Tensoranalysis:
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Berlin [u.a.]
<<de>> Gruyter
1997
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| Series: | De-Gruyter-Lehrbuch
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Z SCHADE
TENSORANALYSIS
W
DE
G
WALTER DE GRUYTE
R
BERLIN YY NEW YORK 1997
INHALT
1 ALGEBRAISCHE HILFSMITTEL 1
1.1 DIE EINSTEINSCHE SUMMATIONSKONVENTION 1
1.2 N-TUPEL 5
1.2.1 DEFINITIONEN 5
1.2.2 RECHENOPERATIONEN 6
1.2.3 LINEARE UNABHAENGIGKEIT 6
1.3 DETERMINANTEN 7
1.3.1 DEFINITIONEN 7
1.3.2 BERECHNUNG VON DETERMINANTEN , 9
1.3.3 RECHNEN MIT DETERMINANTEN 11
1.4 KRONECKER-SYMBOLE 12
1.4.1
SIJ
12
1.4.2
S P;;^
14
1.4.3
E,...J
17
1.4.4 DARSTELLUNG EINER DETERMINANTE MIT ;,..YY, 19
1.4.
5 ,
JF
E
YY YY YY , , 2
1
1.5 MATRIZEN 23
1.5.1 DEFINITIONEN 23
1.5.2 RECHENOPERATIONEN UND EINFACHE FOLGERUNGEN 24
1.5.3 GLEICHUNGEN ZWISCHEN MATRIZEN UND
GLEICHUNGEN ZWISCHEN MATRIXELEMENTEN 29
1.5.4 ELEMENTARE UMFORMUNGEN, NORMALFORM,
AEQUIVALENTE MATRIZEN, AEHNLICHE MATRIZEN 30
1.5.5 ORTHOGONALE MATRIZEN 32
1.6 ALGORITHMEN 33
1.6.1 BERECHNUNG EINER DETERMINANTE 34
1.6.2 LOESUNG EINDEUTIGER LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME MIT DER GLEICHEN
KOEFFIZIENTENMATRIX (YYDIVISION DURCH EINE REGULAERE MATRIX , GAUSS
SCHER ALGORITHMUS) 34
1.6.3 BESTIMMUNG DES RANGES EINER MATRIX ODER DETERMINANTE 35
X INHALT
2 TENSORANALYSI
S IN SYMBOLISCHE
R SCHREIBWEISE UN
D
IN KARTESISCHE
N KOORDINATE
N 37
2.1 KARTESISCH
E KOORDINATEN
, PUNKTE
, ORTSVEKTORE
N 3
7
2.1.1 ORT
S VEKTOREN UN
D PUNKTKOORDINATE
N 3
7
2.1.2 DIE TRANSFORMATIO
N KARTESISCHE
R KOORDINATENSYSTEM
E 3
8
2.1.3 EIGENSCHAFTE
N DE
R TRANSFORMATIONSKOEFFIZIENTE
N 39
2.1.4 DA
S TRANSFORMATIONSGESET
Z FUER BASISVEKTORE
N 41
2.1.5 DA
S TRANSFORMATIONSGESET
Z FUER PUNKTKOORDINATE
N 42
2.2 VEKTORE
N 43
2.2.1 VEKTOREN
, VEKTORKOMPONENTE
N UN
D VEKTORKOORDINATE
N 4
3
2.2.2 DA
S TRANSFORMATIONSGESET
Z FUER VEKTORKOORDINATE
N 43
2.3 TENSORE
N 48
2.3.1 TENSORE
N ZWEITE
R STUFE 48
2.3.2 TENSORE
N BELIEBIGER STUFE 52
2.3.3 SYMMETRIE
N I
N DE
R PHYSI
K 5
3
2.4 SYMBOLISCHE SCHREIBWEISE, KOORDINATEN
- UN
D MATRIZENSCHREIBWEIS
E ...
. 5
5
2.5 GLEICHHEIT
, ADDITIO
N UN
D SUBTRAKTIO
N VON TENSOREN
. MULTIPLIKATIO
N VON
TENSORE
N MI
T EINEM SKALAR. LINEAR
E UNABHAENGIGKEI
T 56
2.6 TRANSPONIERTE
, ISOMERE
, SYMMETRISCH
E UN
D ANTIMETRISCH
E TENSORE
N ...
