Einführung in die Zahlentheorie:
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Format: | Buch |
Sprache: | German |
Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
1996
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Schriftenreihe: | Springer-Lehrbuch
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Inhalt
Kapitel 1. Teilbarkeit
§ 1. Fimdamentalsatz der Arithmetik. 2
1. Natürliche und ganze Zahlen 2. Teiler 3. Primzahlen 4. Satz von
EUKLID 5. Der Fundamentalsatz der Arithmetik 6. Kanonische Primfak¬
torzerlegung 7. Teileranzahl- und Teilersummenfunktion 8. Vollkommene
Zahlen 9. Irrationalität 10. Anmerkung zum Eindeutigkeitsbeweis
§ 2. Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches 15
1. Größter gemeinsamer Teiler (ggT) 2. Divisionsalgorithmus 3. Zwei Cha¬
rakterisierungen des ggT 4. Idealtheoretische Deutung des ggT 5. Re¬
chenregeln 6. Teilerfremdheit 7. Charakterisierung der Primzahlen 8.
Nochmals: Eindeutigkeit im Fundamentalsatz 9. Euklidischer Algorith¬
mus und ggT 10. Regelmäßiger Kettenbruch rationaler Zahlen 11. Klein¬
stes gemeinsames Vielfaches (kgV) 12. Zusammenhang zwischen ggT und
kgV
§ 3. Lineare diophantische Gleichungen. 27
1. Warum, "diophantisch"? 2. Lösbarkeitsbedingung 3. Der Fall zweier
Unbestimmten 4. Spezielle Lösung, numerisches Beispiel 5. Reduktion
des allgemeinen Falls 6. Struktur der Lösungsgesamtheit
§ 4. Zahlentheoretische Funktionen. 35
1. Einige Definitionen 2. Multiplikative und additive Funktionen 3. Pro-
duktdarstellung unendlicher Reihen 4. RlEMANNsche Zetafunktion 5. Zwei¬
mal Euklids Satz 6. Faltung 7.
der multiplikativen Funktionen 9. MÖBIUSsche Müfunktion 10. Weitere
spezielle multiplikative Funktionen 11. EüLERs Phifunktion und Verall¬
gemeinerungen 12. Eine Aussage "im Mittel" 13. Wahrscheinlichkeit für
Teilerfremdheit 14. Historische Anmerkungen
X
§ 5. Teilbarkeit in Integritätsringen. 53
1. Teiler, Einheiten, Assoziiertheit 2. Die Begriffe ggT und kgV 3. Unzer¬
legbare Elemente, Primelemente 4. Faktorielle Ringe 5. Hauptideal¬
ringe 6. Euklidische Ringe 7. Polynome 8. Polynomringe über Körpern
9. Polynomringe über
§ 6. Algebraische Zahlkörper, insbesondere quadratische . 65
1. Algebraische Zahlen, Minimalpolynom 2. Konjugierte 3. Algebraische
Zahlkörper 4. Normen 5. Ganzheit 6. Quadratische Zahlkörper 7. De¬
ren Ganzheitsring 8. Einheiten quadratischer Zahlringe 9. Euklidische
quadratische Zahlringe 10. Primzahlen als Summe zweier Quadrate 11.
DedekiNDs Beispiel
Kapitel 2. Kongruenzen. 78
§ 1. Lineare Kongruenzen. 79
1. Definition der Kongruenz, elementare Eigenschaften 2.
3. Kürzungsregel 4. Vollständige Restsysteme 5. Lineare Kongruenzen 6.
Bruchschreibweise 7. Restklassenring 8.
storische Bemerkungen
§ 2. Simultane lineare Kongruenzen. 88
1. Reduktion des Problems 2. Paarweise teilerfremde Moduln 3. Anwen¬
dungen, numerische Beispiele 4. Restklassenring als direkte Summe 5.
Prime
gen
§ 3. Die Sätze von
1. DlRlCHLETs Schubfachprinzip 2. Kongruenzverhalten von Potenzen
3. Der "kleine" FERMATsche Satz 4. Der EULERsche Satz 5. Numerische
Anwendungen 6. Zusammengesetzt oder Primzahl? 7. Fermat-Euler
und geheime Nachrichtenübermittlung 8. Satz von WILSON 9. Anwen¬
dung auf eine quadratische Kongruenz
§ 4. Polynomiale Kongruenzen . 104
1. Problemstellung 2. Reduktion auf Primzahlpotenzmoduln 3. Über¬
legungen zur weiteren Reduktion 4. Reduktion auf Primzahlmoduln 5.
