Verteilungsfreie Eingrenzung des Gini-Koeffizienten aus klassierten Daten ohne Durchschnittsangaben: vergleichende Darstellung mit einigen Ansätzen für verschiedene Informationsniveaus, Eigenschaften und Beispiele ; eine theoretische und empirische Untersuchung
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Inhaltsverzeichnis
Seite
Vorwort 1
Inhaltsverzeichnis 2
Anlageverzeichnis 6
Abbildungsverzeichnis 7
1. Zum Gegenstand der Arbeit 10
1.1 Literaturüberblick 10
1.2 Zum Aufbau der Arbeit 14
1.2.1 Zum Inhalt 14
1.2.2 Zur Notation 15
2. Lorenzkurve und Gini Koeffizienten 18
aus vollständigen Daten
2.1 Die Lorenzkurve 18
2.2 Definition des Konzentrationsmaßes nach Gini 20
2.3 Berechnung des Gini Maßes aus der Lorenzkurve 22
2.4 Berechnung des Gini Maßes aus der Gumbel Formel 25
2.5 Zusammenhang zwischen der Gumbel und der
Lorenzdarstellung 26
3. Lorenzkurve und Gini Koeffizienten 29
aus unvollständigen Daten
3.1 Bei bekannten Klassendurchschnitten 30
3.1.1 Die Gastwirth Schranken der Lorenzkurve 30
3.1.2 Interpolationsverfahren aus den Gastwirth Schranken 32
3.1.2.1 Die Zweipunkt Verteilungen von Bomsdorf 33
3.1.2.2 Die Lorenzkurve eines stetigen Verteilungsmodells 37
Seite
3.1.2.3 Die Rechteck Rechteck Verteilung von Schader
und Schmid 39
3.1.3 Die Gastwirth Grenzen des Gini Koeffizienten 40
3.1.4 Schätzwerte aus den Gastwirth Grenzen 41
3.1.4.1 Die Verfahren von Bomsdorf und eine erste
Verallgemeinerung 41
3.1.4.2 Die Verallgemeinerung von Piesch 45
3.1.4.3 Das Verfahren von Schader/Schmid und der Versuch
einer Verallgemeinerung 48
3.1.5 Die Gastwirth Grenzen in der Gumbel Darstellung 50
3.2 Unbekannten Klassendurchschnitten aber bekanntem
Gesamtdurchschnitt 52
3.2.1 Der Ansatz von Bomsdorf 52
3.2.2 Die Verallgemeinerung von Gasnier/Jöhnk 54
3.2.3 Die zugehörigen Lorenzkurven 56
3.3 Bei unbekanntem Gesamtdurchschnitt 57
3.3.1 Der Ansatz von Bomsdorf 5 7
3.3.2 Die Verallgemeinerung von Gasnier/Jöhnk 58
3.3.2.1 Die Untergrenze des Gini Koeffizienten 58
3.3.2.2 Die Obergrenze des Gini Koeffizienten 61
3.3.3 Die umhüllenden Lorenzkurven 64
3.4 Zusammenfassung 66
4. Der Verlauf 67
4.1 Allgemeingültige Betrachtungen 67
4.1.1 Die Untergrenze 67
4.1.2 Die Obergrenze 70
4.1.3 Die glatte Untergrenze 73
4.1.3.1 Konstruktion 73
4.1.3.2 Vertikaler Abstand zur genauen Untergrenze 76
3
Seite
4.1.3.3 Verlauf 77
4.1.4 Die Kurvenkonstanten 79
4.1.4.1 Die Berechnungskonstanten der Untergrenzenkurve 79
4.1.4.2 Die Berechnungskonstanten der Obergrenzenkurve 80
4.1.4.3 Gemeinsame Betrachtung 81
4.1.5 Betrachtung der Extrema 83
4.1.5.1 Das Minimum der Untergrenze 83
4.1.5.2 Das Maximum der Obergrenze 86
4.1.6 Der vertikale Abstand zwischen Ober und Untergrenze 88
4.2 Unter speziellen Verteilungsannahmen 91
4.2.1 Unter äquidistanten Klassengrenzen 92
4.2.1.1 Beschreibung der Kurven 92
4.2.1.2 Symmetrische zugrundeliegende Verteilung 97
4.2.1.2.1 Gleichverteilung 101
4.2.1.2.2 Dreieckverteilung 104
4.2.1.2.3 V Verteilung 108
4.2.1.2.4 Vergleich der Kurven 111
4.2.1.3 Nicht symmetrische zugrundeliegende Verteilungen 114
4.2.1.3.1 Rechtssteile Dreieckverteilung 114
4.2.1.3.2 Linkssteile Dreieckverteilung 120
4.2.1.3.3 Vergleich der Kurven mit denen der Rechteckverteilung 125
4.2.2 Unter zugrundeliegender Rechteckverteilung 129
4.2.2.1 Die Durchschnittsextremwerte 129
4.2.2.2 Kurvenbeschreibung 131
4.2.2.3 Vergleich mit äquidistanten Klassengrenzen 133
Seile
5. Rechnerische Anwendung der Jthnk Grenzen 136
5.1 Das benötigte Rechenprogramm 136
5.1.1 Die Rahmenbedingungen 136
5.1.2 Die Daten 138
5.1.3 Die Kurven 139
5.2 Rechnerischer Nachweis von Eigenschaften 142
5.2.1 Die optimale Klasseneinteilung 142
5.2.2 Untersuchte Verteilungen und allgemeine Kurvenform 145
5.2.3 Der Einfluß von 3^ 148
5.2.4 Der Einfluß von k 150
5.2.5 Der Einfluß der zugrundeliegenden Verteilung 153
5.2.5.1 Die bisher untersuchten Verteilungen 153
5.2.5.2 Die neuen Verteilungen 157
5.2.5.3 Ergebnisse 159
5.2.5.4 Der Zusammenhang zwischen mittlerer quadratischer
Abweichung und mittlerer absoluter Differenz 162