. 5
8
2.7 DIE TENSORIELLE MULTIPLIKATIO
N VON TENSORE
N 60
2.7.1 DEFINITION 60
2.7.2 EIGENSCHAFTE
N . 61
2.7.3 TENSOREN
, TENSORKOMPONENTE
N UN
D TENSORKOORDINATE
N 6
5
2.7.4 TENSORGLEICHUNGEN
, TRANSFORMATIONSGLEICHUNGE
N UN
D
DARSTELLUNGSGLEICHUNGE
N 66
2.8
S-
TENSOR, E-TENSOR
, ISOTROP
E TENSORE
N 67
2.8.1 DE
R
5
TENSO
R 67
2.8.2 DE
R E-TENSOR 67
2.8.3 ISOTROP
E TENSORE
N 68
2.9 DIE SKALAR
E MULTIPLIKATIO
N VON TENSORE
N 69
2.9.1 DEFINITION 69
2.9.2 EIGENSCHAFTE
N 70
2.9.3 UEBERSCHIEBUNG
, VERJUENGUNG
, SPU
R . . 77
2.9.4 MEHRFACH
E SKALARE PRODUKT
E 77
2.10 DIE VEKTORIELLE MULTIPLIKATIO
N VON TENSORE
N 79
2.10.1 DEFINITION 79
2.10.2 EIGENSCHAFTE
N 83
2.10.3 DA
S SPATPRODUK
T 8
4
2.11 UEBERSICH
T UEBE
R DIE TENSORALGEBRAISCHE
N OPERATIONE
N 8
5
2.12 DIFFERENTIALOPERATIONE
N 86
2.12.1 DE
R FUNDAMENTALSAT
Z DE
R TENSORANALYSI
S 8
7
2.12.2 DE
R GRADIEN
T 87
INHALT X
I
2.12.3 DAS (VOLLSTAENDIGE) DIFFERENTIAL 91
2.12.4 DIE DIVERGENZ 92
2.12.5 DIE ROTATION 94
2.12.6 DER LAPLACE-OPERATOR 96
2.13 INDEXBILANZ UND STRICHBILANZ 97
2.14 INTEGRALE VON TENSORFELDERN 97
2.14.1 KURVENINTEGRALE VON TENSORKOORDINATEN 98
2.14.2 NORMALENVEKTOR UND FLAECHENVEKTOR EINES FLAECHENELEMENTS 100
2.14.3 FLAECHENINTEGRALE VON TENSORKOORDINATEN 102
2.14.4 VOLUMENINTEGRALE VON TENSORKOORDINATEN 106
2.14.5 INTEGRALE VON TENSORFELDERN HOEHERER STUFE 107
2.15 GAUSSSCHER UND STOKESSCHER SATZ 108
2.15.1 DER GAUSSSCHE SATZ 108
2.15.2 DER STOKESSCHE SATZ 113
3 ALGEBR
A VON TENSOREN ZWEITER STUFE 119
3.1 DIE ADDITIVE ZERLEGUNG EINES TENSORS 119
3.2 DIE DETERMINANTE EINES TENSORS 121
3.3 DER VEKTOR EINES ANTIMETRISCHEN TENSORS 122
3.4 DER KOTENSOR EINES TENSORS 123
3.5 DER RANG EINES TENSORS . 125
3.6 DER INVERSE TENSOR 125
3.7 ORTHOGONALE TENSOREN 127
3.8 DER TENSOR ALS LINEARE VEKTORFUNKTION 128
3.8.1 RANG 3 129
3.8.2 RANG 2 130
3.8.3 RANG 1 132
3.8.4 RANG 0 133
3.9 REZIPROKE BASEN 133
3.9.1 DEFINITION 133
3.9.2 ORTHOGONALITAETSRELATIONEN 134
3.9.3 ORTHOGONALE UND ORTHONORMIERTE BASEN 136
3.9.4 REZIPROKE BASEN IN DER EBENE 137
3.10 DARSTELLUNG EINES TENSORS DURCH VEKTOREN . 137
3.10.1 RANG 3 138
3.10.2 RANG 2 141
3.10.3 RANG 1 143
3.11 EIGENWERTE UND EIGENRICHTUNGEN. DIE CHARAKTERISTISCHE GLEICHUNG 144
3.11.1 EIGENWERTE UND EIGENRICHTUNGEN 144
3.11.2 CHARAKTERISTISCHE GLEICHUNG UND HAUPTINVARIANTEN 145
3.11.3 KLASSIFIKATION VON TENSOREN NACH DER ART IHRER EIGENWERTE 147
XI
I INHALT
3.11.4 SAETZE UEBER EIGENVEKTOREN 149
3.11.5 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN QUADRATISCHER
MATRIZEN
