Numerische Bestimmung von Eigenwerten des Laplace-Beltrami-Operators auf dreidimensionalen hyperbolischen Räumen mit Finite-Element-Methoden:
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| Language: | German |
| Published: |
1995
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INHA
WSVERZEICHNIS
3
INHALTSVERZEICHNIS
1
PROBLEMSTELLUNG
7
1.1
EIGENWERTPROBLEM
.
7
1.1.1
LAPLACE-BELTRAMI-OPERATOR
AUF
HYPERBOLISCHEN
RAEUMEN
.
7
1.1.2
SPEKTRUM
DER
EIGENWERTE
.
9
1.1.3
VERHALTEN
DER
EIGENFUNKTIONEN
.
9
1.2
BEKANNTE
ERGEBNISSE
.
10
1.2.1
ZWEIDIMENSIONALER
FALL
.
10
1.2.2
DREIDIMENSIONALER
FALL
.
11
1.3
DISKRETISIERUNG
.
13
1.3.1
UEBERGANG
VON
UNENDLICHEN
ZU
ENDLICHEN
VOLUMEN
.
13
1.3.2
TEILUNG
DER
VOLUMEN
.
13
1.3.3
SCHWACHE
FORMULIERUNG
.
14
1.4
ERZEUGENDE
ABBILDUNGEN
.
15
1.5
VOLUMEN
.
16
1.5.1
VOLUMEN
TJ
UND
T
2
.
16
1.5.2
VOLUMEN
VOM
TYP
.
18
1.5.3
VOLUMEN
VOM
TYP
0P
.
20
1.5.4
VOLUMEN
T3
UND
3
3
.
21
1.5.5
VOLUMEN
VOM
TYP
.
22
1.6
ZERSCHNEIDUNG
VON
VOLUMEN
MIT
ZWEI
SPITZEN
.
24
2
KONZEPTION
27
2.1
AUFGABENSTELLUNG
.
27
2.2
BASIS
DER
KONZEPTION
.
27
2.3
BESTANDTEILE
DER
KONZEPTION
.
28
2.3.1
ZERLEGUNG
DES
VOLUMENS
IN
STANDARDVOLUMEN
.
28
2.3.2
AUSWAHL
DER
ELEMENTE
.
29
2.3.3
VOLUMENKONSTRUKTION
.
30
2.3.4
ADAPTIVE
VERFEINERUNG
.
31
2.3.5
TRIANGULIERUNG
DER
STANDARDVOLUMEN
.
33
2.3.6
AUSWAHL
DES
ITERATIONSVERFAHRENS
.
35
3
ALGORITHMUS
37
3.1
STRUKTUR
DES
ALGORITHMUS
.
37
3.2
VOLUMENKONSTRUKTION
.
38
3.2.1
BEZEICHNUNGEN
IM
ALLGEMEINEN
FW1
.
38
3.2.2
RANDIDENTIFIKATIONEN
.
40
3.2.3
KONSTRUKTIONSVORSCHRIFT
.
41
3.2.4
REALISIERUNG
DER
VOLUMENKONSTRUKTION
.
43
4
INHALTSVERZEICHNIS
3.2.5
SPEZIALFALL:
VOLUMEN
MIT
DREIECKIGEM
QUERSCHNITT
.
44
3.3
ELEMENTE
.
46
3.3.1
KNOTENPUNKTE
UND
ANSATZFUNKTIONEN
.
46
3.3.2
BERECHNUNG
DER
ELEMENTMATRIZEN
.
47
3.3.3
STANDARDELEMENTE
UND
QUADRATURFORMELN
.
48
3.4
TRIANGULIERUNG
FUER
EIN
STANDARDVOLUMEN
.
49
3.4.1
ELEMENTEZERLEGUNG
IM
UNTEREN
BEREICH
.
49
3.4.2
ADAPTIVE
VERFEINERUNG
IM
OBEREN
BEREICH
.
51
3.4.3
TRIANGULIERUNGEN
MIT
QUADRATISCHEN
UND
KUBISCHEN
ELEMENTEN
.