5.2.5.5 Allgemeingültige Werte des Gini Koeffizienten 165
5.3 Ein konkretes Zahlenbeispiel 168
5.3.1 Die Ungenauigkeit der Einkommensstatistik 169
5.3.2 Die Disparität der Einkommensverteilung in der
Bundesrepublik Deutschland 172
6. F«zit 179
Anlagen 181
Literaturverzeichnis 214
5
An läge verzeich nis
Seite
1. Im theoretischen Teil verwendeten Symbole 181
2. Im Programm und in den Ergebnissen verwendete Symbole 185
3. Das notwendige Rechenprogramm 189
4. Als Zwischenergebnisse vom Rechenprogramm
ausgegebene Variablen 195
5. Ergebnisse der Untersuchung zur optimalen Klasseneinteilung 199
6. Ergebnisse der Untersuchung zum Einfluß der Untergrenze
der ersten Klasse 201
7. Ergebnisse der Untersuchung zu den Einflüssen
der Klassenanzahl und der Verteilung 203
8. Die neuen Verteilungen 210
9. Korrelationen zwischen den Parametern 211
10. Darstellung der Jöhnk Grenzen für die Einkommens¬
und Verbrauchsstichproben 213
Abbildungsverzeichnis
Seite
1. Lorenzkurve bei extremen Verteilungsformen 21
2. Darstellung einer Lorenzkurve aus vollständigen
klassierten Daten 23
3a Senkrechte Drei und Rechteck Darstellung 24
3b Waagerechte Drei und Rechteck Darstellung 24
4. Flächenzerlegung für die Gumbeldarstellung 27
5. Gastwirth Schranken der Lorenzkurve 31
6. Gastwirth Dreieck mit Interpolationsgeraden
nach Bomsdorf (Verfahren I) 36
7. Extreme Interpolationskurven, die das Gastwirth
Dreieck halbieren 42
8. Graphische Ableitung der Stützpunkte der interpolierten
Lorenzkurven nach Bomsdorf (Verfahren I und II) 44
9. Darstellung der 1/3 2/3 Regel anhand der Gastwirth Dreiecke 49
10. Der unteren Gastwirth Grenze des Gini Koeffizienten
zugehörige Verteilung 50
11. Der oberen Gastwirth Grenze des Gini Koeffizienten
zugehörige Verteilung 51
12. Geringste Ungleichheit bei gegebenem Gesamtdurchschnitt 53
13. Größte Ungleichheit bei gegebenem Gesamtdurchschnitt 53
14. Skizze einer Untergrenzenfunktion vom Gesamtdurchschnitt 70
15. Skizze einer Untergrenzen und einer Obergrenzenfunktion
vom Gesamtdurchschnitt 73
16. Skizze beider glatten Funktionen vom Gesamtdurchschnitt 76
17. Skizze beider glatten Funktionen vom Gesamtdurchschnitt
unter äquidistanten Klassengrenzen 96
18. Darstellung der Grenzen des Gini Koeffizienten unter
Rechteckverteilung und äquidistanten Klassengrenzen
bei wachsendem k 103
7
Seite
19. Darstellung der Grenzen des Gini Koeffizienten unter
Dreieckverteilung und äquidistanten Klassengrenzen
bei wachsendem k 107
20. Darstellung der Grenzen des Gini Koeffizienten unter
V Verteilung und äquidistanten Klassengrenzen
bei wachsendem k 111
21. Schematicher Vergleich der Funktionen V , rechteck und
dreieckverteilter Werte bei äquidistanten Klassengrenzen 114
22. Darstellung der Grenzen des Gini Koeffizienten unter
rechtssteiler Dreieckverteilung und äquidistanten
Klassengrenzen bei wachsendem k 118
23. Darstellung der Grenzen des Gini Koeffizienten unter
linkssteiler Dreieckverteilung und äquidistanten
Klassengrenzen bei wachsendem k 124
24. Schematicher Vergleich der F Funktionen für rechtssteile,
gleichverteilte und linkssteile relative Häufigkeiten
bei äquidistanten Klassengrenzen 128
25. Darstellung der Grenzen des Gini Koeffizienten einer
Rechteckverteilung unter verschiedenen Klasseneinteilungen
furk=4. 135
26. Verteilungsfunktionen der für die weitere Analyse ausgewählten
25 Verteilungen 146
27. Die Schiefe der Untersuchungsverteilung nach dem ^ Kriterium 155
28. Dichtefunktionen der neuen Verteilungstypen 158
Abbildungen in den Anlagen:
Seite
29. Vertikale Abstände verschiedener Klasseneinteilungen
(Anlage 5a) 200
30. (r3,r4) Diagramm der bisherigen Verteilungen (Anlage 8a) 210
31. (r3,r4) Diagramm der neuen Verteilungen (Anlage 8b) 210
32. Darstellung des Zusammenhangs zwischen mittlerer absoluter
Differenz und mittlerer quadratischer Abweichung (Anlage 9a) 212
33. Darstellung des Zusammenhangs zwischen dem Variations¬
und dem Gini Koeffizienten (Anlage 9b) 212
34. Darstellung der Jöhnk Grenzen für die Einkommens und
Verbrauchsstichproben (Anlage 10) 213
9
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