Numerische Mathematik: mit 158 Beispielen und 118 Aufgaben
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Stuttgart
Teubner
1997
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| adam_text | Inhalt
1 Lineare Gleichungssysteme, direkte Methoden
1.1 Gaußscher Algorithmus........................................ 11
1.1.1 Der fundamentale Rechenprozeß.......................... 11
1.1.2 Pivotstrategien ......................................... 19
1.1.3 Ergänzungen........................................... 26
1.2 Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen ........................ 29
1.2.1 Normen ............................................... 29
1.2.2 Fehlerabschätzungen, Kondition .......................... 35
1.3 Systeme mit speziellen Eigenschaften............................. 39
1.3.1 Symmetrische, positiv
definite
Systeme..................... 39
1.3.2 Bandgleichungen ....................................... 45
1.3.3 Tridiagonale Gleichungssysteme .......................... 47
1.4 Austausch-Schritt und Inversion von Matrizen .................... 51
1.4.1 Lineare Funktionen, Austausch........................... 51
1.4.2 Matrizeninversion ...................................... 53
1.5 Verfahren für Vektorrechner und Parallelrechner................... 56
1.5.1 Vollbesetzte Systeme auf Vektorrechnern ................... 56
1.5.2 Tridiagonale Gleichungssysteme auf Vektorrechnern ......... 59
1.5.3 Tridiagonale Gleichungssysteme auf Parallelrechnern ........ 64
1.6 Aufgaben .................................................... 70
2 Lineare Optimierung
2.1 Einführungsbeispiele, graphische Lösung ......................... 73
2.2 Der Simplex-Algorithmus ...................................... 78
2.3 Ergänzungen zum Simplex-Algorithmus .......................... 85
2.3.1 Degeneration .......................................... 85
2.3.2 Mehrdeutige Lösung .................................... 90
2.3.3 Nichtbeschränkte Zielfunktion............................ 91
2.4 Allgemeine lineare Programme .................................. 92
2.4.1 Behandlung von freien Variablen.......................... 92
2.4.2 Methode der Koordinatenverschiebung .................... 93
2.4.3 Die Zweiphasenmethode................................. 96
2.5 Diskrete Tschebyscheff-Approximation........................... 100
2.6 Aufgaben .................................................... 105
3 Interpolation
3.1 Existenz und Eindeutigkeit der Polynominterpolation............... 108
3.2 Lagrange-Interpolation ........................................ 109
6 Inhalt
3.2.1 Rechentechnik ......................................... 109
3.2.2 Anwendungen.......................................... 113
3.3 Fehlerabschätzung ............................................ 118
3.4 Newton-Interpolation.......................................... 123
3.5 Interpolation nach Aitken-Neville ............................... 130
3.5.1 Die Algorithmen von Aitken und
Neville
................... 131
3.5.2 Extrapolation und Romberg-Schema ...................... 133
3.5.3
Inverse
Interpolation .................................... 136
3.6 Rationale Interpolation ........................................ 138
3.6.1 ~ Problemstellung und Problematik ......................... 138
3.6.2 Spezielle Interpolationsaufgabe, Thielescher Kettenbruch..... 140
3.7
Spline-Interpolation
........................................... 147
3.7.1 Charakterisierung der Spline-Funktion..................... 147
3.7.2 Berechnung der kubischen Spline-Interpolierenden .......... 150
3.7.3 Allgemeine kubische
Spline-Interpolation
.................. 154
3.7.4 Periodische kubische
Spline-Interpolation
.................. 156
3.7.5 Glatte zweidimensionale Kurvendarstellung ................ 159
3.8
Bézier-Technik
für Kurven und Flächen .......................... 161
3.8.1 Bernstein-Polynome..................................... 162
3.8.2
Bézier-Kurven
.......................................... 165
3.8.3
Bézier-Flächen
......................................... 175
3.9 Aufgaben .................................................... 180
4 Funktionsapproximation
4.1 Fourierreihen................................................. 184