52
3.4.4
SPEZIALFALL:
VOLUMEN
MIT
DREIECKIGEM
QUERSCHNITT
.
53
3.5
GESAMTGLEICHUNGSSYSTEM
.
56
3.5.1
AUFBAU
DES
GESAMTGLEICHUNGSSYSTEMS
.
56
3.5.2
SIMULTANE
VEKTORITERATION
.
57
3.5.3
KONVERGENZVERHALTEN
UND
ABBRUCHSTEUERUNG
.
58
3.5.4
ANALYSE
DER
EIGENFUNKTIONEN
UND
BERECHNUNG
VON
FEHLERINDIKATOREN
59
4
NUMERISCHE
ERGEBNISSE
60
4.1
ALLGEMEINE
VORBEMERKUNGEN
.
60
4.1.1
KONSTRUKTION
UND
TEILUNG
DER
VOLUMEN
.
60
4.1.2
ADAPTIVE
VERFEINERUNG
.
61
4.1.3
STEUERUNG
DER
SIMULTANEN
VEKTORITERATION
.
62
4.1.4
AUFWAND
DER
EIGENWERTBERECHNUNGEN
.
62
4.2
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
T,
UND
2
.
63
4.2.1
VOLUMEN
ZUR
EIGENWERTBERECHNUNG
.
63
4.2.2
SYMMETRIEEIGENSCHAFTEN
DER
EIGENFUNKTIONEN
.
66
4.2.3
AUSWAHL
DER
VOLUMEN
.
71
4.2.4
AUSWAHL
DER
ELEMENTE
.
73
4.2.5
OBERE
SCHRANKEN
FUER
VOLLSTAENDIGE
EIGENWERTLISTEN
.
76
4.2.6
ANALYSE
DER
EIGENFUNKTIONEN
.
77
4.2.7
EIGENWERTE
UND
EIGENFUNKTIONEN
VOM
TYP
A
.
78
4.2.8
EIGENWERTE
UND
EIGENFUNKTIONEN
VOM
TYP
B
.
79
4.2.9
BERECHNUNG
DER
EIGENWERTE
VON
DEN
TYPEN
C,
D
UND
E
.
80
4.2.10
EIGENWERTE
UND
EIGENFUNKTIONEN
VOM
TYP
C
.
84
4.2.11
EIGENWERTE
UND
EIGENFUNKTIONEN
VOM
TYP
D
.
85
4.2.12
EIGENWERTE
UND
EIGENFUNKTIONEN
VOM
TYP
E
.
87
4.2.13
EIGENWERTE
UND
EIGENFUNKTIONEN
VOM
TYP
G
.
89
4.2.14
EIGENWERTE
UND
EIGENFUNKTIONEN
VOM
TYP
H
.
90
4.2.15
EIGENWERTE
UND
EIGENFUNKTIONEN
VOM
TYP
L
.
92
4.2.16
ZUSAMMENFASSUNG
DER
EIGENWERTE
AUF
TJ
.
93
4.2.17
ZUSAMMENFASSUNG
DER
EIGENWERTE
AUF
2
.
94
INHALTSVERZEICHNIS
5
4.2.18
LOKALE
EXTREMWERTE
DER
EIGENFUNKTIONEN
.
95
4.3
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
3
,
,
4
UND
'
J'J
6
.
96
4.3.1
VORBEREITENDE
BERECHNUNGEN
AUF
DEN
VOLUMEN
'S]
4
.
96
4.3.2
VORBEREITENDE
BERECHNUNGEN
AUF
DEN
VOLUMEN
3
UND
6
.
98
4.3.3
KLASSIFIKATION
DER
EIGENFUNKTIONEN
.
100
4.3.4
SYMMETRIEEIGENSCHAFTEN
DER
EIGENFUNKTIONEN
AUF
4
.
103
4.3.5
SYMMETRIEEIGENSCHAFTEN
DER
EIGENFUNKTIONEN
AUF
6
.
