12.3 POTENZREIHEN 562
6.12.4 FOURIER-REIHEN UND FOURIER-ENTWICKLUNG 566
6.12.4.1 FOURIER-REIHEN 566
6.12.4.2 FOURIER-KOEFFIZIENTEN EINER FUNKTION F 566
6.12.4.3 FOURIER-ENTWICKLUNG EINER FUNKTION MIT DER PERIODE 2 * 567
6.12.4.4 FOURIER-ENTWICKLUNG EINER FUNKTION MIT DER PERIODE 2 T 570
6.12.4.5 FOURIER-ENTWICKLUNG EINER FUNKTION IN EINEM INTERVALL (A,B) . .
571
6.12.5 DAS FOURIER-INTEGRAL 572
7. FUNKTIONEN VON ZWEI VARIABLEN 574
7.1 DER FUNKTIONSBEGRIFF 574
7.2 GRENZWERT EINER FUNKTION 575
7.3 STETIGKEIT 577
7.4 DIFFERENTIATION 578
7.4.1 PARTIELLE ABLEITUNGEN 578
7.4.1.1 PARTIELLE ABLEITUNG ERSTER ORDNUNG 578
7.4.1.2 PARTIELLE ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG 580
7.4.2 TOTALES (VOLLSTAENDIGES) DIFFERENTIAL UND TANGENTIALEBENE . 581
7.4.3 VOLLSTAENDIGE DIFFERENZIERBARKEIT 582
7.4.4 RICHTUNGSABLEITUNG UND GRADIENT 583
7.4.5 DIFFERENTATION MITTELBARER FUNKTIONEN (VERALLGEMEINERTE
KETTENREGEL) 586
7.4.6 AUFLOESBARKEIT UND ABLEITUNG IMPLIZITER FUNKTIONEN 587
7.4.7 ZWISCHENWERTSATZ 589
7.4.8 TAYLORENTWICKLUNG 589
7.4.9 RELATIVE EXTREMWERTE UND SATTELPUNKTE 590
INHALTSVERZEICHNIS
7.4.10 EXTREMWERTE UNTER EINER NEBENBEDINGUNG 592
7.4.11 DIFFERENZIERBARE ABBILDUNGEN EBENER BEREICHE 594
7.4.12 PARTIELLE ELASTIZITAETEN 598
7.5 HOMOGENE FUNKTIONEN 598
7.6 INTEGRALRECHNUNG BEI FUNKTIONEN ZWEIER VERAENDERLICHER 599
7.6.1 GEBIETSINTEGRALE (FLAECHENINTEGRALE) 599
7.6.2 ZWEIFACHE INTEGRALE (DOPPELINTEGRALE) 602
7.6.3 VARIABLENTRANSFORMATION BEI GEBIETSINTEGRALEN 604
7.6.4 ANWENDUNGEN VON GEBIETSINTEGRALEN 606
7.6.4.1 VOLUMENBERECHNUNG 606
7.6.4.2 FLAECHENINHALT EINES GEBIETS 607
7.6.4.3 INHALT EINES RAEUMLICHEN FLAECHENSTUECKS (VGL. 9.5.3) 608
7.6.4.4 MASSE UND SCHERPUNKTE EBENER GEBIETE 609
7.6.4.5 MASSE UND SCHWERPUNKTE EINES RAEUMLICHEN FLAECHENSTUECKS . 610
7.6.4.6 TRAEGHEITSMOMENTE EINES EBENEN GEBIETS 610
7.6.4.7 TRAEGHEITSMOMENTE EINES RAEUMLICHEN FLAECHENSTUECKS 610
7.6.4.8 WEITERE ANWENDUNG VON GEBIETSINTEGRALEN 610
8. FUNKTIONEN MEHRERER VERAENDERLICHER 611
8.1 DER FUNKTIONSBEGRIFF 611
8.2 GRENZWERT EINER FUNKTION 611
8.3 STETIGKEIT 612
8.4 DIFFERENTIATION 613
8.4.1 PARTIELLE ABLEITUNGEN 613
8.4.2 TOTALES (VOLLSTAENDIGES) DIFFERENTIAL 614
8.4.3 VOLLSTAENDIGE DIFFERENZIERBARKEIT 615
8.4.4 RICHTUNGSABLEITUNG UND GRADIENT 615
