Mathematik: Lehrbuch für Fachhochschulen 1
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| Language: | German |
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Düsseldorf
VDI-Verl.
1995
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| Edition: | 4. neubearb. Aufl. |
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| Physical Description: | XIV, 622 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 318401391X |
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| adam_text | Inhalt
1 Mengen, reelle Zahlen...................................... 1
1.1 Begriffe und Sprechweisen................................. 1
1.2 Mengenoperationen.................................... 3
1.3 Die Menge der reellen Zahlen............................... 3
1.3.1 Grundgesetze der Addition und der Multiplikation............... 4
1.3.2 Grundgesetze der Anordnung........................... 6
1.3.3 Eigenschaften der Vollständigkeit......................... 12
Aufgaben....................................... 12
1.4 Vollständige Induktion.................................. 13
1.4.1 Summenschreibweise................................ 13
1.4.2 Vollständige Induktion bei Summenformeln................... 15
1.4.3 Vollständige Induktion bei Ungleichungen.................... 18
1.4.4 Binomischer Satz.................................... 19
Aufgaben....................................... 22
2 Funktionen............................................ 24
2.1 Grundbegriffe........................................ 24
2.1.1 Einige spezielle Funktionen............................ 28
2.1.2 Umkehrfunktion und Verkettung von Funktionen............... 30
Aufgaben....................................... 36
2.2 Eigenschaften von Funktionen.............................. 38
Aufgaben....................................... 43
2.3 Rationale Funktionen................................... 44
2.3.1 Ganzrationale Funktionen............................. 44
2.3.2 Gebrochenrationale Funktionen.......................... 49
Aufgaben....................................... 55
2.4 Potenzfunktionen...................................... 56
2.5 Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen................. 58
2.5.1 Sinusfunktion und Kosinusfunktion........................ 59
2.5.2 Tangensfunktion und Kotangensfunktion.................... 61
2.5.3 Arcus-Funktionen.................................. 64
Aufgaben....................................... 68
X
Inhalt
3 Zahlenfolgen und Grenzwerte.................................. 70
3.1 Definition und Eigenschaften von Folgen........................ 70
Aufgaben....................................... 74
3.2 Konvergente Folgen.................................... 76
3.2.1 Grenzwert einer Folge............................... 76
3.2.2 Rechnen mit Grenzwerten............................. 84
Aufgaben....................................... 91
3.3 Monotone und beschränkte Folgen........................... 93
3.3.1 Konvergenzkriterium monotoner Folgen..................... 93
3.3.2 Die Eulersche Zahl
e
................................. 96
Aufgaben....................................... 98
3.4 Die e- und die ln-Funktion................................ 99
Aufgaben....................................... 106
4 Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit............................ 108
4.1 Grenzwert von ƒ für
х-юо
................................ 108
Aufgaben....................................... 117
4.2 Grenzwert von ƒ für x^x0................................ 118
4.2.1 Definition des Grenzwertes von ƒ für
χ
-> x0................... 118
4.2.2 Einseitige Grenzwerte; Uneigentliche Grenzwerte................ 125
4.2.3 Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen................... 130
Aufgaben....................................... 136
4.3 Stetige und unstetige Funktionen............................. 138
4.3.1 Definition der Stetigkeit............................... 138
4.3.2 Klassifikation von Unstetigkeitsstellen...................... 142
4.3.3 Eigenschaften stetiger Funktionen......................... 146
Aufgaben....................................... 154
4.4 Allgemeine
Exponential-
und Logarithmusfunktion.................. 156
Aufgaben....................................... 160
4.5 Die hyperbolischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen............ 161
Aufgaben....................................... 166
4.6 Spezielle Grenzwerte.................................... 166
5 Die komplexen Zahlen..................................... 169
5.1 Definition der Menge
С
.................................. 169
Aufgaben....................................... 182
5.2 Trigonometrische Dartstellung komplexer Zahlen................... 183
Aufgaben....................................... 187
_____________________________________________________Inhalt
XI
5.3 Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren...................... 188
Aufgaben....................................... 197
6 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten................... 199
6.1 Lineare Gleichungssysteme; das Gaußsche Eliminationsverfahren.......... 199
6.1.1 Vorbetrachtungen.................................. 199
6.1.2 Das Gaußsche Eliminationsverfahren....................... 200
Aufgaben....................................... 204
6.2 Matrizen........................................... 204
6.2.1 Grundbegriffe..................................... 204
6.2.2 Addition und Multiplikation von Matrizen................... 208
6.2.3 Die
Inverse
einer Matrix.............................. 216
Aufgaben....................................... 218
6.3 Determinanten....................................... 220
6.3.1 Definition der Determinante............................ 220
6.3.2 Eigenschaften der Determinanten......................... 224
6.3.3 Berechnung der
Inversen
einer regulären Matrix................ 228
Aufgaben....................................... 231
6.4 Lineare Gleichungssysteme................................ 233
6.4.1 Allgemeines über die Lösungen von Gleichungssystemen........... 233
6.4.2 Quadratische, lineare Systeme mit regulären Matrizen............. 237
Aufgaben....................................... 243
7 Vektoren und ihre Anwendungen................................ 245
7.1 Vektoroperationen..................................... 247
7.1.1 Vektoraddition.................................... 247
7.1.2 Produkt eines Vektors mit einer reellen Zahl................... 250
7.1.3 Das Skalarprodukt.................................. 253
7.1.4 Das vektorielle Produkt............................... 259
7.1.5 Das Spatprodukt................................... 263
Aufgaben....................................... 265
7.2 Vektorrechnung unter Verwendung eines Koordinatensystems........... 267