106
4.3.6
ALLGEMEINES
VERFAHREN
ZUR
EIGENWERTBERECHNUNG
.
109
4.3.7
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
TEILVOLUMEN
ZU
}
4
BIS
44
.
109
4.3.8
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
TEILVOLUMEN
ZU
F
4
.
111
4.3.9
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
TEILVOLUMEN
ZU
6
BIS
6
.
113
4.3.10
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
TEILVOLUMEN
ZU
G
BIS
#}
6
.
117
4.3.11
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
FJG
.
120
4.3.12
ZUSAMMENFASSUNG
DER
EIGENWERTE
AUF
}
3
.
121
4.3.13
ZUSAMMENFASSUNG
DER
EIGENWERTE
AUF
4
4
.
122
4.3.14
ZUSAMMENFASSUNG
DER
EIGENWERTE
AUF
6
.
125
4.3.15
ZUSAMMENHANG
ZWISCHEN
EIGENWERTEN
UND
SYMMETRIEEIGENSCHAFTEN
.
128
4.4
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
6?
.
130
4.4.1
VERFAHREN
ZUR
EIGENWERTBERECHNUNG
.
130
4.4.2
ZUSAMMENFASSUNG
DER
EIGENWERTE
.
131
4.5
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
TJ
.
132
4.5.1
VOLUMEN
UND
SYMMETRIEEIGENSCHAFTEN
DER
EIGENFUNKTIONEN
.
132
4.5.2
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
TEILVOLUMEN
.
.
134
4.5.3
ZUSAMMENFASSUNG
DER
EIGENWERTE
.
136
4.6
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
T
3
UND
#
3
3
.
137
4.6.1
VOLUMEN
UND
SYMMETRIEEIGENSCHAFTEN
DER
EIGENFUNKTIONEN
.
137
4.6.2
VERFAHREN
ZUR
EIGENWERTBERECHNUNG
.
139
4.6.3
ZUSAMMENFASSUNG
DER
EIGENWERTE
.
142
4.7
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
$I
UND
.
143
4.7.1
VOLUMEN
UND
SYMMETRIEEIGENSCHAFTEN
DER
EIGENFUNKTIONEN
.
143
4.7.2
VERFAHREN
ZUR
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
.
144
4.7.3
ZUSAMMENFASSUNG
DER
EIGENWERTE
.
146
4.7.4
EIGENWERTE
AUF
$
3
.
147
4.8
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
$
3
,
$
4
UND
#S
.
155
4.8.1
VOLUMEN
UND
SYMMETRIEEIGENSCHAFTEN
DER
EIGENFUNKTIONEN
.
155
4.8.2
VERFAHREN
ZUR
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
$S
.
157
4.8.3
VERFAHREN
ZUR
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
$4
.
159
4.8.4
VERFAHREN
ZUR
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
$
3
MIT
ZERSCHNEIDUNG
.
.
.
160
4.8.5
ZUSAMMENFASSUNG
DER
EIGENWERTE
.
162
4.8.6
EIGENWERTE
AUF
&
3
.
163
6
INHALTSVERZEICHNIS
4.9
EIGENWERTBERECHNUNG
AUF
4
E
.
168
4.9.1
VOLUMEN
UND
SYMMETRIEEIGENSCHAFTEN
DER
EIGENFUNKTIONEN
.
168
4.9.2
ZERSCHNEIDUNG
DES
VOLUMENS
IN
ZWEI
SUBVOLUMEN
.
169
4.9.3
VERFAHREN
ZUR
EIGENWERTBERECHNUNG
.
170
4.9.4
AUSWIRKUNGEN
DER
ZERSCHNEIDUNG
AUF
DIE
EIGENWERTAPPROXIMATIONEN
171
4.9.5
ZUSAMMENFASSUNG
DER
EIGENWERTE
.
173
4.9.6
EIGENWERTE
AUF
4 E
.
173
LITERATUR
180
TABELLENVERZEICHNIS
191
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
193
ERRATA
195 |
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