Mathematik wirklich verstehen: eine Einführung in ihre Grundbegriffe und Denkweisen
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|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Köln
Aulis-Verl. Deubner
1997
|
| Edition: | 3., verb. Aufl. |
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | 330 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 376141613X |
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| adam_text | MATHEMATIK WIRKLICH VERSTEHEN EINE EINFUHRUNG IN IHRE GRUNDBEGRIFFE UND
DENKWEISEN VON ARNOLD KIRSCH 3. VERBESSERTE AUFLAGE AULIS VERLAG DEUBNER
& CO KG * KOELN INHALTSVERZEICHNIS VORWORT 11 TEILA ZAHLEN VORBEMERKUNGEN
13 KAPITEL 1 NATUERLICHE ZAHLEN 14 1.1 WOZU VERWENDET MAN DIE NATUERLICHEN
ZAHLEN? WAS BEDEUTEN DANN DIE OPERATIO- NEN + , *, 1.1.1 ORDINALE UND
KARDINALE VERWENDUNG 14 1.1.2 EINEINDEUTIGE ZUORDNUNGEN 15 1.1.3
ANZAHLBESTIMMUNG DURCH EINEINDEUTIGES ZUORDNEN 16 1.1.4 ENDLICH UND
UNENDLICH 18 1.1.5 ZUR BEDEUTUNG DER OPERATIONEN +, *, 19 AUFGABEN 1.1
20 1.2 ANZAHLBESTIMMUNG MITTELS SUMMENREGEL UND PRODUKTREGEL 21 1.2.1
SUMMENREGEL 21 1.2.2 GEORDNETE PAARE, KREUZPRODUKT, PRODUKTREGEL 23
1.2.3 ALLGEMEINE PRODUKTREGEL 25 AUFGABEN 1.2 28 1.3 DIE
STELLENWERTSCHREIBWEISE FUER NATUERLICHE ZAHLEN; BEISPIELE FUER ALGORITHMEN
. 29 1.3.1 DIVISION MIT REST 29 .3.2 DARSTELLUNG NATUERLICHER ZAHLEN IN
EINEM STELLENWERTSYSTEM 31 .3.3 AUSRECHNEN VON POTENZSUMMEN;
HORNER-SCHEMA 33 .3.4 WIE SPIEGELN SICH DIE OPERATIONEN +, *, IN DER
STELLENWERTSCHREIBWEISE WIDER? 34 .3.5 ERGAENZUNG: DER EUKLIDISCHE
ALGORITHMUS 36 AUFGABEN 1.3 37 .4 PRIMZAHLEN ALS *BAUSTEINE VON N 38
.4.1 PRIMZAHLEN 38 .4.2 PRIMFAKTORZERLEGUNG 39 .4.3 DIE UNENDLICHKEIT
DER MENGE ALLER PRIMZAHLEN 40 .4.4 EINDEUTIGKEIT DER PRIMFAKTORZERLEGUNG
41 .4.5 ERSTE FOLGERUNGEN AUS DER EINDEUTIGKEIT DER PFZ 42 AUFGABEN 1.4
44 KAPITEL 2 BRUCHZAHLEN (POSITIVE RATIONALE ZAHLEN) UND GROESSEN 44 2.1
SCHREIBWEISEN (BEZEICHNUNGEN) FUER BRUCHZAHLEN 45 2.1.1 BEZEICHNUNG DURCH
GEWOEHNLICHE BRUECHE; ADDITION UND MULTIPLIKATION 45 2.1.2 BEZEICHNUNG
DURCH DEZIMALBRUECHE 47 2.1.3 STELLT JEDER PERIODISCHE DEZIMALBRUCH EINE
BRUCHZAHL DAR, UND WIE FINDET MAN DEREN BRUCHDARSTELLUNG? 48 AUFGABEN
2.1 50 2.2 VERWENDUNG DER BRUCHZAHLEN ALS MASSZAHLEN; RECHNEN MIT GROESSEN
50 2.2.1 GROESSENMAESSIGE BESCHREIBUNG VON GEGENSTAENDEN DURCH MASSZAHL UND
MASSEINHEIT 50 2.2.2 WAS SIND GROESSEN; WIE VERGLEICHT UND ADDIERT MAN SIE?
