Die Vernunft im Cauchy-Mythos: synthetischer Aufbau einer Analysis: Herkunft, Missverständnisse und Herkunft der Missverständnisse
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D. SPALT
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DIE VERNUNFT IM
CAUCHY-MYTHOS
SYNTHETISCHER AUFBAU EINER ANALYSIS:
HERKUNFT, MISSVERSTAENDNISSE UND HERKUNFT DER MISSVERSTAENDNISSE
.
VERLAG HARRI DEUTSCH
THUN UND FRANKFURT AM MAIN
INHALTSVERZEICHNIS
EINLEITUNG 9
I WORUM ES GEHT 13
O.L DIE PERSPEKTIVE 15
0.2 DAS THEMA 18
0.3 DIE METHODE 20
0.4 DAS ERGEBNIS 25
II CAUCHY: ALGEBRAISCHE ANALYSE, INFINITESIMALRECHNUNG 29
1 GESCHICHTLICHE EINLEITUNG 33
2 DIE GRUNDBEGRIFFE DER INFINITESIMALRECHNUNG 37
2.1 GROESSE 37
2.2 ZAHLGROESSE 38
2.3 WERT EINER ZAHLGROESSE 41
2.4 VORZEICHEN UND VORZEICHENREGEL 42
2.5 NATUERLICHE UND GEBROCHENE ZAHL 45
2.6 BESTAENDIGE UND VERAENDERLICHE 46
2.7 CONTINUIERLICHE UND DISKRETE VERAENDERLICHE 46
2.8 GRENZE 47
2.9 IRRATIONALE ZAHLEN. ZAHL ALS GRENZE 50
2.9.1 IRRATIONALE ZAHL ALS GRENZE 50
2.9.2 UNBESTIMMTE VERMINDERUNG: DER WERT NULL 52
2.9.3 BEGRENZTE VERMINDERUNG (ODER VERMEHRUNG): DIE ENDLICHEN WERTE . 53
2.9.4 UNBESTIMMTE VERMEHRUNG: DER WERT UNENDLICHGROSS 54
2.10 UNENDLICHKLEINE UND UNENDLICHGROSSE ZAHLGROESSEN 56
2.11 INTENTIONALITAET 61
3 DIE ALGEBRA DER INFINITESIMALRECHNUNG 63
3.1 DAS RECHNEN MIT BESTAENDIGEN UND ZAHLEN 63
3.1.1 ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN 63
3.1.2 MULTIPLIZIEREN UND DIVIDIEREN 65
INHALT
3.1.3 POTENZIEREN UND WURZELZIEHEN 68
3.1.4 RUECKBUECK 69
3.1.5 AUSBLICK 70
3.2 DAS RECHNEN MIT VERAENDERLICHEN ZAHLGROESSEN 70
3.2.1 RECHNEN MIT NULL ODER UNENDLICH 70
3.2.2 RECHNEN MIT NULL UND UNENDLICH 72
3.3 GROESSENVERGLEICHE BEI ZAHLGROESSEN UND ZAHLEN 74
3.4 GLEICHHEIT BEI ZAHLGROESSEN 76
DIE GRUNDLAGEN DER FUNCTIONENLEHRE 79
4.1 FUNCTION 79
4.1.1 DER BEGRIFF DER FUNCTION UND IHRER WERTE 79
4.1.2 EINTEILUNG DER FUNCTIONEN 83
4.1.3 KONSEQUENZEN AUS DEM FUNCTIONSBEGRIFF FUER DIE ALGEBRA DER ZAHL-
GROESSEN 83
4.2 CONTINUITAET 84
4.2.1 FUNCTIONEN EINER UNABHAENGIG VERAENDERLICHEN 84
4.2.2 FUNCTIONEN MEHRERER VERAENDERLICHER 92
4.3 NULLSTELLENSATZ 95
UNENDLICHE SUMMEN VON ZAHLGROESSEN 99
DIE DIFFERENTIALRECHNUNG 119
6.1 DIFFERENTIAL 119
6.1.1 DERIVIERTE 119
6.1.2 DIFFERENTIALE BEI EINER UNABHAENGIG VERAENDERLICHEN 123
6.2 DIFFERENTIALRECHNUNG BEI EINER UNABHAENGIG VERAENDERLICHEN 127
6.3 MITTELWERTSATZ DER DIFFERENTIALRECHNUNG 128
6.3.1 EINZELWERTE AUS FUNCTIONEN BEI EINER GEMEINSAMEN UNABHAENGIG
VERAENDERLICHEN 133
6.3.2 ORDNUNGEN DES UNENDLICHKLEINEN 136
6.3.3 EIGENSCHAFTEN DER UNENDLICHKEITSORDNUNGEN 140
6.3.4 EINE GEOMETRISCHE ANWENDUNG 141
6.3.5 UEBER DERIVIERTE, WELCHE UNENDLICHKLEINE ZAHLGROESSEN DARSTELLEN ....
142
6.4 DIFFERENTIALE BEI FUNCTIONEN MEHRERER VERAENDERLICHER 146
6.4.1 TOTALES DIFFERENTIAL * VORBETRACHTUNGEN 146
6.4.2 TOTALES DIFFERENTIAL BEI MEHREREN UNABHAENGIG VERAENDERLICHEN ....
148
6.4.3 TOTALES DIFFERENTIAL BEI MEHREREN, UNTEREINANDER ABHAENGIG
