Analysis für Ingenieure: eine anwendungsbezogene Einführung mit Übungen
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Düsseldorf
VDI-Verl.
1996
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7
Inhaltsverzeichnis
A I GRUNDLAGEN
1 Mengen 13
2 Zahlen 14
3 Übungen 17
4 Physikalische Größen 18
B I FUNKTIONEN
5 Begriff der Funktion 20
6 Polynome 22
6.1 Lineare Funktionen 22
6.2 • Anwendungen und Übungen 24
6.3 Quadratische Funktionen 26
6.4 «Anwendungen und Übungen 29
6.5 Begriff des Polynoms 33
6.6 Das Hornersche Schema 35
6.7 Nullstellen 36
7 Rationale Funktionen 40
8 Begriff der Umkehrfunktion 41
9 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten 44
9.1 Die n-te Wurzel einer Zahl 44
9.2 Wurzelfunktion als Umkehrfunktion 45
9.3 Definition der Potenzfunktion 47
9.4 Ȇbungen 47
10 Logarithmus- und Exponentialfunktion 48
10.1 Rechnen mit Logarithmen 48
10.2 Definition von Logarithmus- und Exponentialfunktion . . 49
10.3 »Anwendungen und Übungen 51
11 Trigonometrische und Zyklometrische Funktionen . 54
11.1 Periodische Funktionen und Winkel 54
11.2 Trigonometrische Funktionen 55
11.3 Zyklometrische Funktionen 60
11.4 »Anwendungen und Übungen 62
8 Inhaltsverzeichnis
12 Hyperbel- und Areafunktionen 66
13 Zahlenfolgen 69
13.1 Begriff der Zahlenfolge 69
13.2 Grenzwert einer Zahlenfolge 70
13.3 Arithmetische und geometrische Folgen 74
13.4 Die Eulersche Zahl 'e' 75
14 Reihen 76
14.1 Endliche Reihen 76
14.2 Binomischer Lehrsatz 78
14.3 Unendliche Reihen 80
14.4 »Anwendungen und Übungen 82
15 Grenzwert einer Funktion 85
15.1 Grenzwert einer Funktion für x-—xo 85
15.2 Grenzwert einer Funktion für x-~oo und x---ao . 91
15.3 «Übungen 92
16 Stetige und unstetige Funktionen 92
16.1 Begriff der Stetigkeit 93
16.2 «Anwendungen und Übungen 96
C I DIFFERENTIALRECHNUNG
17 Begriff der Ableitung einer Funktion 99
17.1 Definition der Ableitung 99
17.2 Tangenten- und Normalengleichung 103
17.3 Differenzierbarkeit und Stetigkeit 105
18 Grundregeln der Differentiation 106
18.1 Ableitung von Summe, Differenz und Produkt mehrerer
Funktionen 107
18.2 Ableitung des Quotienten zweier Funktionen 109
18.3 Ableitung zusammengesetzter Funktionen 111
18.4 Ableitung der Umkehrfunktion 114
19 Ableitung spezieller Funktionen 115
19.1 Ableitung der zyklometrischen Funktionen 116
19.2 Ableitung der Exponential-, der Logarithmus- und der
Potenzfunktionen 117
Inhaltsverzeichnis 9
19.3 Ableitung der Hyperbel- und Areafunktionen 120
19.4 Zusammenstellung der wichtigsten Ableitungen . 122
20 «Anwendungen und Übungen 123
21 Extremwerte und Mittelwertsatz 126
21.1 Notwendiges Kriterium für ein lokales Extremum . . . 126
21.2 Mittelwertsatz 129
21.3 Monotonieverhalten von Funktionen 131
21.4 Hinreichendes Kriterium für ein lokales Extremum . . 132
21.5 Wendepunkte 134
22 9 Anwendungen und Übungen zur Differentialrechnung . . 136
22.1 Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) . 136
22.2 Übungen (Extremwertprobleme) 144
22.3 Kurvendiskussion 148
22.4 Funktionen und Graphen in Technik und Physik . . . .161
22.5 Übungen (Kurvendiskussion und ihre Anwendung in
Technik und Physik) 170
22.6 Taylor-Polynome und Taylor-Reihen 174
D I INTEGRALRECHNUNG
23 Begriff des bestimmten Integrals 180
23.1 Problemstellung 180
23.2 Das bestimmte Integral einer Funktion 182
24 Grundregeln der Integralrechnung 187
24.1 Vertauschen der Integrationsgrenzen 187
24.2 Linearität des Integrals 188
24.3 Additivität und Monotonie des Integrals 189
25 Zusammenhang zwischen Integral- und
Differentialrechnung 190
25.1 Das Integral als Funktion der oberen Grenze . 190
25.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . 191
25.3 Stammfunktion und unbestimmtes Integral 192
25.4 Tabelle von Stammfunktionen 195
25.5 Bestimmtes Integral und Stammfunktion 197
26 Technik des Integrierens 199
E
10 Inhaltsverzeichnis
26.1 Partielle Integration 199
26.2 Integration durch Substitution 200
27 Uneigentliche Integrale 203
27.1 Integration auf einem unendlichen Integrationsintervall . 203
27.2 Integration einer unbeschränkten Funktion 204
28 «Anwendungen und Übungen zur Integralrechnung . . . 205
28.1 Flächeninhalt und Integration 205
28.2 Übungen (Technik des Integrierens und Flächeninhalte). 214
28.3 Volumen von Rotationskörpern 220
28.4 Übungen (Rotationskörper) 224
i 28.5 Bogenlänge einer Kurve 226
28.6 Krümmung einer Kurve 228
28.7 Die Klotoide (Eine Anwendung aus dem Verkehrsbau) . 231
128.8 Mantelfläche von Rotationskörpern 234
28.9 Übungen (Bogenlänge, Krümmung, Oberfläche) . . . 236
28.10 Schwerpunkt und statisches Moment einer ebenen Fläche 237
28.11 Übungen (Schwerpunkt) 243
j 28.12 Guldinsche Regel für das Volumen von Rotationskörpern 244
28.13 Flächenträgheitsmomente 245
28.14 Übungen (Flächenträgheitsmomente) 254
28.15 Querkräfte und Momente am Balken 255
28.16 Übungen (Querkraft- und Momentenfunktionen) 261
LÖSUNGEN
Zu Teil A: Grundlagen 262
Zu Teil B: Funktionen 263
Zu Teil C: Differentialrechnung 271
Zu Teil D: Integralrechnung 287
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