Holdings: Algèbre discrète et codes correcteurs

Algèbre discrète et codes correcteurs:

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Bibliographic Details
Main Authors:	Papini, Odile (Author), Wolfmann, Jacques (Author)
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Language:	German
Published:	Paris [u.a.] Springer 1995
Series:	Mathématiques & applications 20
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adam_text	Sommaire Introduction 1 Du bon usage de cet ouvrage 3 PARTIE 1 : HISTORIQUE Chapitre I. Du télégraphe au disque compact, de l algèbre de Boole à la géométrie algébrique 7 §1. L évolution des techniques de transport de messages 7 §2. Le codage de l information 11 §3. Les codes correcteurs d erreurs et l histoire des mathématiques ..12 §4. Les codes correcteurs d erreurs et l histoire de l informatique ... 14 §5. La théorie des codes : émergence d une nouvelle discipline .... 17 §6. La théorie de l information 22 §6.2. Le modèle d un système de communication 23 §6.2. Définition mathématique de l information 23 §6.4. Le canal de transmission 24 §6.4. Le théorème de Shannon 24 PARTIE 2 : ALGÈBRE Chapitre D. Equivalences d applications, ensembles finis 29 §1. Correspondances et relations d équivalence 29 §2. Fonctions et applications 30 §2.1. Définitions 30 §2.2. Composition des applications, applications réciproques ... 31 §4. Equivalence d application, décomposition d une application .... 32 §4. Ensembles finis 33 §4.2. Définitions et propriétés élémentaires 33 §4.2. Dénombrement 33 Chapitre m. Groupes 3 S §2. Structures 35 §2. Définition des groupes 35 §4. Propriétés élémentaires des groupes 36 §5. Sous groupes 37 §6. Morphismes de groupes 38 §6. Equivalence d application d un morphisme de groupes 38 §7. Groupe quotient parle noyau 39 §8. Sous groupes distingués, groupes quotients 40 §10. Equivalences associées à un sous groupe quelconque 41 §11. Ordre et exposant d un groupe fini 42 §11. Groupes cycliques 43 §11.2. Groupes monogènes, groupes cycliques 43 §11.2. Sous groupes d un groupe cyclique 43 §11.3. Générateurs d un groupe cyclique, équation xi = b 44 Chapitre IV. Anneaux 45 §1. Définition et propriétés des anneaux 45 §3. Anneaux intègres 46 §4. Sous anneaux 47 §4. Morphismes d anneaux 47 §6. Equivalence d application d un morphisme d anneaux 48 §6. Anneaux quotients 48 §7. Idéaux d un anneau 49 Chapitre V. Idéaux et morphismes de T et de K[x] 51 §2. Division (euclidienne) dans 2 51 §2. Sous groupes et idéaux de 1 51 §3. Pgcd, ppcm, Théorème de Bezout 52 §3.1. Plus grand commun diviseur 52 §4.0. Plus petit commun multiple 53 §4. Morphismes de 1, équivalence modulo n 53 §5. L anneau des entiers modulo n 54 §5.3. Définition 54 §5.3. Eléments inversibles et diviseurs de zéro de 1/nl 54 §6.0. Application résiduelle modulo n 55 §6. Sous groupes et idéaux de K[X] 55 §7. Pgcd, ppcm, Théorème de Bezout pour les polynômes 56 §7.1. Plus grand commun diviseur 56 §8.0. Plus petit commun multiple 57 §8. Morphismes (d anneaux) de K[x], équivalence modulo f(x) .... 57 §9. L anneau des polynômes modulo f(x) 58 §9.2. Définition 58 §9.2. Eléments inversibles et diviseurs de zéro dans K[x]/(/(x)) . 58 §9.3. application résiduelle modulo f(x) 59 Chapitre VI. Construction des corps finis 61 §1. Corps quotient sur un corps premier 61 §2. Etudes des corps commutatifs finis 62 §2.1. Sous corps premiers 62 §2.2. Propriétés de la caractéristique 64 §2.4. Groupe multiplicatif 66 §2.4. Polynôme minimal 66 §2.5. Sous corps Fp(0) 67 §2.7. Cas particulier fondamental 69 §2.7. Théorème de Wedderburn et conclusion 69 Chapitre Vil. Théorèmes d existence 71 §1. Polynôme irréductible et polynôme minimal 71 §2. Corps de rupture, et corps de décomposition 72 §3. Existence d un corps de cardinal pn 73 §4. Description d un corps fini au moyen d une racine primitive .... 75 Chapitre vm. Sous corps et automorphismes d un corps fini 77 §1. Sous corps 77 §2. Automorphismes d un corps fini 78 §2.1. Propriétés des automorphismes 78 §2.2. Automorphismes de Galois 79 §2.3. Conjugaison 80 §3. Détermination de tous les automorphismes d un corps fini 82 Chapitre IX. Racines de l unité 85 §2. Préliminaires 85 §2. Groupe des racines n ièmes de l unité dans un corps fini 85 §3. Corps des racines n ièmes de l unité sur Fp 86 §5. Décomposition de xn 1 sur Fp 88 §5. Classes cyclotomiques 89 §6. Ordre d un polynôme 90 PARTIE 3 : CODES CORRECTEURS Chapitre X. Généralités sur les codes correcteurs 95 §1. Introduction 95 §3. Définitions 99 §3. Codes correcteurs 100 §3.1. Condition de décodage d ordre e, rayon de recouvrement . . 100 §3.3. Théorème fondamental 101 §3.3. Borne d empilement de sphères 101 §4. Codes équivalents 103 Chapitre XI. Codes linéaires 105 §1. Introduction 105 §2. Première description des codes linéaires : Matrices génératrices . 