Der Hansen-Hurwitz-Schätzer und der Horvitz-Thompson-Schätzer bei Auswahl ohne Zurücklegen mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten: ein Genauigkeitsvergleich
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|---|---|
| adam_text | INHALTSVERZEICHNIS i
Inhalt s Verzeichnis
1 Einleitung 1
2 Motivation 3
2.1 Problemstellung 4
2.2 Untersuchungsgegenstand 6
3 Auswahl mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten 8
3.1 Auswahl ohne Zurücklegen 9
3.2 Auswahl- und Einschlußwahrscheinlichkeiten 10
3.3 Größenproportionale Auswahlverfahren 14
3.4 Untersuchte Strategien 16
3.4.1 Horvitz-Thompson-Schätzer mit größenproportionalen Auswahlwahr¬
scheinlichkeiten 16
3.4.2 Horvitz-Thompson-Schätzer mit größenproportionalen Einschlu߬
wahrscheinlichkeiten 17
3.4.3 Hansen-Hurwitz-Schätzer mit größenproportionalen Auswahlwahr¬
scheinlichkeiten 18
3.5 Beispiel von Yates und Grundy 22
4 Vorgehensweise und Lösungsansatz 25
4.1 Berechnungen und Simulationen 26
4.1.1 Bestimmung der Einschlußwahrscheinlichkeiten erster und zweiter
Ordnung 26
4.1.2 Bestimmung der Auswahlwahrscheinlichkeiten bei vorherbestimm¬
ten Einschlußwahrscheinlichkeiten 29
4.2 A priori-Erhebung bei größenproportionalen Einschlußwahrscheinlichkeiten 30
4.3 Fixpopulationsansatz 32
4.3.1 Verwendete Grundgesamtheiten 32
4.3.2 Zum Vergleich gewählte Maße 33
4.3.3 Einfluß des Auswahlsatzes 34
4.4 Superpopulationsansatz 36
4.4.1 Zugrundegelegte Modelle 39
4.4.1.1 Lineares Regressionsmodell 39
4.4.1.2 Loglineare Modelle 42
4.4.2 Verwendete Hilfsmerkmale 45
4.4.3 Zum Vergleich gewählte Maße 46
INHALTSVERZEICHNIS ii
4.4.4 Einfluß des Auswahlsatzes 48
5 Ergebnisse 50
5.1 Fixpopulationsansatz 50
5.1.1 Verwendete Grundgesamtheiten 52
5.1.1.1 Population Nr. 1 52
5.1.1.2 Population Nr. 2 54
5.1.1.3 Population Nr. 3 56
5.1.1.4 Population Nr. 4 58
5.1.1.5 Population Nr. 5 60
5.1.2 Zusammenfassung 62
5.2 Superpopulationsansatz 66
5.2.1 Lineares Regressionsmodell 68
5.2.1.1 Einfluß der Modellparameter 70
5.2.1.2 Einfluß des Auswahlsatzes 72
5.2.1.2.1 Strategie (YHT, pps) 73
5.2.1.2.2 Strategie (Yht, ipps) 79
5.2.1.2.3 Strategie (Yfifi, pps) 81
5.2.1.3 Einfluß des Hilfsmerkmals 84
5.2.1.4 Zusammenfassung 85
5.2.2 Loglineare Modelle 86
5.3 Zusammenfassung 88
6 Schlußbetrachtung 90
A Computerprogramme 92
A.l Rekursive Berechnung der Einschlußwahrscheinlichkeiten 92
A.2 Simulation der Einschlußwahrscheinlichkeiten 94
A.3 Iterativer Suchalgorithmus 96
B Formeln und Berechnungen 98
B.l Auswahl- und Einschlußwahrscheinlichkeiten 98
B.l.l Berechnung der Einschlußwahrscheinlichkeiten zweiter Ordnung . . 98
B.1.2 Umformungen 99
B.2 Maße im Superpopulationsmodell 100
B.2.1 Lineares Regressionsmodell 101
B.2.1.1 Strategie (YHT, pps) 101
B.2.1.2 Strategie (Yht, ipps) 1°4
B.2.1.3 Strategie (Yfiff, pps) 106
INHALTSVERZEICHNIS iii
B.2.1.4 Sonderfälle 114
B.2.1.4.1 Kleinster Stichprobenumfang 114
B.2.1.4.2 Größter Stichprobenumfang 115
B.2.1.4.3 Identische Merkmalswerte des Hilfsmerkmals . . . 116
B.2.2 Loglineares Modell mit additivem Störterm 118
C Matrizen, Tabellen und Abbildungen 122
C.l Matrizen 122
C.2 Tabellen 124
C.3 Abbildungen 136
Literaturverzeichnis 140
ABBILDUNGSVERZEICHNIS iv
Abbildungsverzeichnis
4.1 Effizienzdiagramm für das Yates-Grundy-Beispiel mit y = (2,3,4,5) .... 34
4.2 Effizienzdiagramm für das Yates-Grundy-Beispiel im linearen Regressions¬
modell 49
5.1 Effizienzdiagramm für Population Nr. 1 53
5.2 Effizienzdiagramm für Population Nr. 2 55