156
3.12 SYMMETRISCHE TENSOREN 159
3.12.1 DIE HAUPTACHSENTRANSFORMATION 159
3.12.2 EIGENWERTE UND RANG DES TENSORS 165
3.12.3 EIGENWERTE UND DEFINITHEIT DES TENSORS 165
3.12.4 SYMMETRISCHE QUADRATISCHE MATRIZEN 166
3.13 ORTHOGONALE POLARE TENSOREN 168
3.13.1 DIE DREHUNG IN DER EBENE 168
3.13.2 TRANSFORMATION AUF EINE EIGENRICHTUNG 169
3.13.3 DER ORTHOGONALE TENSOR ALS FUNKTION VON DREHACHSE BZW.
SPIEGELUNGSACHSE UND DREHWINKEL 174
3.13.3.1 DREHUNG 174
3.13.3.2 SPIEGELUNG 177
3.13.3.3 DREHSPIEGELUNG 178
3.13.4 DREHUNG UND KOORDINATENTRANSFORMATION 179
3.14 POTENZEN VON TENSOREN. DIE HAMILTON-CAYLEYSCHE GLEICHUNG 180
3.14.1 POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN 180
3.14.2 POTENZEN MIT REELLEN EXPONENTEN 182
3.14.3 DIE HAMILTON-CAYLEYSCHE GLEICHUNG 184
3.15 TENSORINVARIANTEN 186
3.16 DIE POLARE ZERLEGUNG EINES TENSORS 188
4 TENSORANALYSI
S IN KRUMMLINIGE
N KOORDINATE
N 193
4.1 KRUMMLINIGE KOORDINATEN 193
4.1.1 KRUMMLINIGE KOORDINATENSYSTEME 193
4.1.2 KOORDINATENFLAECHEN UND KOORDINATENLINIEN 195
4.1.3 HOLONOME BASEN 196
4.1.4 GERADLINIGE UND KARTESISCHE KOORDINATENSYSTEME 199
4.1.5 ORTHOGONALE KOORDINATENSYSTEME 201
4.2 HOLONOME TENSORKOORDINATEN 201
4.2.1 ALLGEMEINES 201
4.2.2 TRANSFORMATIONEN ZWISCHEN
ZWEI KRUMMLINIGEN KOORDINATENSYSTEMEN 204
4.2.3 DIE EINSTEINSCHE SUMMATIONSKONVENTION 207
4.2.4 DER 5-TENSOR . . . 208
4.2.4.1 DIE HOLONOMEN KOORDINATEN 208
4.2.4.2 EIGENSCHAFTEN DER METRIKKOEFFIZIENTEN 210
4.2.5 HERAUF- UND HERUNTERZIEHEN VON INDIZES 213
4.2.6 DER E-TENSOR 214
4.2.6.1 DIE HOLONOMEN KOORDINATEN 214
4.2.6.2 EIGENSCHAFTEN DER HOLONOMEN KOORDINATEN 216
4.2.7 ISOTROPE TENSOREN . 217
INHALT XII
I
4.2.8 TENSORALGEBRA IN HOLONOMEN KOORDINATEN 218
4.2.8.1 GLEICHHEIT, ADDITION UND SUBTRAKTION 218
4.2.8.2 TRANSPOSITION, SYMMETRISCHE UND ANTIMETRISCHE TENSOREN 220
4.2.8.3 DIE TENSORIELLE MULTIPLIKATION 221
4.2.8.4 DIE UEBERSCHIEBUNG UND IHRE SPEZIALFAELLE 222
4.2.8.5 ZUSAMMENFASSUNG 223
4.3 PHYSIKALISCHE BASEN UND TENSORKOORDINATEN 224
4.4 DIFFERENTIALOPERATIONEN 227
4.4.1 PARTIELLE ABLEITUNG UND VOLLSTAENDIGES DIFFERENTIAL DES ORTSVEKTORS
. 227
4.4.2 PARTIELLE ABLEITUNG UND VOLLSTAENDIGES DIFFERENTIAL
DER HOLONOMEN BASEN, CHRISTOFFEL-SYMBOLE 228
4.4.3 CHRISTOFFEL-SYMBOLE UND METRIKKOEMZIENTEN 229
4.4.4 DIE PARTIELLE ABLEITUNG VON TENSOREN. DIE PARTIELLE UND DIE KOVARI
ANTE ABLEITUNG VON TENSORKOORDINATEN 231
4.4.5 DAS VOLLSTAENDIGE DIFFERENTIAL VON TENSOREN. DAS VOLLSTAENDIGE UND
DAS ABSOLUTE DIFFERENTIAL VON TENSORKOORDINATEN 232
