Numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen mit finiten Differenzen: eine methodische Einführung am Beispiel der Wärmeleitung ; mit 16 Tabellen sowie zahlreichen Programmbeispielen
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| Language: | German |
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Buchloe
Moreno-Verl.
1995
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INHALTSVERZEICHNIS
SYMBOLVERZEICHNIS
X
1
EINLEITUNG
1
2
DIE
DISKRETISIERUNG
DER
GEOMETRIE
5
2.1
DER
PROZESS
DER
DISKRETISIERUNG
.
5
2.2
DISKRETISIERUNGSHINWEISE
FUER
DIE
PRAXIS
.
6
3
DAS
AU&TELLEN
DER
APPROXIMATIONSGLEICHUNGEN
9
3.1
PUNKTE
IM
INNEREN
DES
BERECHNUNGSGEBIETS
.
9
3.1.1
ENDLICHE
DIFFERENZENAPPROXIMATIONEN
FFIR
ABLEITUNGEN
.
9
3.1.2
DIE
DIFFERENTIALGLEICHUNG
INSTATIONAERER,
MEHRDIMENSIONALER
WAERMELEITUNG
11
3.1.2.1
DIE
WAERMELEITUNGSGLEICHUNG
FUER
EIN-,
ZWEI
UND
DREIDIMENSIONALE
KOERPER
IN
KARTESISCHEN
KOORDINATEN
.
11
3.1.2.2
DIE
ZWEIDIMENSIONALE
WAERMELEITUNGSGLEICHUNG
FUER
ROTATIONSSYM
METRISCHE
KOERPER
.
15
3.1.2.3
EIN
BEISPIEL:
ZWEIDIMENSIONALE
STATIONAERE
WAERMELEITUNG
IN
ZY
LINDERKOORDINATEN
.
18
3.1.3
DIFFERENZENGLEICHUNGEN
FUER
STATIONAERE
WAERMELEITUNGSPROBLEME
.
23
3.1.4
DIE
EXPLIZITE
FINITE
DIFFERENZENAPPROXIMATION
.
24
3.1.5
DIE
IMPLIZITE
FINITE
DIFFERENZENAPPROXIMATION
.
25
3.1.6
DIE
ALLGEMEINE
FINITE
DIFFERENZENAPPROXIMATION
.
26
3.1.7
DAS
CRANK-NICOLSON-VERFAHREN
.
27
3.1.8
DAS
EXPONENTIAL
UND
POWER-LAW-SCHEMA
.
28
3.1.9
EIN
BEISPIEL:
VERHALTEN
DER
VERSCHIEDENEN
DIFFERENZENSCHEMEN
FUER
EINDI
MENSIONALE
INSTATIONAERE
WAERMELEITUNG
.
32
3.1.10
DAS
ADI-VERFAHREN
.
35
3.1.11
ZUSAMMENSTELLUNG
DER
DIFFERENZENGLEICHUNGEN
.
37
3.2
RAND-
UND
RANDNAHE
PUNKTE
.
37
3.2.1
DIE
VERSCHIEDENEN
RANDBEDINGUNGEN
.
38
3.2.1.1
DIE
RANDBEDINGUNG
1.
ART
.
38
3.2.1.2
DIE
RANDBEDINGUNG
2.
ART
.
38
3.2.1.3
DIE
RANDBEDINGUNG
3.
ART
.
39
3.2.2
ERMITTLUNG
VON
WAERMEUEBERGANGSKOEFFIZIENTEN
.
40
3.2.3
RANDPUNKTE
.
42
3.2.3.1
RANDPUNKTE
AN
ZWEIDIMENSIONALEN,
GERADLINIG
BEGRENZTEN
OBER
FLAECHEN
.
42
3.2.3.2
RANDPUNKTE
AN
ZWEIDIMENSIONALEN,
GEKRUEMMTEN
OBERFLAECHEN
.
.
47
3.2.4
RANDNAHE
PUNKTE
.
51
3.2.5
ZUSAMMENSTELLUNG
DER
DIFFERENZENGLEICHUNGEN
.
53
4
DIE
LOESUNG
DER
LINEAREN
GLEICHUNGSSYSTEME
54
4.1
DIREKTE
METHODEN
ZUR
LOESUNG
LINEARER
GLEICHUNGSSYSTEME
.
54
4.1.1
EINIGE
GRUNDBEGRIFFE
AUS
DER
MATRIZENRECHNUNG
.
54
4.1.1.1
QUADRATISCHE
MATRIZEN
.
54
4.1.1.2
DUENNBESIEDELTE
MATRIZEN
.
54
4.1.1.3
BANDMATRIZEN
.
54
4.1.1.4
UNTERE
UND
OBERE
DREIECKSMATRIZEN
.
55
4.1.1.5
DIAGONALDOMINANZ
EINER
MATRIX
.
56
4.1.1.6
REGULAERE
UND
SINGULAERE
MATRIZEN
.
56
4.1.1.7
DIAGONALMATRIX
UND
EINHEITSMATRIX
.
56
4.1.1.8
PERMUTATIONSMATRIX
.
56
4.1.1.9
TRANSPONIERTE
MATRIX
.
56
4.1.1.10
INVERSE
MATRIX
.