5.3 Effizienzdiagramm für Population Nr. 3 57
5.4 Effizienzdiagramm für Population Nr. 4 58
5.5 Effizienzdiagramm für Population Nr. 5 61
5.6 Veränderung der jr,(n)/n mit n für Population Nr. 1 64
5.7 Effizienzdiagramm für Population Nr. 6 (q = 1, ß = 1, a = 1, g = 0) . . . . 68
5.8 Effizienzdiagramm für Population Nr. 6 (a = 1, ß = 1, o = 1, g = 1) . . . . 71
5.9 Effizienzdiagramm für Population Nr. 6 (q = 0, ß = 1.42, a = 10.4, g = 0) 72
5.10 Effizienzdiagramm für (Yht, pps) (a = 1, ß = 1, r = 1, g = 0) 77
5.11 Effizienzdiagramm für (Yht, pps) ( * = 1, ß = 1, r = 0) 78
5.12 Effizienzdiagramm für (YHT, pps) (a = -1, ß = 1, r = 0) 78
5.13 Effizienzdiagramm für (Yht, ipps) (a = ±1, 0 bei., r = 1, g = 0) 8!
5.14 Effizienzdiagramm für (Yffff, pps) (o = ±1, ß bei., r = 1, g = 0) 83
C.l a2-Term, aß-Texm, /?2-Term von (YHr, pps) bei Population Nr. 6 136
C.2 a2-Term, aß-Term, ,32-Term von (YHT, pps) bei Population Nr. 7 136
C.3 a2-Term, o#-Term, /?2-Term von (YHT, pps) bei Population Nr. 8 137
C.4 o2-Term, aß-Term, ß2-Term von (Yht, pps) bei Population Nr. 9 137
C.5 a2-Term, a/3-Term, /?2-Term von (YHT, pps) bei Population Nr. 10 138
C.6 Effizienzdiagramm für Population Nr. 7 (a = 1, ß = 1, er = 1, g = 0) . . . . 138
C.7 Effizienzdiagramm für Population Nr. 8 (a = 1, ß = 1, a = 1, 3 = 0) . . . . 139
C.8 Effizienzdiagramm für Population Nr. 9 (a = 1, ß = 1, r = 1, g = 0) . . . . 139
TABELLENVERZEICHNIS vi
C.21 Werte des a2-Terms von (Yfiffi, pps) für g = 0 134
C.22 Werte des r2-Terms von (Yfifi, pps) für g = 1 135
C.23 Werte des a2 -Terms von (Yfffjf, pps) 135
TABELLENVERZEICHNIS v
Tabellenverzeichnis
3.1 Stichprobenmuster für (Yht, Pps)- und (Yffff, pps)-Strategien 22
3.2 Stichprobenmuster für (Yht-, ipps)-Strategie 24
4.1 Untersuchte natürliche Grundgesamtheiten 32
4.2 Effizienzen für das Yates-Grundy-Beispiel mit y = (2,3,4,5) 34
4.3 Im Superpopulationsansatz verwendete Hilfsmerkmale 46
4.4 Effizienzen für das Yates-Grundy-Beispiel im linearen Regressionsmodell . 48
5.1 Ausprägungen und Parameter der fixierten endlichen Grundgesamtheiten . 51
5.2 Effizienzen für Population Nr. 1 53
5.3 Effizienzen für Population Nr. 2 55
5.4 Effizienzen für Population Nr. 3 57
5.5 Effizienzen für Population Nr. 4 59
5.6 Effizienzen für Population Nr. 5 62
5.7 Ausprägungen und Parameter der im Superpopulationsansatz verwendeten
Hilfsmerkmale 66
C.l Effizienzen für Population Nr. 6 (q = 1, ß = 1, a = 1, g = 0) 124
C.2 Effizienzen für Population Nr. 6 (q = 1, ß = 1, a = 1, g = 1) 125
C.3 Effizienzen für Population Nr. 6 (a = 0, ß = 1.42, a = 10.4, g = 0) 125
C.4 Effizienzen für (YHT, pps) (a = -1, ß = 1, a = 0) 126
C.5 Effizienzen für (YHT, Pps) (a = 1, ß = 1, a = 0) 126
C.6 Effizienzen für (YHT, pps) (a = 1, ß = 1, a = 1, g = 0) 127
C.7 Effizienzen für (YHT, ipps) (a = ±1, ß bei., «7 = 1,^ = 0) 127
C.8 Effizienzen für (Yffif, pps) (a = ±1, ß bei., r = 1, g = 0) 128
C.9 Effizienzen für Population Nr. 10 (a = 1, ß = 1, r = 1, g = 0) 128
CIO Werte des Q2-Terms von (VW, pps) 129
C.ll Werte der Summe £,1i 1/tt, 129
C.12 Werte der Doppelsumme EiliEjLi t.j/t.Tj 130
C.13 Werte des a/J-Terms von (f//r, pps) 130
C.14 Werte der Summe £,1i *,/*% 131
C.15 Werte der Doppelsumme £Üi £?=i x^z, + x^/jt.jt, 131
C.16 Werte des ,32-Terms von {Yht, pps) 132
C.17 Werte der Summe ££, i?/jr,- 132
C.18 Werte der Doppelsumme ££1 EjU ir.jXjij/Tr.Tr, 133
C.19 Werte des a2-Terms von (Yht, ipps) 133
C.20 Werte des a2-Terms von (Yfffi, pps) 134
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