Schwingungslehre: lineare Schwingungen, Theorie und Anwendungen
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Springer
1996
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Einleitung 1
Komplexe Zahlen in der Schwingungslehre 4
Stabilität und Instabilität 6
1 Systeme mit einem Freiheitsgrad 8
1.1 Ungedämpfte Eigenschwingungen................ 8
1.1.1 Formulierung der Bewegungsgleichung......... 9
1.1.2 Lösung der Bewegungsgleichung ............ 12
1.1.3 Phasenkurven....................... 14
1.2 Gedämpfte Eigenschwingungen................. 15
1.2.1 Coulombsche Dämpfung................. 15
1.2.2 Geschwindigkeitsproportionale Dämpfung....... 16
1.2.3 Geschwindigkeitsquadrat-proportionale Dämpfung . . 23
1.3 Erzwungene Schwingungen................... 26
1.3.1 Harmonische Erregung.................. 30
1.3.2 Arbeit und Leistung von Erregerkräften........ 37
1.3.3 Periodische Erregung................... 39
1.3.4 Spezielle Er reger
f
unkt
ionen
............... 42
1.3.5 Variation der Konstanten. Faltungsintegrale...... 45
1.3.6 Anlaufeines unwucht erregt
en
Schwingers....... 48
1.3.7 Erregung durch einen einzelnen Impuls......... 57
1.3.8 Erregung durch periodische Impulse.......... 62
1.4 Aufgaben zu Kapitel 1...................... 66
1.4.1 Lösungen zu den Aufgaben............... 67
2 Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden 69
2.1 Formulierung von Bewegungsgleichungen............ 70
2.1.1 Massenmatrix. Steifigkeitsmatrix............ 71
2.1.2 Dämpfungsmatrix. Dissipationsfunktion........ 74
2.1.3 Linearisierung von Bewegungsgleichungen....... 76
2.1.4 Gyroskopische Kräfte .................. 79
2.1.5 Schwingerketten ..................... 80
2.1.6 Allgemeine lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten 90
VIII Inhaltsverzeichnis
2.2 Eigenschwingungen ungedämpfter mechanischer Systeme ... 93
2.2.1 Modalmatrix....................... 93
2.2.2 Hauptkoordinaten.................... 97
2.3 Approximation der niedrigsten Eigenkreisfrequenz ...... 101
2.3.1 Der Rayleighquotient .................. 101
2.3.2 Das Verfahren von Ritz................. 103
2.3.3 Anwendungen auf Biegestäbe.............. 104
2.3.4 Homogene Biegestäbe.................. 106
2.4 Eigenschwingungen allgemeiner linearer Systeme....... 107
2.4.1 Lösung durch die Fundamentalmatrix......... 108
2.4.2 Lösung durch Eigenwerte und Eigenvektoren..... 108
2.4.3 Der Sonderfall mechanischer Systeme ......... 111
2.4.4 Durchdringende Dämpfung............... 115
2.5 Erzwungene Schwingungen ohne Dämpfung.......... 116
2.5.1 Periodische Erregung................... 118
2.5.2 Resonanz. Scheinresonanz................ 119
2.5.3 Schwinger ketten ..................... 120
2.6 Erzwungene Schwingungen mit Dämpfung........... 127
2.6.1 Periodische Erregung................... 128
2.6.2 Schwingungstilgung ................... 129
2.7 Entkopplung der inhomogenen Gleichungen.......... 133
2.7.1 Entkopplung bei N unabhängigen Eigenvektoren . . . 133
2.7.2 Der Fall von < N unabhängigen Eigenvektoren .... 137
2.8 Aufgaben zu Kapitel 2...................... 138
2.8.1 Lösungen zu den Aufgaben............... 144
Parametererregte Schwingungen 147
3.1 Das Pendel mit veränderlicher Länge.............. 147
3.2 Periodische Parametererregung................. 152
3.2.1 Der Satz von Floquet .................. 153
3.2.2 Stabilitätskriterien.................... 160
3.2.3 Numerische Lösungen.................. 161
3.2.4 Stabilitätsgrenzen .................... 162
3.2.5 Die Stabilitätskarte der Mathieugleichung....... 166
3.2.6 Das stehende Mehrkör per
pendel
............ 173
3.2.7 Erzwungene Schwingungen und Parametererregung . . 175
3.3 Parametererregte n-Freiheitsgrad-Systeme........... 179
3.3.1 Der Satz von Floquet .................. 181
3.3.2 Stabilitätskriterien.................... 181
3.3.3 Numerische Lösungen.................. 181
3.3.4 Erzwungene Schwingungen und Parametererregung . . 182
Inhaltsverzeichnis
IX
4 Eindimensionale
Kontinua
183
4.1 Die Wellengleichung....................... 183
4.1.1 Die schwingende Saite.................. 184
4.1.2 Longitudinalschwingungen eines Stabes ........ 184
4.1.3 Torsionsschwingungen eines Stabes........... 185
4.1.4 Randbedingungen und Anfangsbedingungen...... 186
4.2 Lösungen der Wellengleichung nach d Alembert........ 187
4.2.1 Charakteristiken..................... 188
4.2.2 Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten.......... 191
4.2.3 Harmonische Wellen................... 192
4.2.4 Wellen infolge Anfangsbedingungen .......... 193
4.2.5 Erzwungene Wellen ................... 195
4.2.6 Reflexion und Transmission von Wellen........ 198
4.3 Bernoulli-Lösungen der Wellengleichung............ 203
4.3.1 Ungedämpfte Eigenschwingungen............ 203
4.3.2 Erzwungene periodische Schwingungen......... 209
4.4 Biegeschwingungen von Stäben................. 211
4.4.1 Die Bewegungsgleichung................. 211
4.4.2 Randbedingungen und Anfangsbedingungen...... 213
4.4.3 Biegewellen. Dispersion................. 214
4.4.4 Ungedämpfte Eigenschwingungen............ 215
4.4.5 Der Rayleighquotient für Biegestäbe.......... 221
4.4.6 Das Verfahren von Ritz................. 222
4.4.7 Erzwungene periodische Biegeschwingungen...... 223
Literatur 227
Sachverzeichnis 229
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