Integralgleichungen: Theorie und Numerik ; mit zahlreichen Beispielen und Übungsaufgaben
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Stuttgart
Teubner
1997
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| Ausgabe: | 2., überarb. und erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik
68 |
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| Beschreibung: | 379 S. graph. Darst. |
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Vorwort 3
Inhaltsverzeichnis 5
Notation 8
1. Einleitung 13
1.1 Integralgleichungen 13
1.2 Grundlagen aus der Analysis 15
1.2.1 Stetige Funktionen 15
1.2.2 Lipschitz stetige Funktionen 15
1.2.3 Holder stetige Funktionen 16
1.3 Grundlagen aus der Funktionalanalysis 17
1.3.1 Banach Räume 17
1.3.2 Banach Räume C*( I) ,c£( D ) ,€ ( D ) 18
1.3.3 Banach Räume LHD), L2(D), L^iD) 19
1.3.4 Dichte Teilräume 20
1.3.5 Banachscher Fixpunktsatz 20
1.3.6 Lineare Operatoren 21
1.3.7 Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit 22
1.3.8 Kompakte Mengen und kompakte Abbildungen 23
1.3.9 Riesz Schauder Theorie 25
1.3.10 Hilbert Räume, Orthogonalräume, Projektionen .... 26
1.4 Grundlagen aus der Numerischen Mathematik 27
1.4.1 Interpolation 27
1.4.2 Quadratur 31
1.4.3 Kondition von Gleichungssystemen 35
2. Volterrasche Integralgleichungen 37
2.1 Theorie der Volterraschen Integralgleichung 2. Art 37
2.1.1 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung 37
2.1.2 Regularität der Lösung 39
2.2 Numerische Lösung durch Quadraturverfahren 41
2.2.1 Herleitung der Diskretisierung 41
2.2.2 Fehlerabschätzung 42
2.3 Weitere numerische Verfahren 49
2.4 Lineare Volterrasche Integralgleichung vom Faltungstyp ... 52
2.5 Volterraschen Integralgleichung 1. Art 53
3. Theorie der Fredholmschen Integralgleichung 2. Art 55
3.1 Die Fredholmsche Integralgleichung 2. Art 55
3.2 Der Integraloperator K als kompakter Operator 56
3.2.1 Allgemeines 56
3.2.2 Der Fall X = C(D) 58
3.2.3 Der Fall X = L2(ß) 60
3.2.4 Der Fall eines unbeschränkten Intervalles I 60
3.3 Endliche Approximierbarkeit des Integral Operators K .... 61
3.3.1 Konvergenz in der Operatornorm 61
3.3.2 Ausgeartete Kerne 62
6 Inhaltsverzeichnis
3. Theorie der Fredholmschen Integralgleichung 2. Art (Fortsetzung)
3.4 Bildbereich von K 63
3.4.1 Glatte Kerne k(x,y) 63
3.4.2 Das BildKf für feCHl) 65
3.4.3 Kerne mit integrierbarer Singularität 67
3.4.4 Kompaktheit 70
3.4.5 Volterrasche Integralgleichung 70
3.4.6 K als Abbildung von L^f DJ 70
3.5 Lösung der Fredholmschen Integralgleichung 2. Art 71
3.5.1 Existenz und Eindeutigkeit 71
3.5.2 Regularität 71
4. Numerik der Fredholmschen Integralgleichung 2. Art 72
4.1 Allgemeine Überlegungen 72
4.1.1 Notation des semidiskreten Problems 72
4.1.2 Konsistenz und Stabilität 72
4.1.3 Konvergenz 74
4.1.4 Stabilitäts und Konvergenzsatz 75
1.l.S Fehlerabschätzungen 76
4.1.6 Konditionszahlen 77