8.4.5 DIFFERENTIATION MITTELBARER FUNKTIONEN (VERALLGEMEINERTE
KETTENREGEL) 616
8.4.6 DIFFERENZIERBARE ABBILDUNGEN 617
8.4.7 AUFLOESUNG UND ABLEITUNG IMPLIZITER FUNKTIONEN UND FUNKTIONEN
SYSTEME 618
8.4.8 MITTELWERTSATZ 619
8.4.9 TAYLORENTWICKLUNG 619
8.4.10 RELATIVE EXTREMWERTE 620
8.4.11 EXTREMWERTE UNTER NEBENBEDINGUNGEN 621
8.5 HOMOGENE FUNKTIONEN 622
8.6 INTEGRALRECHNUNG BEI FUNKTIONEN VON DREI VERAENDERLICHEN . 623
8.6.1 RAUMINTEGRALE 623
8.6.2 DREIFACHINTEGRALE (BERECHNUNG DER RAUMINTEGRALE) 624
8.6.3 VARIABLENTRANSFORMATION BEI DREIFACHINTEGRALEN 625
8.6.4 ANWENDUNGEN VON RAUMINTEGRALEN 625
8.6.4.1 VOLUMENBERECHNUNG 625
INHALTSVERZEICHNIS XVII
6.4.2 MASSE UND SCHWERPUNKT EINES KOERPERS 626
6.4.3 TRAEGHEITSMOMENTE EINES KOERPERS 627
6.4.4 MASSENANZIEHUNG 628
DIFFERENTIALGEOMETRIE UND VEKTORANALYSIS 629
1 RAUMKURVEN UND EBENE KURVEN 629
1.1 DEFINITION EINER RAUMKURVE 629
1.2 STETIGKEIT UND DIFFERENZIERBARKEIT 630
1.3 BOGENLAENGE 632
1.4 TANGENTENEINHEITSVEKTOR 633
1.5 NORMALEBENE 634
1.6 SCHMIEGEBENE 635
1.7 HAUPTNORMALE UND KRUEMMUNG 635
1.8 BINORMALENVEKTOR UND REKTIFIZIERENDE EBENE 637
1.9 TORSION (WINDUNG) 637
1.10 FRENETSCHE FORMELN 638
2 EBENE KURVEN 639
2.1 DEFINITIONSMOEGLICHKEITEN EINER EBENEN KURVE 639
2.2 ABLEITUNGEN 639
2.3 TANGENTEN-UND NORMALENVEKTOR 639
2.4 BOGENLAENGE 640
2.5 KRUEMMUNG 641
2.6 SINGULARE PUNKTE 641
2.7 EVOLUTE 643
2.8 EVOLVENTEN 644
2.9 EINHUELLENDE (ENVELOPPE) EINER KURVENSCHAR 644
3 SPEZIELLE EBENE KURVEN 645
3.1 ALGEBRAISCHE KURVEN ERSTER UND ZWEITER ORDNUNG 645
3.2 ALGEBRAISCHE KURVEN DRITTER ORDNUNG 645
3.3 ALGEBRAISCHE KURVEN VIERTER ORDNUNG 648
3.4 ZYKLISCHE KURVEN (ROLLKURVEN) 653
3.4.1 ZYKLOIDEN 653
3.4.2 EPIZYKLOIDEN 656
3.4.3 HYPOZYKLOIDEN 661
3.5 SPIRALLINIEN 665
3.5.1 ARCHIMEDISCHE SPIRALE 665
3.5.2 HYPERBOLISCHE SPIRALE 667
3.5.3 LOGARITHMISCHE SPIRALE 668
3.5.4 KLOTHOIDE (SPINNLINIE) 669
3.6 KETTENLINIE 670
3.7 TRAKTIX (SCHLEPPKURVE) 670
4 ZYLINDRISCHE SCHRAUBENLINIE 671
5 FLAECHEN 673
5.1 FLAECHENGLEICHUNG 673
XVIII
INHALTSVERZEICHNIS
9.5.2 TANGENTIALEBENE UND NORMALENVEKTOR 674
9.5.3 FLAECHENINHALT 676
9.5.4 BOGENELEMENT EINER AUF DER FLAECHE LIEGENDEN KURVE 677
9.5.5 SINGULARE FLAECHENPUNKTE 678
9.6 SKALARE FELDER, VEKTORFELDER, GRADIENT UND POTENTIAL 679
9.6.1 IN KARTESISCHEN KOORDINATEN 679
