Stabilité des structures élastiques:
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|---|---|
| adam_text | Table des matières
Préface de Paul Germain V
Avant Propos VII
Chapitre 1. Stabilité d un équilibre 1
1.1 Equation de mouvement 1
1.2 Equilibre et stabilité 2
1.3 Etude de la stabilité de l équilibre 3
1.3.1 Méthode directe de Liapounov 4
1.3.2 Méthode de linéarisation 4
1.4 Systèmes conservatifs 12
1.4.1 Quelques définitions 12
1.4.2 Conséquence de la méthode de linéarisation 13
1.4.3 Conséquence de la méthode directe 14
1.5 Illustrations 15
1.5.1 Système barres ressorts sous chargement conservatif . . 15
1.5.2 Stabilité d un système de ballons 16
Chapitre 2. Quelques rappels mathématiques 19
2.1 Calcul des variations 19
2.1.1 Dérivée directionnelle et dérivée 19
2.1.2 Extremum d une fonctionnelle 20
2.1.3 Extremum d une fonctionnelle intégrale 20
2.1.4 Généralisations diverses 22
2.2 Exemples d illustration 23
2.2.1 Equilibre d une tige flexible et inextensible 24
2.2.2 Equilibre d une bulle de savon 25
2.3 Problème aux vecteurs propres généralisé 29
2.4 Rappels sur les systèmes linéaires 31
Chapitre 3. Point de bifurcation Point limite 33
3.1 Equilibres d un système conservatif 33
3.1.1 Courbes d équilibres 33
3.1.2 Exemple 34
X Table des matières
3.2 Point de bifurcation Point limite 35
3.2.1 Point de bifurcation 35
3.2.2 Problème en vitesses 36
3.3 Courbe d équilibres au voisinage d un point régulier 38
3.4 Courbe d équilibres au voisinage d un point limite 39
3.4.1 Expression locale 39
3.4.2 Echange de stabilité 39
3.5 Remarques 41
Chapitre 4. Analyse de bifurcation 43
4.1 Un exemple simple 43
4.1.1 Diagramme de bifurcation 43
4.1.2 Courbe effort déplacement 45
4.1.3 Stabilité 45
4.2 Analyse de bifurcation 47
4.2.1 Cadre d étude 47
4.2.2 Analyse de bifurcation 48
4.2.3 Echange de stabilité 50
4.3 Exemples d illustration 51
4.3.1 Flambage d un système barres ressorts 51
4.3.2 Flambage d une tige flexible et inextensible 52
4.3.3 Anneau inextensible sous pression externe 56
Chapitre 5. Flambage élastique des structures usuelles 59
5.1 Solides en petite déformation grande rotation 59
5.1.1 Cadre d étude 59
5.1.2 Analyse de bifurcation 60
5.2 Etude des poutres 61
5.2.1 Poutre droite sous compression axiale 61
5.2.2 Poutre droite sous contrôle déplacement 64
5.2.3 Flambage des rails de chemin de fer sous contraintes ther¬
miques 65
5.3 Plaques et coques 68
5.3.1 Généralités 68
5.3.2 Compression d une éprouvette cruciforme 69
Chapitre 6. Influence des imperfections 73
6.1 Retour à l exemple simple 73
6.2 Cas général 74
6.2.1 Cadre d étude 74
6.2.2 Courbe d équilibres avec imperfection 76
6.2.3 Remarques générales 79
Chapitre 7. Bifurcation en mode multiple 81
7.1 Un exemple de bifurcation en mode multiple 81
7.2 Remarques générales 85
Table des matières XI
Chapitre 8. Stabilité sous liaisons parfaites 89
8.1 Liaisons parfaites 89
8.1.1 Un exemple simple 89
8.1.2 Liaisons parfaites bilatérales 91
8.1.3 Liaisons parfaites unilatérales 92
8.1.4 Équilibre d un système conservatif sous liaisons parfaites . 93
8.2 Stabilité sous liaisons parfaites 94
8.2.1 Théorème de Lejeune Dirichlet généralisé 94
8.2.2 Critère de seconde variation du Lagrangien 94
8.2.3 Exemples 95
8.3 Flambage d un solide en contact unilatéral 102
8.3.1 Exemples 102
8.3.2 Solide élastique avec contact unilatéral sans frottement. . 104
Chapitre 9. Bifurcation statique et bifurcation dynamique 107
9.1 Retour à l évolution dynamique 107
9.2 Courbe d équilibres : point régulier point critique 108
9.3 Point critique statique 110
9.3.1 Point limite point de bifurcation 110
9.3.2 Bifurcation statique 111
9.3.3 Echange de stabilité 113
9.4 Bifurcation dynamique 114
9.4.1 Bifurcation de Hopf 114
9.4.2 Préliminaires 114
9.4.3 Démonstration du théorème de Hopf 116
9.4.4 Echange de stabilité 119
9.5 Exemples 119
9.5.1 Exemple élémentaire 119
9.5.2 Oscillateur de van der Pol 120
9.5.3 Charge suiveuse 122
9.5.4 Frottement sec et mouvements auto entretenus 123
Chapitre 10. Quelques aspects numériques 125
10.1 Analyse de flambage des structures 125
10.1.1 Rappels 125
10.1.2 Problème à résoudre 126
10.2 Méthodes numériques 127
10.2.1 Méthodes numériques 127
10.2.2 Exemples 129
10.3 Flambage des structures de révolution 131
10.3.1 Développement en série de Fourier 131
10.3.2 Quelques illustrations numériques 133
10.4 Calcul de la réponse statique nonlinéaire 136
10.4.1 Méthodes incrémentales 136
10.4.2 Méthodes basées sur les développements asymptotiques . 138
XII Table des matières
Bibliographie 141
Index 147
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