4.2 Diskretisierung durch Kernapproximation 78
4.2.1 Ausgeartete Kerne 78
4.2.2 Aufstellung des Gleichungssystems 79
4.2.3 Kernapproximation durch Interpolation 80
4.2.4 Tensorapproximation von k 81
4.2.5 Beispiele für Kernapproximationen 82
4.2.6 Variante der Kernapproximation 83
4.2.7 Analyse des Gleichungssystems 84
4.2.8 Numerische Beispiele 86
4.3 Projektionsmethoden (allgemein) 88
4.3.1 Unterräume 88
4.3.2 Projektionen 89
4.3.3 Hilfssätze 90
4.3.4 Diskretisierung mittels Projektion 90
4.3.5 Konvergenzuntersuchung 92
4.3.6 Fehlerabschätzung 93
4.4 Kollokatäonsmethode 95
4.4.1 Definition der Projektion durch Interpolation 95
4.4.2 Aufstellung des Gleichungssystems 95
4.4.3 Beispiele für Interpolationen 97
4.4.4 Kondition des Gleichungssystems 99
4.4.5 Numerische Beispiele 101
4.5 Galerkin Verfahren 105
4.5.1 Unterraum, Orthogonalprojektion 105
4.5.2 Aufstellung des Gleichungssystems 106
4.5.3 Konvergenz in L2( D) und Lm(D) 107
4.5.4 Fehlerabschätzungen 110
4.5.5 Kondition des Gleichungssystems 111
4.5.6 Beispiel: stückweise konstante Funktionen 114
4.5.7 Beispiel: stückweise lineare Funktionen 118
4.5.8 Allgemeine Analyse des Projektionsfehlers 119
Inhaltsverzeichnis 7
4 Numerik der Fredholmschen Integralgleichung 2. Art (Fortsetzung)
4.5.9 Fortsetzung: stückweise lineare Funktionen 121
4.5.10 Numerische Beispiele 123
4.6 Verschiedene Anmerkungen zu Projektionsverfahren .... 12S
4.6.1 Regularisierung 125
4.6.2 Abschätzungen in schwächeren Norm 126
4.6.3 Das iterierte Verfahren 131
4.6.4 Superkonvergenz 133
4.6.5 Allgemeinere Formulierungen der Projektionsmethode . 136
4.6.6 Numerische Quadratur 138
4.6.7 Produktintegration 141
4.7 Diskretisierung durch Quadraturverfahren (Nyström Methode) 143
4.7.1 Beschreibung des Verfahrens 143
4.7.2 Konvergenzüberlegungen 145
4.7.3 Stabilität 147
4.7.4 Konsistenzordnung 151
4.7.5 Kondition des Gleichungssystems 152
4.7.6 Regularisierung 153
4.7.7 Numerische Beispiele 154
4.7.8 Produktintegration 155
4.8 Ergänzungen 156
4.8.1 Zusammenhang der Diskretisierungsverfahren 156
4.8.2 Methode der Defektkorrektur 158
4.8.3 Extrapolationsverfahren 159
4.8.4 Eigenwertaufgaben 162
4.8.5 Komplementäre Integralgleichungen 167
4.8.6 Nachtrag: Störungssatz zur Stabilität 169
5. Mehrgitterverfahren zur Auflösung des Gleichungssystems bei
Integralgleichungen zweiter Art 170
5.1 Vorbemerkungen 170
5.1.1 Notation 170
5.1.2 Direkte Lösung des Gleichungssystems 171
5.1.3 Picard Iteration 171
5.1.4 Verfahren der konjugierten Gradienten 173
5.2 Stabilität und Konvergenz (diskrete Formulierung) 175
5.2.1 Prolongation und Restriktion 175
5.2.2 Der Banach Raum Y und die diskreten Räume Y„ .... 178
5.2.3 Der Interpolations bzw. Projektionsfehler 180
5.2.4 Konsistenz 180
5.2.5 Stabilität 181
5.2.6 Konvergenz 182
5.3 Die Hierarchie diskreter Probleme 183
5.3.1 Diskretisierungsstufen 183
5.3.2 Prolongationen und Restriktionen 184
