Vektoranalysis: Einführung, Aufgaben, Lösungen
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1995
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VEKTORANALYSIS
EINFUEHRUNG YY AUFGABEN YY LOESUNGEN
AUS DEM AMERIKANISCHEN
VON KLARA BUESS
MIT 343 ABBILDUNGEN
SPEKTRU
M AKADEMISCHE
R VERLAG HEIDELBER
G YY BERLI
N YY OXFORD
INHALT
VORWOR
T
IX
VORAUSSETZUNGEN UND BEZEICHNUNGE
N X
DANKSAGUN
G XII
I
1 GEOMETRI
E IM EUKLIDISCHE
N RAU
M
1
1.1 VEKTOREN IM DREIDIMENSIONALE
N RAU
M 1
1.2 DA
S INNER
E PRODUK
T 21
1.3 DA
S AEUSSER
E PRODUK
T 30
1.4 ZYLINDER
- UND KUGELKOORDINATE
N 48
1.5 DE
R N-DIMENSIONAL
E EUKLIDISCH
E RAU
M 57
2 DIFFERENTIATIO
N
70
2.1 DI
E GEOMETRISCH
E DARSTELLUN
G REELL WERTIGE
R FUNKTIONE
N ...
. 7
1
2.2 GRENZWER
T UND STETIGKEI
T 9
0
ERGAENZUN
G ZU ABSCHNIT
T 2.2: DIE DEFINITION DE
S GRENZWERTE
S MIT
HILFE DER ZAHLE
N
E
UND
8
105
2.3 DIFFERENTIATION 113
2.4 EIGENSCHAFTEN DER ABLEITUN
G 126
2.5 GRADIEN
T UND RICHTUNGSABLEITUN
G 140
2.6 ITERIERT
E PARTIELL
E ABLEITUNGE
N 152
2.7 EINIG
E MATHEMATISC
H RELEVANT
E DIFFERENTIATIONSSAETZ
E 164
3 VEKTORWERTIG
E FUNKTIONE
N
178
3.1 WEG UND GESCHWINDIGKEI
T 178
3.2 DI
E BOGENLAENG
E 190
3.3 VEKTORFELDER 20
0
ERGAENZUN
G ZU ABSCHNIT
T 3.3
. DER FLU
SS VON VEKTORFELDERN . . . 207
3.4 DIVERGEN
Z UND ROTATIO
N EINE
S VEKTORFELDES 209
ERGAENZUN
G ZU ABSCHNIT
T 3.4: DIE GEOMETRISCH
E BEDEUTUN
G DER
DIVERGEN
Z 215
3.5 VEKTORANALYSIS 219
VI INHALT
4 ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG; MAXIMA UND MINIMA
228
4.1 DER TAYLORSCHE SATZ 228
DIE EXPLIZITE FORM DES RESTGLIEDES 232
4.2 EXTREMWERTE REELLWERTIGER FUNKTIONEN 235
4.3 EXTREMA MIT NEBENBEDINGUNGEN UND DER LAGRANGESCHE
MULTIPLIKATOR 252
ERGAENZUNG ZU ABSCHNITT 4.3: EIN VERFAHREN ZUR KLASSIFIZIERUNG DER
EXTREMWERTE MIT NEBENBEDINGUNGEN MIT HILFE DER ZWEITEN
ABLEITUNGEN 259
4.4 DER UMKEHRSATZ FUER IMPLIZITE FUNKTIONEN 268
4.5 EINIGE ANWENDUNGEN 279
5 DOPPELINTEGRALE
290
5.1 EINFUEHRUNG 290
5.2 DAS DOPPELINTEGRAL UEBER EIN RECHTECK 300
5.3 DAS DOPPELINTEGRAL UEBER ALLGEMEINERE BEREICHE 315
5.4 AENDERUNG DER INTEGRATIONSREIHENFOLGE 323
5.5 EINIGE FORMAL-MATHEMATISCHE INTEGRATIONSSAETZE 329
6 DREIFACHINTEGRAL, VARIABLENTRANSFORMATION UND ANWENDUNGEN
. 341
6.1 DREIFACHINTEGRALE 341
6.2 DIE GEOMETRISCHE BEDEUTUNG VON ABBILDUNGEN VON R
2
NACH R
2
350
6.3 DIE TRANSFORMATIONSREGEL FUER DIE VARIABLEN 357
6.4 ANWENDUNG DES DOPPEL- UND DES DREIFACHINTEGRALS 374
6.5 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 386
7 INTEGRALE UEBER WEGE UND FLAECHEN
393
7.1 DAS WEGINTEGRAL 393
7.2 KURVENINTEGRALE 399
7.3 PARAMETRISIERTE FLAECHEN 420
7.4 DER FLAECHENINHALT EINER FLAECHE 429
ERGAENZUNG: FLAECHENINHAELTUND UNEIGENTLICHES INTEGRAL 434
7.5 INTEGRALE SKALARER FUNKTIONEN UEBER FLAECHEN 444
7.6 FLAECHENINTEGRALE VEKTORIELLER FUNKTIONEN 452
8 DIE INTEGRALSAETZE DER VEKTORANALYSIS
468
8.1 DER GREENSCHE SATZ 468
8.2 DER STOKESSCHE SATZ 482
8.3 KONSERVATIVE FELDER 496
8.4 DER GAUSSSCHE SATZ 507
FAKULTATIVER ABSCHNITT: BEWEIS DES GAUSSSCHEN GESETZES . . . 516
ERGAENZUNG ZU ABSCHNITT 8.4: DIVERGENZ UND ROTATION IN KUGEL- UND
ZYLINDERKOORDINATEN 518
INHALT VII
8.5 ANWENDUNGEN IN DER PHYSIK UND BEI DER LOESUNG VON
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 522
8.6 DIFFERENTIALFORMEN 543
LOESUNGEN FUER DIE AUFGABEN MIT UNGERADER NUMERIERUNG 560
SYMBOLINDEX 621
ANHANG 623
INTEGRALFORMELN
623
ABLEITUNGEN 628
SACHWORTVERZEICHNIS 629
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