9.6.2 VEKTORFELDER IN ZYLINDERKOORDINATEN (POLARKOORDINATEN) . 680
9.6.3 VEKTORFELDER IN KUGELKOORDINATEN 682
9.7 KURVENINTEGRALE (LINIENINTEGRALE) 683
9.7.1 DAS KURVENINTEGRAL UEBER EIN SKALARFELD (LINIENINTEGRAL 1. ART) .
683
9.7.2 KURVENINTEGRALE (LINIENINTEGRALE) 2. ART IN EBENEN VEKTOR
FELDERN 685
9.7.3 KURVENINTEGRALE (2. ART) IN RAEUMLICHEN VEKTORFELDERN 688
9.8 OBERFLAECHENINTEGRALE (FLAECHENINTEGRALE) 691
9.8.1 OBERFLAECHENINTEGRALE 1. ART 691
9.8.2 OBERFLAECHENINTEGRALE 2. ART IN RAEUMLICHEN VEKTORFELDERN . 692
9.9 VOLUMENINTEGRALE 694
9.10 DIVERGENZ, ZIRKULATION UND ROTATION 695
9.10.1 DIVERGENZ EINES VEKTORFELDES . . . 695
9.10.2 ZIRKULATION 696
9.10.3 ROTATION EINES VEKTORFELDES 969
9.11 INTEGRALSAETZE 697
9.11.1 DER GAUSSSCHE INTEGRALSATZ 697
9.11.2 DER STOKESSCHE INTEGRALSATZ 697
10. LINEARE ALGEBRA 698
10.1 VEKTORRAEUME (LINEARE RAEUME) 698
10.2 MATRIZEN UND DETERMINANTEN 698
10.2.1 MATRIZENOPERATIONEN 698
10.2.2 DER RANG EINER MATRIX 702
10.2.3 DETERMINANTEN 703
10.2.4 INVERSE MATRIX (KEHRMATRIX) 706
10.2.5 ORTHOGONALE MATRIZEN 707
10.3 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 707
10.3.1 DARSTELLUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 707
10.3.2 LOESBARKEITSKRITERIUM 708
10.3.3 LOESUNGSMENGEN DES HOMOGENEN UND INHOMOGENEN SYSTEMS . . . 708
10.3.4 DER GAUSSSCHE ALGORITHMUS ZUR LOESUNG EINES LINEAREN
GLEICHUNGSSYSTEMS 709
10.3.5 BERECHNUNG DER INVERSEN MATRIX 712
10.3.6 LOESUNG EINES LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMS MIT HILFE DER INVERSEN
MATRIX 713
10.3.7 CRAMERSCHE REGEL FUER M = N 714
INHALTSVERZEICHNIS XIX
10.4 LINEARE ABBILDUNGEN (TRANSFORMATIONEN) VON VEKTORRAEUMEN . . 714
10.4.1 GRUNDBEGRIFFE 715
10.4.2 MATRIX EINER LINEAREN ABBILDUNG 715
10.4.3 VERKNUEFPUNGEN VON LINEAREN ABBILDUNGEN 716
10.4.4 KOORDINATENTRANSFORMATIONEN 717
10.4.4.1 TRANSFORMATIONEN BEI BELIEBIGEN BASEN 718
10.4.4.2 TRANSFORMATIONEN BEI ORTHONORMALEN BASEN 719
10.4.5 ABBILDUNGEN BZGL. VERSCHIEDENER BASENPAARE 720
10.5 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 721
10.5.1 DEFINITION DER EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 721
10.5.2 EIGENSCHAFTEN 722
10.5.3 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN SYMMETRISCHER REELLER MATRIZEN . 722