5.3.3 Relative Konsistenz 187
5.3.4 Konvergenz 188
5.4 Zweigitterverfahren 189
5.4.1 Der Zweigitteralgorithmus 189
5.4.2 Konvergenzanalyse 190
8 Inhaltsverzeichnis
5. Mehrgitterverfahren (Fortsetzung)
5.4.3 Rechenaufwand 192
5.4.4 Variante für Ap 41 194
5.4.5 Numerische Beispiele 195
5.5 Mehrgitterverfahren 197
5.5.1 Algorithmus (Grundversion) 197
5.5.2 Rechenaufwand 199
5.5.3 Konvergenz 200
5.5.4 Numerische Beispiele 204
5.5.5 Varianten des Mehrgitterverfahrens 206
5.6 Geschachtelte Iteration 212
5.6.1 Algorithmus 212
5.6.2 Rechenaufwand 213
5.6.3 Konvergenz 214
5.6.4 Numerische Beispiele 215
5.6.5 Geschachtelte Iteration mit Nyström Interpolation . . 216
6. Die Abelsche Integralgleichung 218
6.1 Notation und Anwendungsbeispiele 218
6.1.1 Die Abelsche Integralgl. und ihre Verallgemeinerung . 218
6.1.2 Anwendungsbeispiele 218
6.1.3 Uneigentliche Integrale 220
6.2 Eine notwendige Bedingung für eine beschränkte Lösung . . 223
6.3 Eulersche Integrale 224
6.4 Umkehrung der Abelschen Integralgleichung 226
6.5 Umformung für Kerne fc(x,y)/( x y)x 231
6.6 Numerische Verfahren für die Abelschen Integralgleichung . 232
7. Singuläre Integralgleichungen 234
7.1 Der Cauchy Hauptwert 234
7.1.1 Definition und Eigenschaften 234
7.1.2 Kurvenintegrale 238
7.1.3 Cauchy Hauptwert für Kurvenintegrale 240
7.1.4 Das Beispiel/(U = */^ z. 242
7.2 Der Cauchy Kern 249
7.2.1 Definition und Eigenschaften 249
7.2.2 Regularitätseigenschaften 253
7.2.3 Eigenschaften der erzeugten holomorphen Funktion . . 255
7.2.4 Darstellung von K2 263
7.2.5 Das Cauchy Integral auf dem Einheitskreis 265
7.3 Die singuläre Integralgleichung 267
7.3.1 Der Fall konstanter Koeffizienten 267
7.3.2 Der Fall variabler Koeffizienten 267
7.3.3 Allgemeine singuläre Integralgleichungen 268
7.3.4 Approximation des Cauchy Integrals auf dem
Einheitskreis 269
7.3.5 Approximation des Cauchy Integrals auf einer beliebigen
Kurver 270
7.3.6 Mehrgitterverfahren für Gleichungen spezieller Art . . 271
Inhaltsverzeichnis 9
7. Singuläre Integralgleichungen (Fortsetzung)
7.4 Anwendung auf das Dirichlet Problem der Laplace Gleichung 273
7.4.1 Die Aufgabenstellung im Innenraum 273
7.4.2 Das Doppelschichtpotential 273
7.4.3 Eindeutigkeits und Darstellungssatz 277
7.4.4 Der Fall eines glatten Randes F 279
7.4.5 Das Doppelschichtpotential zur Lösung der Außenraum
aufgabe 280
7.4.6 Die Tangentialableitung des Einfachschichtpotentials . 282
7.5 Hypersinguläre Integrale 284
8. Die Integralgleichungsmethode 286
8.1 Das Einfachschichtpotential 286
8.1.1 Die Singularitätenfunktion 286
8.1.2 Stetigkeit des Einfachschichtpotentials 288
8.1.2.1 Definition 288
8.1.2.2 Oberflächenintegrale 289
8.1.2.3 Uneigentliche Integrale auf Oberflächen 290
8.1.2.4 Folgerungen für das Einfachschichtpotential 291
8.1.3 Ableitungen des Einfachschichtpotential 291
8.1.3.1 Die Normalableitung 291
8.1.3.2 Der Cauchy Hauptwert für Oberflächenintegrale 296
