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1995
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I
Natürliche Zahlen 5
1 Vom Zählen und von den Zahlen.................... 5
2 Beweistechniken für die natürlichen Zahlen.............. 10
2.1 Vollständige Induktion.................... . . . 11
2.1.1 Verlagerung des Induktionsanfangs............ 15
2.1.2 Notwendigkeit des Induktionsanfangs........... 15
2.1.3 Notwendigkeit des Induktionsschrittes.......... 15
2.1.4 Beispiele........................... 15
2.2 Wohlordnungsprinzip und Kettenprinzip.............. 18
2.3 Dirichlet sches Schubfachprinzip................. 19
2.4 Äquivalenz der verschiedenen Prinzipien............. 21
3
Axiomatische
Charakterisierung der natürlichen Zahlen:
Ordinalzahlen.............................. 24
3.1 Perlenketten-Modell der natürlichen Zahlen........... 24
3.2 Peano-Axiome........................... 26
3.3 Grundrechenarten......................... 28
3.3.1 Definition der Multiplikation................ 28
3.3.2 Definition der Addition................... 30
3.3.3 Korrektheit der Definitionen................ 30
3.3.4 Grundlegende Eigenschaften von Addition und
Multiplikation. . . ...................... 32
3.3.5 Kleiner-Relation...................... 36
3.3.6 Subtraktion....... .................. 39
3.3.7 Ausweitung der Definitionen und Gesetze von N auf I40 . 40
3.3.8 Division........................... 41
3.3.9 Teilbarkeitsrelation..................... 43
4 Kardinalzahlen.............................. 45
4.1 Begriff der Endlichkeit....................... 45
4.2 Natürliche Zahlen als Kardinalzahlen.............. 47
4.3 Grundrechenarten......................... 49
4.3.1 Addition........................... 49
4.3.2 Multiplikation..... ................... 52
4.3.3 Kleiner-Relation, Subtraktion und Division....... 54
5 Primzahlen................................ 55
5.1 Einführung............................. 55
5.2 Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie............56
5.3 Bestimmung der Primzahlmenge.................58
II
Bruchzahlen/ Positive rationale Zahlen 61
1 Einige Gründe zur Einführung der Bruchzahlen............62
2 Bruchzahlen............................... 64
3 Anordnung................................70
4 Addition.................................73
5 Subtraktion . . .............................77
6 Multiplikation.............................. 79
7 Division.................................85
8 Natürliche Zahlen und Bruchzahlen..................86
9 Rückblick und Ausblick.........................89
9.1 Wichtige Gemeinsamkeiten und Unterschiede von N und Q1 . 89
9.1.1 Einige bisher behandelte Gemeinsamkeiten und Unter¬
schiede............................89
9.1.2 Dichtheit der Bruchzahlen..................90
9.1.3 Mächtigkeit der Bruchzahlen................91
9.2 Die Zahlbereichserweiterung von (14, ·) nach (Q1 , ·) - eine Ana¬
lyse unter strukturellen Gesichtspunkten.............92
10 Zur Dezimalbruchdarstellung von Bruchzahlen........... . 100
10.1 Definition..............................101
10.2 Endliche Dezimalbrüche......................105
10.3 Periodische Dezimalbrüche....................107
10.4 Zur Zuordnung von gemeinen Brüchen und Dezimalbrüchen . . 112
III
Rationale Zahlen 115
1 Einige Gründe zur Einführung der rationalen Zahlen.........117
2 Rationale Zahlen.............................. 119
3 Addition/ Subtraktion.........................121
4 Multiplikation/Division.........................131
5 Ausblick
I:
Die rationalen Zahlen als Körper.............140
6 Anordnung................................142
7 Ausblick
II:
Die rationalen Zahlen als angeordneter Körper.....147
8 Absolutbetrag rationaler Zahlen....................148
9 Ganze Zahlen..............................152
10 Rückblick und Ausblick: Verschiedene Einführungswege der ratio¬
nalen Zahlen...............................154
10.1 Neubau statt Ausbau.......................154
10.2 Wege von den natürlichen zu den rationalen Zahlen......155
IV
Reelle Zahlen 159
1 Reelle Zahlen - oder: Warum reicht
Q
nicht aus? . . ;........159
1.1 Erstes Beispiel : Existenz der Quadratwurzel..........160
1.2 Zweites Beispiel : Inkommensurabilität.............162
1.3 Drittes Beispiel : Der Zwischenwertsatz.............165
1.4 Viertes Beispiel : Das Monotoniekriterium . ...........167
2 Die Vollständigkeit der reellen Zahlen.................172
2.1 Intervallschachtelungssatz und Archimedisches Axiom.....172
2.2 Der Satz von der oberen Grenze.................177
2.3 Die Vollständigkeit von
R
. . . ..................184
3 Reelle Zahlen als Dezimalbrüche....................186
3.1 Entsprechung von reellen Zahlen und Dezimalbrüchen.....186
3.2 Zur Anordnung und Arithmetik
fur
Dezimalbrüche.......190
3.3
R
als vollständiger, angeordneter Körper............193
4 Zur Konstruktion der reellen Zahlen..................195
4.1 Konstruktion von
R
über Dezimalzahlen............195
4.2 Weitere Konstruktionen im Überblick..............198
4.2.1 Dedekindsche Schnitte...................199
4.2.2 Intervallschachtelungen...................200
4.2.3 Cauchy-Folgen.......... .............202
4.3 Der
axiomatische
Standpunkt...................204
4.4 Rückblick..............................205
4.5 Anhang................................207
V
Komplexe Zahlen 213
1 Zur Einbürgerung der komplexen Zahlen...............213
2 Der Körper der komplexen Zahlen...................216
2.1 Zielsetzung.............................216
2.2 Vorüberlegungen/ Anforderungen an
С
.............217
2.3 Konstruktion von
С
........................219
2.4 Einbettung der reellen Zahlen................. . 221
2.5 Zur Anordnung der komplexen Zahlen..............223
3 Geometrische Veranschaulichung der komplexen Zahlen.......223
4 Fundamentalsatz der Algebra . .....................229
Anhang 235
Lösungshinweise zu den Aufgaben 235
Literatur 247
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