52 2.2.3 GRUNDLEGENDE RECHENGESETZE FUER GROESSEN 53 2.2.4
TEILBARKEITSEIGENSCHAFT; VERVIELFACHUNG VON GROESSEN MIT BRUCHZAHLEN 55
2.2.5 DIVISION UND MULTIPLIKATION VON GROESSEN 57 AUFGABEN 2.2 58 2.3
WICHTIGE UNTERSCHIEDE ZWISCHEN DEN ZAHLBEREICHEN N UND + 59 2.3.1
LOESBARKEIT JEDER GLEICHUNG AX=B 59 2.3.2 DICHTHEIT DER BRUCHZAHLEN 60
2.3.3 ENDLICHKEIT, BESCHRAENKTHEIT UND GROESSTE ZAHL EINER ZAHLENMENGE 61
AUFGABEN 2.3 62 KAPITEL 3 RATIONALE (INSBESONDERE GANZE, AUCH NEGATIVE)
ZAHLEN 63 3.1 WOZU VERWENDET MAN DIE RATIONALEN ZAHLEN? WAS BEDEUTEN
DANN DIE RECHENOPE- RATIONEN? 63 3.1.1 VERWENDUNGSZWECKE 63 3.1.2
BEDEUTUNG DER KLEINERBEZIEHUNG UND DER ADDITION 64 3.1.3
GEGENZAHLBILDUNG, SUBTRAKTION 65 3.1.4 BEDEUTUNG DER MULTIPLIKATION 66
AUFGABEN 3.1 68 3.2 RECHENREGELN FUER DIE ADDITION UND DIE MULTIPLIKATION
IN Q 69 3.2.1 KOERPER-AXIOME 69 3.2.2 ERSTE DEFINITIONEN UND BEWEISE 70
3.2.3 VERWENDUNG DES DISTRIBUTIVGESETZES UND DER MULTIPLIKATIVEN
INVERSEN 72 AUFGABEN 3.2 74 3.3 DIE KLEINERBEZIEHUNG IN Q; BETRAG EINER
RATIONALEN ZAHL 74 3.3.1 ANORDNUNGSAXIOME 74 3.3.2 DEFINITIONEN UND
BEWEISE AUF GRUND DER ANORDNUNGSAXIOME 75 3.3.3 HINWEISE ZUR
GLEICHHEITSBEZIEHUNG 77 3.3.4 BETRAG EINER RATIONALEN ZAHL 77 AUFGABEN
3.3 79 3.4 RUNDEN VON ZAHLEN; ELEMENTARE FEHLERRECHNUNG 80 3.4.1 RUNDEN;
ZUVERLAESSIGE UND GESICHERTE ZIFFERN 80 3.4.2 ABSOLUTER UND RELATIVER
(PROZENTUALER) FEHLER 81 3.4.3 FORTPFLANZUNG ABSOLUTER FEHLER BEI DEN
GRUNDRECHENARTEN 83 3.4.4 FORTPFLANZUNG RELATIVER FEHLER BEI DEN
GRUNDRECHENARTEN 85 AUFGABEN 3.4 86 KAPITEL 4 REELLE ZAHLEN 87 4.1 WOZU
BENOETIGT MAN DIE REELLEN ZAHLEN? 87 4.1.1 INKOMMENSURABLE STRECKENPAARE
87 4.1.2 UNZULAENGLICHKEITEN DER RATIONALEN ZAHLEN 88 4.1.3 REELLE
ZAHLEN; IRRATIONALE ZAHLEN 90 AUFGABEN 4.1 91 4.2 REELLE ZAHLEN UND
DEZIMALBRUECHE; RECHENGESETZE 91 4.2.1 ENTSPRECHUNG ZWISCHEN REELLEN
ZAHLEN UND DEZIMALBRUECHEN 91 4.2.2 RECHENGESETZE FUER REELLE ZAHLEN 94
4.2.3 INTERVALLSCHACHTELUNGS-AXIOM, ARCHIMEDISCHES AXIOM 95 AUFGABEN 4.2
97 4.3 EINIGES UEBER WURZELN 97 4.3.1 WURZELN UND GLEICHUNGSLOESUNGEN 97
4.3.2 ARITHMETISCHES UND GEOMETRISCHES MITTEL 98 4.3.3 VERFAHREN ZUR
QUADRATWURZELBERECHNUNG 100 AUFGABEN 4.3 102 TEIL B MENGEN, AUSSAGEN,