8.1.3.3 Andere Richtungsableitungen 300
8.1.4 Formulierung der Dirichlet Randwertauf gäbe als Integral¬
gleichung 1. Art für das Einfachschichtpotential .... 302
8.1.4.1 Zur Innen und Außenraumauf gäbe der Laplace Gl. 302
8.1.4.2 Die Integralgleichung erster Art 303
8.1.5 Formulierung der Neumann Randwertaufgabe als Integral¬
gleichung 2. Art für das Einfachschichtpotential .... 305
8.2 Das Doppelschichtpotential 308
8.2.1 Definition 308
8.2.2 Regularitätseigenschaften des Doppelschichtoperators . 309
8.2.3 Sprungeigenschaften des Doppelschichtpotentials . . . 312
8.2.4 Weitere Eigenschaften des Doppelschichtpotentials . . 315
8.2.4.1 Hol der Stetigkeit 315
8.2.4.2 Potential in der Nähe einer Sprungstelle 316
8.2.4.3 Das Potential der Belegung f=l 317
8.2.5 Ableitungen des Doppelschichtpotentials 320
8.2.6 Integralgleichungen mit dem Doppelschichtoperator . . 324
8.2.6.1 Formulierung der Dirichlet Randwertaufgabe 324
8.2.6.2 Formulierung der Neumann Randwertaufgabe 326
8.2.7 Nichtglatte Kurven bzw. Oberflächen 328
8.3 Eine hypersinguläre Integralgleichung 330
8.4 Übersicht: Integralgleichungen für die Laplace Gleichung . . 334
8.5 Die Integralgleichungsmethode für andere Differentialgl. . . 335
8.5.1 Gleichungen zweiter Ordnung 335
8.5.2 Gleichungen höherer Ordnung 336
8.5.3 Systeme von Differentialgleichungen 337
10 Inhaltsverzeichnis
9. Die Randelementmethode 339
9.1 Konstruktion der Randelementmethode 339
9.1.1 Definition der Randelementmethode 339
9.1.2 Galerkin Verfahren 339
9.1.3 Kollokationsverfahren 340
9.1.4 Konvergenz im kompakten Fall 341
9.1.5 Konvergenz im Falle elliptischer Bilinearformen .... 341
9.2 Die Randelemente 344
9.2.1 Elemente im zweidimensionalen Fall 344
9.2.2 Geometrische Diskretisierung 345
9.2.3 Elemente im dreidimensionalen Fall 346
9.2.4 Fehlerbetrachtungen 347
9.3 Mehrgitterverfahren 348
9.3.1 Gleichungen zweiter Art 348
9.3.2 Gleichungen erster Art 349
9.4 Integration und Numerische Quadratur 351
9.4.1 Allgemeine Bemerkungen 351
9.4.2 Schwach singuläre Integrale 352
9.4.3 Fast singuläre Integrale 3S3
9.4.4 Stark singuläre Integrale 35S
9.4.5 Behandlung der doppelten Integrale bei der Galerkin
Methode 355
9.5 Verfahren höherer Ordnung 355
9.5.1 Höhere Elementansätze 355
9.5.2 Ein spezielles Verfahren mit flachen Dreieckselementen 356
9.6 Lösung inhomogener Gleichungen 357
9.7 Berechnung des Potentials 358
9.7.1 Auswertung des Potentials 358
9.7.2 Auswertung der Ableitungen 358
9.7.3 Fehlerbetrachtungen 359
9.7.4 Extrapolation 359
9.8 Alternative Matrixdarstellungen (Paneel Clusterung) .... 359
9.8.1 Die Konstruktion der Cluster 360
9.8.2 Der Clusterbaum 360
9.8.3 Die Clusterentwicklung 361
9.8.4 Zulässige Cluster 362
5.8.S Zulässige Überdeckungen 362
9.8.6 Matrix Vektor Multiplikation 362
Literaturverzeichnis 364
Stichwortverzeichnis 373
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