Polynomkongruenzen bei Primzahlmoduln 6. Ein Beispiel
Inhaltsverzeichnis
§ 5. Primitivwurzeln . 109
1. Definition 2. Primitivwurzeln
mitivwurzeln 4. Zu welchen Moduln sind Primitivwurzeln möglich? 5.
Bestimmung aller Moduln mit Primitivwurzeln 6. Zweierpotenzen als Mo¬
duln 7. Basisdarstellung
Kapitel 3. Potenzreste, insbesondere quadratische Reste. 121
§ 1. Indexrechnung und Potenzreste. 121
1. Indizes 2. Ein Beispiel 3. n—te Potenzreste, quadratische Reste und
Nichtreste 4. Kriterium für
Kriterium 6. n—te Potenzreste, Modulzerlegung in Primzahlpotenzen
§ 2. Quadratische Reste. 127
1. Quadratische Kongruenzen und quadratische Reste 2. Kriterium für
quadratische Reste 3. Das LEGENDRE-Symbol 4. EüLERs Kriterium 5.
GAUSSsches Lemma 6. Quadratisches Reziprozitätsgesetz, Ergänzungs¬
sätze 7. Beweis des Reziprozitätsgesetzes 8. Ein numerisches Beispiel
9. Quadratische Nichtreste
metischen Progressionen 11. Primfaktoren von FERMAT-Zahlen 12. Mer-
SENNE-Primzahlen 13. Historisches zum Reziprozitätsgesetz
§ 3. Verteilung quadratischer Reste. 147
1. Summen über gewisse LEGENDRE-Symbole 2. Paare sukzessiver qua¬
dratischer Reste 3. Tripel sukzessiver quadratischer Reste 4. Eigenschaf¬
ten jACOBSTHALscher Summen
Kapitel 4. Additive Probleme und diophantische Gleichungen . . 153
§ 1. Potenzsummen, insbesondere Quadratsummen. 154
1. Primzahlen als Summe zweier Quadrate 2. Thues Lemma 3. Na¬
türliche Zahlen als Summe zweier Quadrate 4. Natürliche Zahlen als
Summe von vier Quadraten: LAGRANGES Satz 5. Nochmals Primzah¬
len als Summe zweier Quadrate 6. Summen dreier Quadrate 7. WarinGs
Problem und HlLBERTs Satz 8. Anmerkungen über Darstellungsanzahlen
§ 2. Polynomiale diophantische Gleichungen. 167
1. Pythagoreische Tripel 2. EüKLIDs Satz über pythagoräische Tripel
3. Rationale Punkte auf Kurven zweiten Grades 4. Rationale Punkte
gewisser Kurven dritten Grades 5. Resultate von PoiNCARE, MORDELL
XII Inhaltsverzeichnis
und
7. Fermats Vermutung 8. Weitere Entwicklung des FERMAT-Problems
(bis 1993) 9. Lösung des FERMAT-Problems
§ 3. Die Pellsche Gleichung und Verwandtes. 185
1. Problemstellung 2. Der DlRICHLETsche Approximationssatz 3. Un¬
endlich -viele Lösungen der
Gleichung 5. Pythagoräische Dreiecke mit Kathetendifferenz Eins 6. Ein¬
heiten reell-quadratischer Zahlkörper 7. Ganze Punkte auf Kurven zwei¬
ten Grades 8. Anmerkungen dazu
Kapitel 5. Verschiedene Entwicklungen reeller Zahlen. 200
§ 1. Die «/-adische Entwicklung. 200
1. Entwicklung natürlicher Zahlen 2. Teilbarkeitsregeln 3. Der gebro¬
chene Teil reeller Zahlen 4. Entwicklung reeller Zahlen 5. Entwicklung
rationaler Zahlen 6. Periodizitätseigenschaften der Ziffernfolge 7. De¬
zimalbruchentwicklungen 8. Rationale Zahlen mit gleichen Nennern 9.