4.2 Effiziente Berechnung der Fourierkoeffizienten .................... 195
4.2.1 Der Algorithmus von Runge ............................. 196
4.2.2 Die schnelle Fouriertransformation........................ 199
4.3 Orthogonale Polynome......................................... 209
4.3.1 Die Tschebyscheff-Polynome ............................. 209
4.3.2 Tschebyscheffsche Interpolation .......................... 217
4.3.3 Die Legendre-Polynome ................................. 222
4.4 Aufgaben .................................................... 227
5 Nichtlineare Gleichungen
5.1 Banachscher Fixpunktsatz...................................... 230
5.2 Konvergenzverhalten und Konvergenzordnung .................... 234
5.3 Gleichungen in einer Unbekannten .............................. 242
5.3.1 Intervallschachtelung, Regula
falsi,
Sekantenmethode ........ 242
5.3.2 Verfahren von Newton .................................. 248
5.3.3 Interpolationsmethoden ................................. 251
5.4 Gleichungen in mehreren Unbekannten........................... 254
5.4.1 Fixpunktiteration und Konvergenz ........................ 254
5.4.2 Verfahren von Newton .................................. 256
Inhalt 7
5.5 Nullstellen von Polynomen ..................................... 262
5.6 Aufgaben .................................................... 272
6 Eigenwertprobleme
6.1 Das charakteristische Polynom, Problematik ...................... 275
6.2 Jacobi-Verfahren.............................................. 278
6.2.1 Elementare Rotationsmatrizen............................ 279
6.2.2 Das klassische Jacobi-Verfahren .......................... 281
6.2.3 Zyklisches Jacobi-Verfahren.............................. 286
6.3 Transformationsmethoden...................................... 290
6.3.1 Transformation auf Hessenbergform....................... 290
6.3.2 Transformation auf tridiagonale Form ..................... 294
6.3.3 Schnelle Givens-Transformation .......................... 296
6.3.4 Methode von Hyman.................................... 301
6.4 QR-Algorithmus .............................................. 306
6.4.1 Grundlagen zur QR-Transformation....................... 306
6.4.2 Praktische Durchführung, reelle Eigenwerte ................ 311
6.4.3 QR-Doppelschritt, komplexe Eigenwerte ................... 316
6.4.4 QR-Algorithmus für tridiagonale Matrizen ................. 322
6.4.5 Zur Berechnung der Eigenvektoren ........................ 326
6.5 Paralleler Algorithmus für tridiagonale Matrizen................... 327
6.6 Aufgaben .................................................... 337
7 Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate
7.1 Lineare Ausgleichsprobleme, Normalgleichungen .................. 340
7.2 Methoden der Orthogonaltransformation ......................... 345
7.2.1 Givens-Transformation .................................. 345
7.2.2 Spezielle Rechentechniken ............................... 351
7.2.3 Householder-Transformation............................. 354
7.3 Singulärwertzerlegung ......................................... 360
7.4 Nichtlineare Ausgleichsprobleme................................ 365
7.4.1 Gauß-Newton-Methode ................................. 365
7.4.2 Minimierungsverfahren .................................. 369
7.5 Aufgaben .................................................... 373
8 Integralberechnung
8.1 Die Trapezmethode............................................ 375
8.1.1 Problemstellung und Begriffe ............................. 376
8.1.2 Definition der Trapezmethode und Verfeinerung ............ 376
8.1.3 Die Euler-Maclaurinsche Summenformel................... 379
8.1.4 Das Romberg-Verfahren ................................. 381
8.1.5
Adaptive
Quadraturverfahren ............................ 384
8.2 Transformationsmethoden...................................... 387
8.2.1 Periodische
Integranden
................................. 387
8 Inhalt
8.2.2 Integrale über
R
........................................ 389
8.2.3 Transformationsmethoden ............................... 391
8.3 Interpolatorische Quadraturformeln ............................. 395
8.3.1 Newton-Cotes Quadraturformeln ......................... 395
