Dynamische Analyse: diskrete, stetige und Verlaufsmodelle ; [eine Einführung in die mathematischen Grundlagen für Sozialwissenschaftler]
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| Language: | German |
| Published: |
Regensburg
Pustet
1995
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
Vorwort ................................................... 11
1. Einführende Beispiele ....................................... 17
1.1 Diskrete Beispiele .......................................... 17
1.1.1 Ungehindertes Wachstum von Kapital .......................... 17
1.1.2 Ungehindertes Wachstum in der Fauna ......................... 18
1.1.3 Lineares Wachstum ........................................... 18
1.1.4 Schwingung statt Wachstum ................................... 19
1.2 Kontinuierliche Beispiele ................................... 20
1.2.1 Stetiges Wachstum ........................................... 20
1.2.2 Seibstreferentielle Interaktion ............................. 21
2. Differenzen und rekursive Abhängigkeiten .................... 25
2.1 Differenzengleichungen ...................................... 25
2.1.1 Differenzengleichungen einer Variablen ...................... 26
2.1.1.1 Der inhomogene Fall ......................................... 28
2.1.1.2 Differenzengleichungen höherer Ordnung ..................... 30
2.1.2 Zwei-Variablen-Systeme ..................................... 32
2.1.2.1 Interaktion zweier Größen ................................... 33
2.1.2.2 Wahl zwischen zwei Parteien ................................ 35
2.1.3 Beispiele mit drei Variablen ................................ 38
2.1.3.1 Konkurrenz dreier Anbieter .................................. 38
2.1.3.2 Duell und Triell der Großmächte ............................ 40
2.1.3.3 Geburt, Tod und Überleben .................................. 43
2.2 Systeme mit beliebig vielen Variablen ....................... 47
2.2.1 Die Matrix-Gleichung v^Av^ .................................. 48
2.2.2 Matrix-Inversion und Eigenwerte ............................. 51
2.2.3 Eigenwerte, Determinanten und Zeitreihen-Frequenzen ......... 55
2.2.4 Spektraldarstellung von A* .................................. 60
2.3 Entstehung und Darstellung von Schwingungen ................. 66
2.3.1 Konjunktur, Investition und Konsum .......................... 55
5
Dynamische Modelle
2.3.2 Eigenständigkeit und Verflochtenheit ...................... 71
2.3.3 Oszillationen von Populationen .............................. 77
2.4 Werkzeuge für Schwingungsanalysen ........................... 85
2.4.1 Komplexe Lösungen ........................................... 85
2.4.2 Polarkoordinaten und cos- und sin-Funktionen ................ 93
2.4.2.1 Polarkoordinaten ............................................ 93
2.4.2.2 Cosinus und Sinus ........................................... 96
2.4.3 Komplexe Zahlen und Matrizen ............................... 101
2.4.3.1 Frequenzen, Wellenlängen und Dynamik ....................... 102
2.4.3.2 Komplexe Matrix-Spektren ................................... 104
2.4.4 Stabilität von Größenordnungen ............................. 109
2.4.5 Struktur-Stabilität ....................................... 114
3. Übergang zu stetigen Modellen .............................. 123
3.1 Rückblick auf diskrete Modelle ............................. 123
3.2 Starre Zeittakte und Lebensnahe ............................ 124
3.3 Plötzliche und allmähliche Übergänge ....................... 125
3.3.1 Fluktuation und Stationarität .............................. 126
3.3.2 Stetige Verzinsung ....................................... 130
3.3.2.1 Exkurs zum Binomialkoeffizienten ........................... 130
3.3.2.2 Ableitung der stetigen Verzinsungsformel ................... 136
3.3.3 Kontinuisierung zeitlicher Differenzen ..................... 140
3.3.4 Halbwertszeiten ............................................ 144
3.4 Kontinuisierung von Differenzengleichungen ................. 148
3.4.1 Lösungen für Spezialfälle ...........................*..... 151
3.4.1.1 Konstante Übergangsraten ................................... 151
3.4.1.2 Übergangsraten als Zeitfunktionen .......................... 160
3.4.2 Kompliziertere Fälle ....................................... 164
3.4.2.1 DifferentiationsregeJn ................................... 165
3.4.2.2 Spezielle Differentialquotienten ........................... 170
3.4.3 Unendliche Reihen .......................................... 175
4. Stetige Halb-MarkofT-Prozesse .............................. 179
4.1 Diskrete und stetige Übergänge ............................. 180
6
Inhalt
4.2 Absorbierende Zustände und Verweildauer .......... 187
4.2.1 Die negative Binomialverteilung (Vokabular, Ableitung,
Beispiele) ................................................ 187
4.2.2 Absorbierende Zustände (uni- und bi-absortive
Triaden) .................................................. 194
4.2.3 Eintritts- und Austrittsverteilungsfunktion (Uberlebens-
und Sterbealtersverteilungen} 200
4.2.4 Der zweipolige Markoff-Fall ............................... 204