VERAENDER-
LICHEN 150
6.4.4 TOTALES DIFFERENTIAL * ZUSAMMENFASSUNG 152
6.4.5 GEMISCHTE DIFFERENTIALE 153
6.4.6 DIE VERTAUSCHUNGSFORMEL FUER DIFFERENTIALE (1) 153
6.4.7 DER VERTAUSCHUNGSSATZ FUER DERIVIERTE 155
6.4.8 DIE VERTAUSCHUNGSFORMEL FUER DIFFERENTIALE (2) 158
INHAELT
7 INTEGRALRECHNUNG 161
7.1 BESTIMMTES INTEGRAL 161
7.1.1 VORBEREITUNG 161
7.1.2 ERKLAERUNG DES BESTIMMTEN INTEGRALS 163
7.2 MITTELWERTSATZ DER INTEGRALRECHNUNG 169
7.3 UNEIGENTLICHES INTEGRAL 171
7.4 BESTIMMTES EINZELINTEGRAL. HAUPTWERT 174
7.5 INTEGRATION VON REIHEN 178
8 NOTE AN ABEL 185
8.1 ABELS BEHANDLUNGSWEISE 185
8.2 KRITISCHE BETRACHTUNG DER ABELSCHEN BEHANDLUNGSWEISE 187
8.3 EIN EINFACHERER BEWEIS 189
8.4 BEWEISVERGLEICH 190
9 NOTE AN DEDEKIND 193
ANALYSIS AUS WIRKLICHEN ZAHLGROESSEN 195
9.1 GRUNDLAGEN UND SPRECHWEISEN 195
9.1.1 ZAHLGROESSEN UND WERTE 195
9.1.2 ORDNUNG DER ZAHLGROESSEN 196
9.1.3 RECHNEN MIT ZAHLGROESSEN 196
9.1.4 DREI BESONDERE INTENTIONSARTEN DER ZAHLGROESSEN 197
9.1.5 NATUERLICHE VERAENDERLICHE 198
9.2 AUFBAU EINER STRENGEN LEHRE 198
9.2.1 HEURISTISCHE VORBETRACHTUNG 198
9.2.2 DIE STETIG VERAENDERLICHEN-UND DIE IDEALEN WERTE . . . 201
9.2.3 IDEALE VERAENDERLICHE 203
9.2.4 DIE GRUNDLAGE EINER STRENGEN FUNCTIONENLEHRE 205
9.2.5 DAS IDEALE CONTINUUM 208
III CAUCHY-BILDER 211
10 ERGEBNIS 213
10.1 DIE GRUNDFORM 213
10.2 DIE GRUNDBEGRIFFE 213
10.3 DIE GRUNDKONSEQUENZEN 214
10.4 GRUNDLEGENDE VERSCHIEDENHEITEN 215
10.5 DIE METHODISCHE EINHEIT 217
10.6 DAS VERSCHWINDEN DER INFINITESIMALEN 220
10.7 GESAMTSCHAU: DIE CAUCHYSCHE ANALYSIS 220
10.8 METHODISCHER AUSBLICK: DIE SPRACHE DER HISTORISCH VERGLEICHENDEN
ANALYSIS 223
10.9 EIN SEITENBLICK UEBER DEN ZAUN DER MATHEMATIK HINAUS: EINE HOEFISCHE
ANA-
LYSIS? HISTORISCHE UND ONTOLOGISCHE REFLEXIONEN 224
10.9.1 WERT IN DER HOEFISCHEN GESELLSCHAFT 226
10.9.2 PRESTIGE- ODER GEBRAUCHS-WERT? 227
10.9.3 FUNCTION UND WERT BEI CAUCHY 228
10.9.4 WIE KAM CAUCHY ZUM WERT-BEGRIFF? 229
8 INHALT
11 GESCHICHTSSCHREIBUNG DER ANALYSIS HEUTE * AUF DER GRUNDLAGE DES MA-
THEMATISCHEN WISSENS VON HEUTE 231
12 DIE HISTORISCHE LITERATUR ZU CAUCHY SEIT 1966 237
12.1 ABRAHAM ROBINSON 237
12.2 IMRE LAKATOS 238
12.3 JOHN P. CLEAVE 239
12.3.1 CLEAVE 1971 239
12.3.2 CLEAVE 1979 240
12.4 GORDON M. FISHER 242
12.5 IVOR GRATTAN-GUINNESS 245
12.5.1 GRATTAN-GUINNESS 1970 245
12.5.2 GRATTAN-GUINNESS 1970A 246
12.5.3 GRATTAN-GUINNESS 1979 247
12.5.4 GRATTAN-GUINNESS 1990 247
12.6 HANS FREUDENTHAL 250
12.7 JUDITH V. GRABINER 250
12.8 DETLEF LAUGWITZ 251
12.8.1 LAUGWITZ 1978 251
12.8.2 LAUGWITZ 1986, LAUGWITZ 1986A 252
12.8.3 LAUGWITZ 1988 256
12.8.4 LAUGWITZ 1991 257
12.8.5 LAUGWITZ 1994 258
- 12.9 DETLEF D. SPALT 258
12.10 ENRICO GIUSTI 259
12.10 ENRICO GIUSTI 259
12.11 UMBERTO BOTTAZZINI 262
12.11.1 BOTTAZZINI 1981 262
12.11.2 BOTTAZZINI 1992 263
12.12 TEUNIS KOETSIER 264
BEGLEITUMSTAENDE 267
LITERATUR 269
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PERSONEN 279
BEGRIFFE 281
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