8.3.2 Gaußsche Quadraturformeln ............................. 403
8.4 Aufgaben .................................................... 409
9 Gewöhnliche Differentialgleichungen
9.1 Einschrittmethoden............................................ 412
9.1.1 Die Methode von Euler und der Taylorreihe ................ 412
9.1.2 Diskretisationsfehler, Fehlerordnung ...................... 416
9.1.3 Verbesserte Polygonzugmethode, Trapezmethode,
Verfahren von Heun .................................... 420
9.1.4 Runge-Kutta-Verfahren.................................. 425
9.1.5 Implizite Runge-Kutta-Verfahren ......................... 435
9.1.6 Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme ....... 437
9.2 Mehrschrittverfahren .......................................... 440
9.2.1 Die Methoden von Adams-Bashforth ...................... 441
9.2.2 Die Methoden von Adams-Moulton ....................... 444
9.2.3 Allgemeine Mehrschrittverfahren.......................... 447
9.3 Stabilität..................................................... 457
9.3.1 Inhärente Instabilität.................................... 457
9.3.2 Absolute Stabilität ...................................... 458
9.3.3 Steife Differentialgleichungen............................. 467
9.4 Randwertaufgaben ............................................ 472
9.4.1 Beispiele, Existenz von Lösungen ......................... 472
9.4.2 Analytische Methoden für lineare Randwertaufgaben ........ 476
9.4.3 Schießverfahren ........................................ 485
9.4.4 Differenzenmethode..................................... 493
9.5 Aufgaben .................................................... 502
10 Partielle Differentialgleichungen
10.1 Elliptische Randwertaufgaben, Differenzenmethode ................ 507
10.1.1 Problemstellung ........................................ 507
10.1.2 Diskretisation der Aufgabe............................... 509
10.1.3 Randnahe Gitterpunkte, allgemeine Randbedingungen ....... 514
10.1.4 Diskretisationsfehler .................................... 526
10.1.5 Ergänzungen........................................... 538
10.2 Parabolische Anfangsrandwertaufgaben .......................... 541
10.2.1 Eindimensionale Probleme, explizite Methode............... 541
10.2.2 Eindimensionale Probleme, implizite Methode .............. 547
10.2.3 Diffusionsgleichung mit variablen Koeffizienten............. 552
10.2.4 Zweidimensionale Probleme .............................. 554
Inhalt 9
10.3 Methode der finiten Elemente ................................... 559
10.3.1 Grundlagen ............................................ 559
10.3.2 Prinzip der Methode der finiten Elemente .................. 562
10.3.3 Elementweise Bearbeitung ............................... 564
10.3.4 Aufbau und Behandlung der linearen Gleichungen........... 569
10.3.5 Beispiele............................................... 570
10.4 Aufgaben .................................................... 573
11 Lineare Gleichungssysteme, iterative Verfahren
11.1 Gesamtschritt- und Einzelschrittverfahren ........................ 577
11.1.1 Konstruktion der Iterationsverfahren ...................... 577
11.1.2 Einige Konvergenzsätze.................................. 583
11.1.3 Optimaler Relaxationsfaktor der Überrelaxation ............ 596
11.2 Methode der konjugierten Gradienten............................ 603
11.2.1 Herleitung des Algorithmus .............................. 603
11.2.2 Eigenschaften der Methode der konjugierten Gradienten ..... 608
11.2.3 Konvergenzabschätzung ................................. 611
11.2.4 Vorkonditionierung ..................................... 614
11.3 Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen .............. 621
11.3.1 Grundlagen des Verfahrens............................... 621
11.3.2 Algorithmische Beschreibung und Eigenschaften ............ 624
11.4 Speicherung schwach besetzter Matrizen.......................... 630
11.5 Aufgaben .................................................... 633
Literatur .......................................................... 637
Sachverzeichnis .................................................... 649
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