BEWEISE 105 VORBEMERKUNGEN 105 KAPITEL 5 AUSSAGEFORMEN UND IHRE
ERFUELLUNGSMENGEN 105 5.1 BESCHREIBUNG VON MENGEN MITTELS AUSSAGEFORMEN
105 5.1.1 AUFZAEHLENDE UND BESCHREIBENDE SCHREIBWEISE 105 5.1.2
AEQUIVALENZ VON AUSSAGEFORMEN 107 5.1.3 *GLEICHUNGSLEHRE 108 5.1.4
MENGEN VON ZAHLENPAAREN; ZWEISTELLIGE AUSSAGEFORMEN 110 AUFGABEN 5.1 112
5.2 ALLGEMEINGUELTIGKEIT UND ERFUELLBARKEIT VON AUSSAGEFORMEN; ALLAUSSAGEN
UND EXISTENZAUSSAGEN 113 5.2.1 ALLGEMEINGUELTIGKEIT, ALLAUSSAGEN 113
5.2.2 ERFUELLBARKEIT, EXISTENZAUSSAGEN 114 5.2.3 TEILWEISE (ODER:
SCHRITTWEISE) QUANTIFIZIERUNG EINER ZWEISTELLIGEN AUSSAGEFORM U5 5.2.4
NEGATION VON ALL- UND EXISTENZAUSSAGEN 116 AUFGABEN 5.2 117 KAPITEL 6
OPERATIONEN FUER AUSSAGEN UND MENGEN 118 6.1 DIE AUSSAGENLOGISCHEN
OPERATIONEN UND IHRE ENTSPRECHUNG ZU MENGENOPERA- TIONEN 118 6.1.1
ERINNERUNG AN DIE AUSSAGENLOGIK 118 6.1.2 ENTSPRECHUNGEN ZWISCHEN
LOGISCHEN UND MENGENOPERATIONEN 119 6.1.3 BEISPIELE, INSBESONDERE
GLEICHUNGS- UND UNGLEICHUNGSSYSTEME 119 6.1.4 WICHTIGE KOMBINATIONEN VON
*NICHT , *UND , *ODER 123 AUFGABEN 6.1 124 6.2 RECHENREGELN FUER DIE
MENGENOPERATIONEN UND BEWEISVERFAHREN DAFUER 125 6.2.1 D, U,~ ALS
OPERATIONEN IN DER POTENZMENGE 125 6.2.2 WICHTIGE RECHENREGELN FUER N,
U,~ 125 6.2.3 BEWEISE MITTELS ZUGEHOERIGKEITSTAFELN 127 6.2.4 BEWEISE
MITTELS VENN-DIAGRAMMEN 128 6.2.5 BEWEISE DURCH FOLGERN AUS
GRUNDGESETZEN 129 AUFGABEN 6.2 131 6.3 VEREINIGUNG UND DURCHSCHNITT VON
BELIEBIG VIELEN MENGEN; KLASSENEINTEILUNGEN 132 6.3.1 VEREINIGUNG
UNENDLICH VIELER MENGEN 132 6.3.2 DURCHSCHNITT UNENDLICH VIELER MENGEN
134 6.3.3 KLASSENEINTEILUNGEN EINER MENGE 135 AUFGABEN 6.3 137 KAPITEL 7
*WENN * DANN UND *ALSO 138 7.1 IMPLIKATION UND AEQUIVALENZ 138 7.1.1
DER JUNKTOR *= IN DER AUSSAGENLOGIK 138 7.1.2 BEISPIELE AUS DER
MATHEMATIK 139 7.1.3 DER JUNKTOR ** 141 7.1.4 SPRACHLICHE
FORMULIERUNGEN FUER WENN-DANN-AUSSAGEN UND GENAU-DANN-WENN- AUSSAGEN 142
7.1.5 UMKEHRUNG UND KONTRAPOSITION VON WENN-DANN-AUSSAGEN 144 AUFGABEN
7.1 145 7.2 DIE MENGEN-INKLUSION UND IHRE EIGENSCHAFTEN 145 7.2.1
ENTSPRECHUNGEN ZWISCHEN DER IMPLIKATION UND DER MENGENINKLUSION 145
7.2.2 WICHTIGE EIGENSCHAFTEN DER MENGEN-INKLUSION 146 AUFGABEN 7.2 147
7.3 HINWEISE ZUM GEBRAUCH DES WORTES *ALSO ; SCHLUSSSCHEMATA 148 7.3.1