4.4.6 ABLEITUNGEN NACH EINEM PARAMETE
R 234
4.4.7 DER GRADIENT 235
4.4.8 DIVERGENZ UND ROTATION 237
4.4.9 PHYSIKALISCHE KOORDINATEN VON DIFFERENTIALOPERATIONEN 238
4.4.10 DIE ZWEITE KOVARIANTE ABLEITUNG EINER TENSORKOORDINATE.
DER LAPLACE-OPERATOR 241
4.4.11 INTEGRALE VON TENSORFELDERN 243
4.4.11.1 KURVEN-, FLAECHEN- UND VOLUMENELEMENTE 243
4.4.11.2 INTEGRALE IN KRUMMLINIGEN KOORDINATEN 245
5 DARSTELLUNGSTHEORI
E 249
5.1 DER GRUNDGEDANKE DER DARSTELLUNGSTHEORIE 249
5.2 AUSNUTZUNG VON SYMMETRIEN 253
5.3 BERUECKSICHTIGUNG VON ANISOTROPIEN . . 255
5.3.1 ISOTROPIE UND ALLGEMEINE ANISOTROPIE 255
5.3.2 TRANSVERSALISOTROPIE 256
5.3.3 ZUSAMMENFASSUNG 258
6 DE
R VEKTORRAU
M 261
6.1 EINFACHE ALGEBRAISCHE SYSTEME 261
6.1.1 DIE HALBGRUPPE 261
6.1.2 DIE GRUPPE 263
6.1.3 DER RING 266
6.1.4 DER KOERPER 268
XI
V INHALT
6.2 DER (AFFINE) VEKTORRAUM 271
6.2.1 VEKTORRAUM, NULLVEKTOR, SUBTRAKTION 271
6.2.2 LINEARE OPERATIONEN, LINEARE KOMBINATION, LINEARE UNABHAENGIGKEIT
274
6.2.3 BASIS UND DIMENSION 275
6.2.4 KOORDINATEN 278
6.2.5 TRANSFORMATIONSGLEICHUNGEN 279
6.3 ABBILDUNGEN 281
6.3.1 ALLGEMEINE ABBILDUNGEN 281
6.3.2 LINEARE ABBILDUNGEN 282
6.3.3 TABELLARISCHE ZUSAMMENFASSUNG 289
6.4 DUALITAET 290
6.4.1 DER DUALRAUM 290
6.4.2 DIE NATUERLICHE SKALARE MULTIPLIKATION 291
6.4.3 DUALE BASEN 294
6.4.4 TRANSFORMATIONSGLEICHUNGEN 294
6.5 DER (AFFINE) TENSORRAUM 296
6.5.1 DIE TENSORIELLE MULTIPLIKATION 296
6.5.2 AFFINE TENSORRAEUME UND TENSOREN . , 298
6.5.3 TRANSFORMATIONSGLEICHUNGEN 299
6.6 DER EUKLIDISCHE VEKTORRAUM 300
6.6.1 DIE SKALARE MULTIPLIKATION 300
6.6.2 DIE METRIK 302
6.6.3 DUALITAET 306
6.7 DER PUNKTRAUM 309
6.7.1 DER AFFINE (PUNKT-)RAUM 309
6.7.2 DER EUKLIDISCHE (PUNKT-)RAUM 311
LITERATU
R 313
ANHAN
G A
LOESUNGE
N DE
R AUFGABE
N 315
ANHAN
G B
ZYLINDER
- UN
D KUGELKOORDINATE
N 375
B.
L ZYLINDERKOORDINATEN . 375
B.L.
L TRANSFORMATIONSGLEICHUNGEN FUER PUNKTKOORDINATEN 375
B.1.2 BASEN 376
B.1.3 TRANSFORMATIONSGLEICHUNGEN FUER TENSORKOORDINATEN 376
B.1.4 EINHEITSTENSOR UND E-TENSOR 378
B.1.5 DIE CHRISTOFFEL-SYMBOLE 379
B.L.
6 DIFFERENTIALOPERATOREN 379
B.L.
7 KURVEN-, FLAECHEN- UND VOLUMENELEMENTE 381
INHALT X
V
B.2 KUGELKOORDINATEN 382
B.2.1 TRANSFORMATIONSGLEICHUNGEN FUER PUNKTKOORDINATEN 382
B.2.2 BASEN 383
B.2.3 TRANSFORMATIONSGLEICHUNGEN FUER TENSORKOORDINATEN 383
B.2.4 EINHEITSTENSOR UND E-TENSOR 386
B.2.5 DIE CHRISTOFFEL-SYMBOLE 387
B.2.6 DIFFERENTIALOPERATOREN 387
B.2.7 KURVEN-, FLAECHEN- UND VOLUMENELEMENTE 390
SACHWORTREGISTE
R 391
|
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