Eine Anwendung des Irrationalitätskriteriums 10. Existenz transzenden¬
ter Zahlen 11. Dezimalbruchentwicklung und Dichtung 12. Historische
Anmerkungen
§ 2. Die Cantorsche Entwicklung.Weitere Irrationalitätskriterien . 216
1. Beschreibung der Entwicklung 2. CANTORsche Reihen und Irrationa¬
lität 3. Verwandte Irrationalitätskriterien 4. Anwendungen
§ 3. Die regelmäßige Kettenbruchentwicklung. 222
1. Der Kettenbruchalgorithmus 2. Konvergenz unendlicher Kettenbrüche
3. Eindeutigkeit. Irrationalität 4. Periodische Kettenbrüche 5. Der Satz
von LAGRANGE 6. Zur Minimallösung der PELLschen Gleichung 7.
Annäherung reeller Zahlen durch rationale 8. Beste Näherungen 9. An¬
merkungen dazu 10. Approximation algebraischer Zahlen zweiten Grades
durch rationale 11. Eine arithmetische Eigenschaft von e2/* 12. Ketten¬
bruchentwicklung von
Kapitel 6. Transzendenz. 242
§ 1. Entdeckung der Transzendenz. 242
1. Historisches 2. Der LlOUVILLEsche Approximationssatz 3. Konstruk¬
tion transzendenter Kettenbrüche 4. Transzendente g-adische Reihen
Inhaltsverzeichnis XIII
§ 2. Schärfere Approximationssätze. 248
1. Der THUE-SlEGEL-RoTHsche Satz 2. Anwendungen auf Transzendenz
3. THUE-Gleichung und Roths Verallgemeinerung 4. Reduktion auf den
THUE-SlEGEL-RoTHschen Satz 5. Effektivitätsfragen 6. SCHMIDTS Sätze
über simultane Approximation
§ 3. Die Sätze von Hermite, Lindemann und Weierstraß. 257
1. Historisches 2. Hauptergebnisse von HeRMITE und LiNDEMANN 3. Der
Satz von LiNDEMANN-WEIERSTRASS 4. Zur Äquivalenz der vier Versio-
§ 4. Die Methode von Hermite—Mahler. 263
1. Vorbemerkungen 2. Ungleichungen für algebraische Zahlen 3. Kon¬
struktion geeigneter Exponentialpolynome 4. Eigenschaften dieser Ex-
ponentialpolynome 5. Eine Determinantenbetrachtung 6. Gewinnung ei¬
ner nichtverschwindenden algebraischen Zahl 7. Untere Abschätzung 8.
Obere Abschätzung 9. Parameterwahl 10. Historische Anmerkung
§ 5. Der Satz von Gel'fond-Schneider. 271
1. HlLBERTs siebtes Problem 2. Ein Schubfachschluß 3. SlEGELsches
Lemma 4. Hilfsfunktion für Gel'fond-Schneider 5. Gewinnung ei¬
ner zur Abschätzung geeigneten Zahl 6. Untere Abschätzung 7. Obere
Abschätzung 8. Parameterwahl 9. Ausblicke
Kapitel 7. Primzahlen. 282
§ 1. Elementare Ergebnisse. 282
1. Darstellung von Primzahlen durch Polynome 2.
gen von Primzahlen 3. Große Lücken 4. Sieb des
zahltafeln 5. Anzahlfunktion 6. Primzahlzwillinge 7. Die GOLDBACH-
Probleme
§ 2. Anzahlfunktion: Tchebychefs Sätze. 293
1. Vermutungen von Legendre und
3. Obere Abschätzung 4. Partielle
Ergebnisse von Mertens 6. Letzte Vorstufe des Primzahlsatzes
XIV Inhaltsverzeichnis
§ 3. Der Primzahlsatz. 301
1. RlEMANNs Anstoß 2. Konvergenz einer Folge und Primzahlsatz 3. Die
Reste der Zetareihe 4. Portsetzung und Nullstellenfreiheit der RlEMANN-
schen Zetafunktion 5. Über gewisse DlBiCHLET-Reihen 6. Die Existenz
des Grenzwerts 7. Anwendung des CAUCHY-Kriteriums 8. Konver¬
genzsatz 9. Mittelwert der MÖBIUS-Funktion 10. Funktionalglei¬
chung der Zetafunktion 11. Pole und Nullstellen der Zetafunktion 12.
RlEMANNsche Vermutung 13. Schlußbemerkungen
Literaturverzeichnis . 324
Namen— und Sachverzeichnis.'. 328 |
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