BEISPIELE 148 7.3.2 DIE ABTRENNUNGSREGEL UND VERWANDTE SCHLUSSSCHEMATA
149 7.4 DAS BEWEISVERFAHREN DER VOLLSTAENDIGEN INDUKTION 151 7.4.1
EINFUEHRENDE BEISPIELE 151 7.4.2 ALLGEMEINE BESCHREIBUNG UND DISKUSSION
DES BEWEISVERFAHRENS 153 7.4.3 DIE SAETZE VON DER KLEINSTEN ZAHL EINER
ZAHLENMENGE UND VON DER EINDEUTIGKEIT DER PRIMFAKTORZERLEGUNG 155 7.4.4
DIE INDUKTIONSEIGENSCHAFT ALS CHARAKTERISTIKUM DER NATUERLICHEN ZAHLEN
157 AUFGABEN 7.4 158 TEIL C FUNKTIONEN (ABBILDUNGEN) UND RELATIONEN 160
KAPITEL 8 DER FUNKTIONSBEGRIFF (ABBILDUNGSBEGRIFF): DEFINITIONEN UND
BEISPIELE ... 160 8.1 FUNKTIONEN AUF DEM TASCHENRECHNER 160 8.1.1
EINSTELLIGE FUNKTIONEN 160 8.1.2 PLUS-, MINUS-, MAL UND DURCH-OPERATOREN
161 8.1.3 ZWEISTELLIGE FUNKTIONEN 162 AUFGABEN 8.1 164 8.2 DEFINITIONEN,
BEZEICHNUNGSWEISEN, DARSTELLUNGSWEISEN 164 8.2.1 FUNKTION,
DEFINITIONSMENGE, ZIELMENGE, WERTEMENGE 164 8.2.2 GLEICHHEIT VON
FUNKTIONEN; NAMEN FUER FUNKTIONEN 166 8.2.3 DARSTELLUNGSWEISEN FUER
FUNKTIONEN 167 8.2.4 INJEKTIV, SURJEKTIV, BIJEKTIV 169 8.2.5 FORTSETZEN
UND EINSCHRAENKEN VON FUNKTIONEN 170 AUFGABEN 8.2 172 8.3 ABBILDUNGEN
ENDLICHER MENGEN; FOLGEN ALS ABBILDUNGEN 173 8.3.1 ABBILDUNGEN MIT
ENDLICHER DEFINITIONS- UND ZIELMENGE 173 8.3.2 ANZAHLEN SOLCHER
ABBILDUNGEN; PERMUTATIONEN 175 8.3.3 FOLGEN ALS ABBILDUNGEN MIT
DEFINITIONSBEREICH N 176 8.3.4 REKURSIVE DEFINITION VON FOLGEN 177
AUFGABEN 8.3 178 8.4 VIER TYPEN GEOMETRISCH INTERPRETIERBARER FUNKTIONEN
BZW. ABBILDUNGEN 180 8.4.1 FUNKTIONEN VOM TYP [R ** [R 180 8.4.2
FUNKTIONEN VOM TYP IR 2 -» IR 183 8.4.3 ABBILDUNGEN VOM TYP IR -* IR 2
186 8.4.4 ABBILDUNGEN VOM TYP IR 2 - IR 2 189 AUFGABEN 8.4 193 8 8.5
MASSFUNKTIONEN 196 8.5.1 DIE KARDINALZAHLFUNKTION 197 8.5.2
FLAECHENINHALT, KURVENLAENGE 198 8.5.3 BEWERTUNGSFUNKTIONEN 200 AUFGABEN
8.5 202 KAPITEL 9 OPERATIONEN FUER FUNKTIONEN 203 9.1 VERKETTEN UND
UMKEHREN VON FUNKTIONEN 203 9.1.1 VERKETTEN 203 9.1.2 UMKEHREN 205 9.1.3
EIN BEISPIEL: AFFINE ABBILDUNGEN DER GERADEN 207 9.1.4 ABBILDUNGSGRUPPEN
210 AUFGABEN 9.1 210 9.2 ELEMENTARGEOMETRISCHE ABBILDUNGEN UND IHRE
VERKETTUNG 211 9.2.1 AFFINE ABBILDUNGEN DER EBENE 211 9.2.2
GERADENSPIEGELUNGEN, VERSCHIEBUNGEN, DREHUNGEN 213 9.2.3
KONGRUENZABBILDUNGEN ALS SPIEGELUNGSKETTEN UND ALS ISOMETRIEN 216