56
4.1.1.11
SYMMETRISCHE
MATRIX
.
57
4.1.1.12
VEKTOR
UND
MATRIZENNORMEN
.
57
4.1.2
DAS
PRINZIP
DER
DIREKTEN
VERFAHREN:
DIE
LU-FAKTORISIERUNG
.
58
4.1.3
EIN
BEISPIEL
ZUR
LU-FAKTORISIERUNG
.
60
4.1.4
DER
GAUSS
'
SCHE
ALGORITHMUS
(GA)
.
61
4.1.5
DAS
GAUSS-JORDAN-VERFAHREN
(GJ)
.
64
4.1.6
EIN
BEISPIEL
ZUM
GAUSS
'
SCHEN
ALGORITHMUS
UND
GAUSS-JORDAN-VERFAHREN
.
.
65
4.1.7
MATRIXINVERSION
UND
CRAMER
'
SCHE
REGEL
.
67
4.1.8
DIE
LOESUNG
TRIDIAGONALER
GLEICHUNGSSYSTEME:
DER
THOMAS-ALGORITHMUS
.
68
4.1.9
DIE
LOESUNG
PENTADIAGONALER
GLEICHUNGSSYSTEME
.
69
4.1.10
DIREKTE
METHODEN
FUER
DUENNBESIEDELTE
SYSTEME
.
71
4.1.11
DIE
GENAUIGKEIT
DER
LOESUNG
EINES
GLEICHUNGSSYSTEMS
.
72
4.1.11.1
DIE
KONDITIONSZAHL
EINER
MATRIX
.
72
4.1.11.2
VERBESSERUNG
DER
KONDITION
.
73
4.1.11.3
DIE
MASCHINENGENAUIGKEIT
.
74
4.2
ITERATIVE
METHODEN
ZUR
LOESUNG
LINEARER
GLEICHUNGSSYSTEME
.
75
4.2.1
DIE
JACOBI-ITERATION
(JI)
.
75
4.2.2
DIE
GAUSS-SEIDEL-ITERATION
(GS)
.
77
4.2.3
EIN
BEISPIEL
ZUR
JACOBI
UND
GAUSS-SEIDEL-ITERATION
.
77
4.2.4
DAS
SUKZESSIVE
UEBERRELAXATIONSVERFAHREN
(SOR)
.
80
4.2.5
EIN
BEISPIEL
ZUR
SOR-METHODE
.
84
4.2.6
EIN
KURZER
AUSBLICK
AUF
ANDERE
ITERATIVE
VERFAHREN
.
85
5
STABILITAET
UND
KONVERGENS
80
5.1
BEGRIFFSDEFINITIONEN
.
86
5.1.1
FEHLER
.
86
5.1.2
STABILITAET
.
86
5.1.3
KONSISTENZ
UND
KONVERGENZ
.
87
5.2
ANWENDUNG
DER
DEFINITIONEN
AUF
VERSCHIEDENE
DIFFERENZENSCHEMEN
.
87
5.2.1
FEHLER
.
87
5.2.2
KONVERGENZ
.
87
5.2.3
STABILITAET
.
88
5.2.4
EIN
BEISPIEL
FUER
DIE
INSTABILITAET
EINES
DIFFERENZENSCHEMAS
.
89
5.3
NUMERISCHE
OSZILLATIONEN
.
90
5.3.1
FORDERUNG
DER
POSITIVEN
KOEFFIZIENTEN
.
90
5.3.2
EIN
EINDIMENSIONALES
BEISPIEL
FUER
NUMERISCHE
OSZILLATIONEN
.
92
5.4
AUSWAHLKRITERIEN
FUER
DIE
VERSCHIEDENEN
DIFFERENZENSCHEMEN
.
94
ANHANG
97
A
AUSGEWAEHLTE
THERMOPHYSIKALISCHE
STOFFWERTE
97
A.L
FESTSTOFFE
.
97
A.2
FLUESSIGKEITEN
.
103
A.3
GASE
(BEI
1
BAR)
.
104
B
PROGRAMMLISTINGS
105
B.L
ZWEIDIMENSIONALE
STATIONAERE
WAERMELEITUNG
IN
ZYLINDERKOORDINATEN
.
105
B.2
VERGLEICH
VERSCHIEDENER
EINDIMENSIONALER
INSTATIONAERER
DIFFERENZENSCHEMEN
.
111
B.3
BERECHNUNG
DER
MASCHINENGENAUIGKEIT
.
118
B.4
UEBERPRUEFUNG
DER
DIAGONALDOMINANZ
EINER
MATRIX
.
118
B.5
GAUFL
'
SCHER
ALGORITHMUS
MIT
TEILWEISER
PIVOTISIERUNG
.
121
B.6
TRIDIAGONALSOLVER
.
123
B.7
PENTADIAGONALSOLVER
.
124
B.8
HADAMARD
'
SCHE
KONDITIONSZAHL
EINER
MATRIX
.
125
B.9
KONDITIONSZAHL
EINER
MATRIX
NACH
FORSYTHE
ET
AL
.
128
B.10
SOR-VERFAHREN
.
132
B.LL
EINDIMENSIONALE
INSTATIONAERE
WAERMELEITUNG
(EXPLIZIT)
.
135 |
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