4.2.5 Anpassung an die Pascal-Verteilung ........................ 208
4.3 Hazard-Raten und Verteilungen ............................. 211
4.3.1 Herleitung der Grundgleichung ............................. 213
4.3.2 Zeit-Lösungen für verschiedene Verteilungen [Partielle
Integration] .............................................. 214
4.3.2.1 Die Gamma-Funktion ........................................ 217
4.3.2.2 Momente der Gamma-Verteilung (Stirling, Normalver-
teilung, Wallis) 221
4.3.2.3 Die Weibull-Verteilung .................................... 227
4.4 Alternative Modell-Ansätze ................................ 237
4.4.1 Diskrete Frequenzgruppen (Frage-Formen der Leser-
schaftsforschung) 238
4.4.1.1 Soziale Kontrolle, Fahndung und Interaktion .......... 243
4.4.1.2 Umkehrbarkeit der Rechnung (Anfangsverhalten und
Kontrollergebnis) ......................................... 246
4.4.2 Das stetige, positive Binomialmodell ...................... 248
4.4.3 Mehrfach-Ereignisse ....................................... 257
4.4.4 Warten als Entscheidungsproblem ........................... 264
4.4.4.1 Warten auf zufällige Ereignisse ........................... 268
4.4.4.2 Modell einer optimalen Wartezeit .......................... 271
4.4.4.3 Bemerkung zu Eulers у ..................................... 284
5. Einführung in Differentialgleichungen ..................... 285
5.1 Beispiel Rentenversicherung (Konsistenz von Gruppen-
Diskussionen und Überlegenheit des Diskurses bei
Problemlösungen) .......................................... 286
5.1.1 Diskussionszusammenhang ................................... 286
7
Dynamische Modelle
5.1.2 Politische Rhetorik als politische Praxis .................. 287
5.1.3 Ansätze zur modellmäßigen Problemorientierung .............. 289
5.2 Wachstumsgrenzen ......................................... 291
5.2.1 Abbremsen des freien Falls ........................ 291
5.2.2 Hemmung der Bevölkerungsvermehrung (Daten und
Modellanpassung) ............................................ 294
5.3 Bivariate lineare Differenzialgleichungs-Systeme ........... 301
5.4 Herleitung bivariater Phasenbilder ....................... 306
5.4.1 Reelle Eigenwerte ........................................ 306
5.4.2 Komplexe Eigenwerte ...................................... 308
5.4.2.1 Beispiel einer Ellipse ..................................... 310
5.4.2.2 Allgemeine Herleitung der Lösung ........................... 313
5.4.2.3 Reduzierte Form und Entflechtung multivariater Systeme .... 316
5.4.3 Spiralen als Phasenbilder .................................. 319
5.4.3.1 Lohn֊Preis-”Spiralen” ...................................... 319
5.4.3.2 Die einfachste Spirale ..................................... 323
5.4.4 Ordnungsschema und Zwischenbilanz .......................... 324
5.4.5 Doppel- und Mehrfachwurzeln ................................ 327
5.5 Systeme mit mehr als zwei Variablen ........................ 330
5.5.1 Interaktion zwischen drei Variablen ........................ 331
5.5.2 Allgemeiner Weg, Differentialgleichungen zu lösen .......... 333
5.6 Fremdeinflüsse und Außen Verankerung (Inhomogene
Differentialgleichungen) .................................... 334
5.6.1 Laplace-Transformationen ................................... 335
5.6.1.1 Erläuterungen zur Laplace-Transformation ................... 336
5.6.1.2 Anwendungen der Laplace-Transformation auf eine
Differentialgleichung ....................................... 338
5.6.1.3 Überlagerung von Schwingungen (Kybernetische Inter-
pretation) ......................................................... 345
5.6.2 Lösungen mit dem Differential-Operator D ................... 348
5.7 Einige nicht-lineare Differentialgleichungen ............... 354
5.7.1 Verfolgung eines beweglichen Ziels ......................... 354
5.7.2 Räuber und Beute (Diskrete Lösung der LV-Trajek-
torie) ...................................................... 359
8
Inhalt
6. Fourier-Zerlegung von Zeitreihen ............................ 365
6.1 Tonerzeugung durch schwingende Saiten (Lösungen par-
tieller Differentialgleichungen, Randwerte) 365
6.2 Diskrete Fourier-Analyse .................................... 372
6.2.1 Wachstumsraten des Brutto-Sozial-Produkts ................... 372
6.2.2 Einheitskreisanalyse ........................................ 376
6.2.3 Berechnung der Fourier-Koeffizienten ........................ 379
6.2.4 Aufbau der Matrizen C und S (Kongruenzrechnung,
zyklische Gruppen) .......................................... 382
6.2.5 Index-Gruppen-Matrizen Ic und Is ............................ 385
6.3 Varianz-Zerlegung ........................................... 388
6.3.1 Brutto-Sozial-Produkt und Inflation ......................... 388
6.3.2 Schwingung der Korrelationsfunktion (Optimale lag-
Schätzung) .................................................. 390
Literatur ................................................... 393
9
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| title_sub | diskrete, stetige und Verlaufsmodelle ; [eine Einführung in die mathematischen Grundlagen für Sozialwissenschaftler] |
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