AUFGABEN 9.2 219 9.3 SPEZIELLE OPERATIONEN FUER REELLE FUNKTIONEN 220
9.3.1 ADDITION UND MULTIPLIKATION 220 9.3.2 ENTSPRECHUNG ZU DEN
MENGENOPERATIONEN (CHARAKTERISTISCHE FUNKTIONEN) 222 9.3.3 VERKETTUNG
VON REELLEN FUNKTIONEN MIT AFFINEN 224 9.3.4 SYMMETRIEEIGENSCHAFTEN VON
FUNKTIONSGRAPHEN 226 9.3.5 DIE FUNKTIONALGLEICHUNGEN DER LINEAREN UND
DER EXPONENTIALFUNKTIONEN 228 AUFGABEN 9.3 231 KAPITEL 10 RELATIONEN 233
10.1 DER RELATIONSBEGRIFF IN BEZIEHUNG ZU ANDEREN BEGRIFFEN 233 10.1.1
WAS IST EINE RELATION? 233 10.1.2 BEISPIELE UND DARSTELLUNGSWEISEN FUER
RELATIONEN 235 10.1.3 OPERATIONEN MIT RELATIONEN 237 10.1.4 FUNKTIONEN
ALS SPEZIELLE RELATIONEN 239 AUFGABEN 10.1 241 10.2 EIGENSCHAFTEN VON
RELATIONEN; ORDNUNGSRELATIONEN 241 10.2.1 TRANSITIVITAET 241 10.2.2
REFLEXIVITAET UND IRREFLEXIVITAET 242 10.2.3 SYMMETRIE UND ANTISYMMETRIE,
TRICHOTOMIE 243 10.2.4 ORDNUNGSRELATIONEN 244 AUFGABEN 10.2 246 10.3
AEQUIVALENZRELATIONEN 247 10.3.1 AEQUIVALENZRELATIONEN UND GLEICHHEIT 247
10.3.2 AEQUIVALENZRELATIONEN UND ABBILDUNGSGRUPPEN 248 10.3.3
AEQUIVALENZRELATIONEN UND KLASSENEINTEILUNGEN 251 10.3.4 EINE ANWENDUNG:
GRUNDAUFGABEN DER KOMBINATORIK 253 10.3.5 BEGRIFFSBILDUNG DURCH
ABSTRAKTION BZGL. EINER AEQUIVALENZRELATION 256 AUFGABEN 10.3 257 KAPITEL
11 BEGRUENDUNG VON ZAHLBEGRIFFEN 258 11.1 REELLE ZAHLEN, RATIONALE ZAHLEN
259 11.1.1 ZAHLEN ALS GROESSENVERHAELTNISSE 259 11.1.2 REKONSTRUKTION DER
BRUCHZAHLEN ALS OPERATOREN FUER GROESSEN 261 11.1.3 REKONSTRUKTION DER
BRUCHZAHLEN ALS VERHAELTNISSE VON NATUERLICHEN ZAHLEN 264 11.1.4 NEGATIVE
ZAHLEN 267 AUFGABEN 11.1 269 11.2 GLEICHMAECHTIGKEIT VON MENGEN;
KARDINALZAHLEN 270 11.2.1 DIE GLEICHMAECHTIGKEIT ALS AEQUIVALENZRELATION
ZWISCHEN MENGEN 270 11.2.2 NOCHMALS: ENDLICHE UND UNENDLICHE MENGEN 271
11.2.3 ABZAEHLBAR UNENDLICHE MENGEN 271 11.2.4 KONTINUUM-UNENDLICHE
MENGEN 274 11.2.5 KARDINALZAHLEN 277 11.2.6 GIBT ES NOCH GROESSERE
KARDINALZAHLEN? 279 AUFGABEN 11.2 280 LOESUNGEN DER AUFGABEN 282 ZU
KAPITEL 1 282 ZU KAPITEL 2 285 ZU KAPITEL 3 288 ZU KAPITEL 4 292 ZU
KAPITEL 5 295 ZU KAPITEL 6 297 ZU KAPITEL 7 302 ZU KAPITEL 8 305 ZU
KAPITEL 9 314 ZU KAPITEL 10 320 ZU KAPITEL 11 324 STICHWORTVERZEICHNIS
328 10
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