106 §2.1. Définitions et propriétés 106 §2.2. Codage des messages au moyen d un code linéaire 108 §2.3. Borne de Singleton et codes M.D.S 109 §3.1. Codes simplexes (binaires) 110 §3. Deuxième description des codes linéaires : Matrices de contrôle . 110 §3.1. Définitions et propriétés 110 §3.3. Construction pour un code systématique 111 §3.4. Codes de Hamming (binaires) 112 §3.4. Décodage au moyen d une matrice de contrôle 112 Chapitre XD. Corps finis et polynômes sur un corps fini 117 §1. Calculs résiduels sur les entiers et les polynômes 117 §1.1. Entiers 117 §1.2. Polynômes 118 §2. Corps finis 119 §3. Construction d un corps fini au moyen d un polynôme primitif . . 120 §4. Automorphismes de Galois 121 Chapitre Xm. Codes Cycliques 123 §1. Définition et description 123 §1.1. Représentation polynomiale 124 §1.2. En résumé 125 §2. Dimension et matrice génératrice d un code cyclique 127 §3. Orthogonal d un code cyclique 129 §4. Décomposition de xn 1 sur F,, 131 §4.1. Premier cas : n est premier avec p 131 §5.0. Deuxième cas : n non premier avec p 133 §5. Codage systématique d un code cyclique 133 Chapitre XIV. Les codes B.C.H. 135 §1. Enoncé du théorème des codes B.C.H 135 §3. Définition des codes B.C.H 136 §3. Démonstration du théorème 136 §4. Commentaires 137 §5. Première description des codes de Reed Solomon 138 §6. Deuxième description des codes de Reed Solomon 139 Chapitre XV. Applications des codes correcteurs dans l industrie 141 §1. Code utilisé pour le disque compact 141 §1.1. Historique 141 §1.2. Numérisation de l information 142 §1.3. Préliminaires à la présentation du code C.I.R.C 143 §3.0. Le code de Reed Solomon à entrelacement croisé 146 §3. Code utilisé pour le Minitel 146 §3. Utilisation du codage pour la transmission par satellite 147 §3.2. Historique 147 §3.2. Présentation des codes de Reed Muller 148 §3.3. Quelques codes utilisés pour la transmission d images . . . 149 Exercices 151 PARITE 4 : DÉCODAGE Chapitre XVI. Décodage des codes linéaires 157 §2. Généralités 157 §2. Définitions 158 §3. Décodage par tableau de déchiffrement 159 §4. Décodage par décision majoritaire 160 §4.1. Décodage en une étape 160 §5.0. Décodage en plusieurs étapes 165 §5. Décodage par permutations 165 Chapitre XVII. Décodage des codes cycliques 169 §1. Généralités 169 §2. Décodage de Meggitt 171 §3. Décodage par piégeage d erreur 175 §4. Décodage algébrique des codes B.C.H 178 §5. Décodage par transformation de Fourier discrète 186 §5.1. Transformation de Fourier discrète sur les corps finis .... 186 §5.2. Méthode de décodage par transformation de Fourier .... 187 PARTIE 5 : COMPLÉMENTS Chapitre XVHI. Autres pistes et problèmes ouverts 195 §1. Codes optimaux et classes de bons codes 195 §1.2. Optimisation des paramètres 195 §1.2. Codes M.D.S 195 §2.0. Les classes de bon codes 196 §3. Codes auto duaux 197 §3. Groupes et codes 198 §3.2. Groupe d isométries et groupe d automorphismes d un code 198 §3.2. Groupes finis simples et réseaux 198 §4. Idéaux d algèbre de groupes 199 §6. Rayon de recouvrement 200 §7. Fonctions courbes 201 §7. Codes et configurations combinatoires 201 §7.1. Configurations combinatoires 201 §7.3. Les t configurations 202 §7.3. Plans projectifs finis 202 §8. Codes et géométrie algébrique, codes de Goppa 203 §9. Equations sur les corps finis 204 §9.2. Codes linéaires binaires 205 §9.2. Codes cycliques 205 §9.4. Les équations fondamentales et les courbes associées .... 206 §9.4. Equations diagonales 206 §10. Cryptographie 207 Chapitre XIX. Compléments sous forme de problèmes 209 §1. Trace 209 §3. Norme 210 §4. Bases normales 211 §5. Fonctions sur un corps fini 212 §5. Polynômes linéarisés 212 §7. Codes raccourcis 213 §8. Codes auto duaux 214 §8. Codes M.D.S 214 §9. Codes binaires à poids pairs 215 §10. Rayon de recouvrement 216 PARTIE 6 : ANNEXES Annexe 1 : Rappels d algèbre linéaire 221 §2. Sous espaces 221 §2. Générateurs, bases 221 §3. Applications linéaires 222 §7. Espaces Isomorphes 223 §7. Rang 223 §7. Matrice de Vandermonde 223 §7. Produit scalaire, orthogonalité 224 Annexe 2 : Représentation et algorithmes de calcul dans les corps finis 225 §2. Représentation polynomiale 225 §2. Puissances d un élément primitif 226 Annexe 3 : Table de polynômes irréductibles primitifs 229 Annexe 4 : Tables de corps finis 231 Annexe 5 : Implémentation du calcul dans les corps finis 241 §1. Arithmétique sur les corps finis 241 §2. Arithmétique sur les polynômes 243 §2.2. Décalage circulaire 243 §2.2. Multiplication de deux polynômes 244 §2.3. Calcul du reste dans la division de deux polynômes 245 Annexe 6 : Transformation de Fourier discrète 247 §1. Transformation de Fourier discrète sur le corps des complexes . 247 §2. Transformation de Fourier discrète sur les corps finis 248 §3. Généralisation 249 Bibliographie. 253 Index 257
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