10.5.4 HAUPTACHSENTRANSFORMATION SYMMETRISCHER MATRIZEN 723
10.5.5 HAUPTACHSENTRANSFORMATION QUADRATISCHER FORMEN 724
11. LINEARE OPTIMIERUNG (PROGRAMMIERUNG) 726
11.1 ALLGEMEINE PROBLEMSTELLUNG 726
11.2 GEOMETRISCHE LOESUNG BEI ZWEI VARIABLEN 726
11.3 MATHEMATISCHE FORMULIERUNG DES ALLGEMEINEN PROBLEMS . 728
11.4 EINFUEHRUNG VON SCHLUPF VARIABLEN 729
11.5 KANONISCHE FORM 731
11.6 SIMPLEXVERFAHREN (SIMPLEXALGORITHMUS) 732
11.6.1 AUSGANGSTABLEAU AUS EINER ZULAESSIGEN KANONISCHEN FORM . 732
11.6.2 *ASISAUSTAUSCHVERFAHREN FUER DAS PROBLEM Z = MIN 734
11.6.3 PRAKTISCHE DURCHFUEHRUNG DES SIMPLEXVERFAHRENS 735
11.6.4 BEISPIELE 739
11.6.5 DUALESPROBLEM 742
12. GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 745
12.1 BEGRIFF DER GEWOEHNLICHEN DIFFERENTIALGLEICHUNG 745
12.2 EXPLIZITE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 745
12.2.1 DAS RICHTUNGSFELD 745
12.2.2 EXISTENZ UND EINDEUTIGKEITSSAETZE 746
12.2.3 SPEZIELLE INTEGRIERBARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG . . .
747
12.2.3.1 TRENNUNG DER VERAENDERLICHEN 747
12.2.3.2 DIEDIFFERENTIALGLEICHUNGY' = F(AX + BY + C) 748
12.2.3.3 GLEICHUNGEN MIT HOMOGENEN FAKTOREN. DIE AHNLICHKEITSDIFFEREN-
TIALGLEICHUNGMITF (KX,XY) = F (X,Y) 749
12.2.3.4 DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG Y' = F(
**
+ *
*
+ *
) 750
AX+BY+C
12.2.3.5 DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG 1. ORDNUNG 752
12.2.3.6 DIE BERNOULLISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 755
12.2.3.7 DIE RICCATISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 756
XX
INHALTSVERZEICHNIS
12.2.3.8 EXAKTE (VOLLSTAENDIGE) DIFFERENTIALGLEICHUNG 756
12.2.3.9 INTEGRIERENDER FAKTOR (EULERSCHER MULTIPLIKATOR) 758
12.2 A SINGULARE PUNKTE DER EXPLIZITEN DIFFERENTIALGLEICHUNG
Y'=F(X,Y) 761
12.3 DIE IMPLIZITE DIFFERENTIALGLEICHUNG 1. ORDNUNG F(X,Y,Y') = 0 . .
764
12.3.1 NACH Y'AUFLOESBARE GLEICHUNGEN Y'=F(X,Y) 764
12.3.2 REGULAERE UND SINGULARE LINIENELEMENTE 765
12.3.3 NACH * AUFLOESBARE GLEICHUNGEN 766
12.3.3.1 DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG Y = G(X,Y') 766
12.3.3.2 DIE DIFFERENTIALGLEICHUNG Y = G(Y') 767
12.3.3.3 DIE CLAIRAUTSCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 768
12.3.3.4 DIE D'ALEMBERTSCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 768
12.3.4 NACHXAUFLOESBARE GLEICHUNG X = G(Y,Y') 769
12.4 SYSTEME EXPLIZITER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 771
12.4.1 ALLGEMEINE SYSTEME 771
12.4.2 SYSTEME LINEARER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 772
12.4.2.1 DAS HOMOGENE LINEARE SYSTEM 773
12.4.2.2 DAS INHOMOGENE SYSTEM 774
12.4.2.3 DAS REDUKTIONSVERFAHREN VON D'ALEMBERT 774
12.4.2.4 LINEARE SYSTEME 1. ORDNUNGMIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN . . .
776
12.5 DIE EXPLIZITE DIFFERENTIALGLEICHUNG HOEHERER ORDNUNG 779
12.5.1 EXISTENZ-UND EINDEUTIGKEITSSATZ 779
12.5.2 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG N-TER ORDNUNG 780
12.5.2.1 DIE ALLGEMEINE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG 780
12.5.2.2 DIE HOMOGENE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG 781
12.5.2.3 DIE INHOMOGENE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG 781
12.5.2.4 DIE REDUKTIONSMETHODE VON D'ALEMBERT 783
12.5.2.5 HOMOGENE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG MIT VORGEGEBENEN
LOESUNGEN 784
12.5.2.6 LOESUNG DURCH POTENZREIHENANSATZ 785
12.5.3 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 786
12.5.3.1 DIE HOMOGENE GLEICHUNG 785
12.5.3.2 DIE INHOMOGENE GLEICHUNG 787
12.5.4 DIE EULERSCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 790
12.5.5 SPEZIELLE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2. ORDNUNG 792
12.5.5.1 DIE BESSELSCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 792
12.5.5.2 DIE LEGENDRESCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 795
12.5.5.3 DIE LAGUERRESCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 797
12.5.5.4 DIE HERMETISCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 798
12.5.5.5 DIE TSCHEBYSCHEFFSCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 798
12.6 RANDWERTAUFGABEN 800
12.6.1 ALLGEMEINE RANDWERTAUFGABEN 800
12.6.2 LINEARE RANDWERTAUFGABEN BEI LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
N-TER ORDNUNG 801
INHALTSVERZEICHNIS XXI
12.6.2.1 LOESUNGSMOEGLICHKEITEN BEIM ALLGEMEINEN RANDWERTPROBLEM . . 801
12.6.2.2 DIE GREENSCHE FUNKTION 803
12.6.2.3 SELBSTADJUNGIERTE RANDWERTPROBLEME 807
12.7 EIGENWERTAUFGABEN 810
12.8 NUMERISCHE BEHANDLUNG GEWOEHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN . 812
12.8.1 EULER-CAUCHYSCHER POLYGONZUG 812
12.8.2 VERFAHREN VON HEUN 814
12.8.3 KLASSISCHES RUNGE-KUTTA-VERFAHREN 815
12.8.4 ALLGEMEINER ANSATZ FUER RUNGE-KUTTA-VERFAHREN 815
12.8.5 VERFAHREN DER SCHRITTWEISEN VERBESSERUNG 816
12.8.6 PRAEDIKTOR-KORREKTUR VERFAHREN 817
ANHANG: TABELLEN 819
I. ABLEITUNGEN 819
II. UNBESTIMMTE INTEGRALE 821
III. BESTIMMTE UND UNEIGENTLICHE INTEGRALE 855
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