7.2.1 Lineare Abhängigkeit................................ 267
7.2.2 Komponentenschreibweise............................. 270
7.2.3 Anwendung in der Geometrie........................... 279
7.2.4 Mehrfachprodukte.................................. 290
Aufgaben....................................... 292
7.3 Geometrische und Koordinaten-Transformationen.................. 294
7.3.1 Geometrische SD-Transformationen....................... 295
7.3.2 Koordinatentransformationen........................... 305
Aufgaben....................................... 309
XII Inhalt____________________________________________________________________
7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen...................... 310
Aufgaben....................................... 326
7.5 Numerisches Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen....... 327
7.5.1 Probleme bei der numerischen Behandlung................... 327
7.5.2 Der QR-Algorithmus................................ 333
Aufgaben....................................... 338
8 Differentialrechnung....................................... 339
8.1 Begriff der Ableitung.................................... 339
8.1.1 Steigung einer Kurve................................ 339
8.1.2 Definition der Ableitung.............................. 340
8.1.3 Einseitige und uneigentliche Ableitungen..................... 344
8.1.4 Anwendungen der Ableitung in den Naturwissenschaften........... 348
Aufgaben....................................... 353
8.2 Ableitungsregeln...................................... 354
8.2.1 Ableitung einiger Funktionen........................... 354
8.2.2 Differentiation einer Linearkombination von Funktionen........... 356
8.2.3 Die Produktregel................................... 358
8.2.4 Die Quotientenregel................................. 359
8.2.5 Ableitung einer mittelbaren Funktion....................... 361
8.2.6 Ableitung der Umkehrfunktion.......................... 363
8.2.7 Höhere Ableitungen................................. 365
Aufgaben....................................... 368
8.3 Ableitung elementarer Funktionen............................ 369
8.3.1 Ableitung der rationalen Funktionen....................... 370
8.3.2 Ableitung der trigonometrischen Funktionen und der Arcus-Funktionen . . 370
8.3.3 Ableitung der
Exponential-
und Logarithmusfunktion............. 373
8.3.4 Ableitung der hyperbolischen Funktionen und der Area-Funktionen .... 376
Aufgaben....................................... 379
8.4 Das Differential einer Funktion.............................. 381
8.4.1 Der Begriff des Differentials............................ 381
8.4.2 Anwendung in der Fehlerrechnung........................ 383
Aufgaben....................................... 385
8.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung......................... 387
8.5.1 Satz von Rolle.................................... 387
8.5.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung..................... 390
8.5.3 Die Taylorsche Formel............................... 394
8.5.4 Numerische Differentiation............................. 401
Aufgaben....................................... 405
8.6 Berechnung von Grenzwerten............................... 407
8.6.1 Regeln von Bernoulli-de l Hospital........................ 407
8.6.2 Anwendung auf weitere unbestimmte Formen.................. 411
Aufgaben....................................... 413
________________________________________________________Inhalt XIII
8 7 Kurvenuntersuchungen mit Hilfe der Differentialrechnung.............. 415
8.7.1 Monotone Funktionen ............................... 415
8.7.2 Extremwerte..................................... 416
8.7.3 Konvexität und Wendepunkt........................... 422
Aufgaben....................................... 430
8.8 Numerische Verfahren zur Lösung von Gleichungen................. 433
8.8.1 Allgemeines Iterationsverfahren.......................... 433
8.8.2 Das Iterationsverfahren von Newton....................... 441
8.8.3 Regula
falsi
...................................... 444
Aufgaben....................................... 446
9 Integralrechnung......................................... 449
9.1 Das bestimmte Integral.................................. 449
9.1.1 Einführung...................................... 449
9.1.2 Zerlegungen...................................... 450
9.1.3 Definition des bestimmten Integrals........................ 452
9.1.4 Weitere Definitionen und Sätze über integrierbare Funktionen........ 456
9.1.5 Flächeninhalt..................................... 468
Aufgaben....................................... 470
9.2 Das unbestimmte Integral................................. 470
9.2.1 Integralfunktion................................... 470
9.2.2 Stammfunktion und unbestimmtes Integral................... 477
Aufgaben....................................... 480
9.3 Integrationsmethoden................................... 481
9.3.1 Grundintegrale.................................... 481
9.3.2 Grundformeln.................................... 482
9.3.3 Partielle Integration................................. 487
9.3.4 Integration durch Substitution........................... 491
9.3.5 Tabelle unbestimmter Integrale.......................... 494
Aufgaben....................................... 497
9.4 Uneigentliche Integrale.................................. 498
9.4.1 Integrale über unbeschränkte Intervalle..................... 499
9.4.2 Integrale von nicht beschränkten Funktionen.................. 506
9.4.3 Die r-Funktion................................... 508
Aufgaben....................................... 511
9.5 Numerische Integration.................................. 512
9.5.1 Vorbetrachtungen.................................. 512
9.5.2 Spezielle Integrationsformeln............................ 513
9.5.3 Summierte Integrationsformeln.......................... 517
Aufgaben....................................... 525
XIV Inhalt____________________________________________________________________
Anhang Aufgabenlösung..................................... 526
Zu Abschnitt 1......................................... 526
Zu Abschnitt 2......................................... 528
Zu Abschnitt 3......................................... 534
Zu Abschnitt 4......................................... 540
Zu Abschnitt 5......................................... 548
Zu Abschnitt 6......................................... 552
Zu Abschnitt 7......................................... 557
Zu Abschnitt 8......................................... 572
Zu Abschnitt 9......................................... 602
Literaturverzeichnis....................................... 611
Sachwortverzeichnis....................................... 613
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