Mathematische Hilfsmittel der Physik:
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| Language: | German |
| Published: |
Heidelberg [u.a.]
Barth
1995
|
| Edition: | 5., erw. Aufl. |
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
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| ISBN: | 3335004043 |
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Inhalt
1 Komplexe Zahlen 11
1.1 Einführung und algebraische Darstellung 11
1.2 Trigonometrische Darstellung, Moivresche Formel 13
1.3 Exponentialdarstellung, Eulersche Formel 15
1.4 Graphische Addition und Multiplikation 16
1.5 Radizieren 18
1.6 Potenzieren und Logarithmieren 18
1.7 Formelzusamnienstellung 19
1.8 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 1 20
2 Differentialrechnung 21
2.1 Funktionsbegriff 21
2.1.1 Monotone Funktion 21
2.1.2 Beschränkte Funktion 21
2.1.3 Periodische Funktion 22
2.1.4 Gerade und ungerade Funktionen 22
2.1.5 Rationale Funktionen 24
2.1.5.1 Ganzrationale Funktionen 24
2.1.5.2 Gebrochenrationale Funktionen 24
2.1.6 Nichtrationale Funktionen 25
2.1.7 Implizite Funktionen, Kegelschnittgleichungen 26
2.1.7.1 Allgemeine Gleichung zweiten Grades; Kegelschnitte 26
2.1.7.2 Polarkoordinaten der Kegelschnitte 29
2.2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 30
2.2.1 Stetige Funktionen 30
2.2.2 Differenzierbare Funktionen 30
2.2.3 Geometrische Bedeutung der Ableitung 31
2.2.4 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 33
2.2.5 Physikalische Bedeutung der Ableitung 33
2.3 Differentiationsregeln 34
2.3.1 Ableitung einiger elementarer Funktionen 34
2.3.2 Ableitung von Summen. Differenzen, Produkten und Quotienten 34
2.3.3 Inverse Funktion und ihre Ableitungen 35
2.3.4 Ableitung von mittelbaren Funktionen 38
2.3.5 Ableitung einer impliziten Funktion 39
2.4 Differentiale 41
2.5 Höhere Ableitungen 42
2.5.1 Die re te Ableitung eines Produkts, Binomialkoeffizienten 43
2.5.2 Physikalische Bedeutung höherer Ableitungen 44
2.5.3 Geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung 45
2.5.4 Die Bernoulli L'Hospitalsche Regel 46
6 Inhalt
2.5.5 Ordnung von Null und Unendlichkeitsstellen 49
2.6 Funktionen mehrerer unabhängiger Variabler 50
2.6.1 Definition und geometrische Darstellung 50
2.6.2 Partielle Ableitung und totales Differential 52
2.6.3 Homogene Funktionen und Eulersches Theorem 55
2.7 Formelzusammenstellung 56
2.8 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2 57
3 Integralrechnung 59
3.1 Der Riemannsche Integralbegriff 59
3.1.1 Eigenschaften des bestimmten Integrals 59
3.1.2 Geometrische und physikalische Bedeutung des Integrals 61
3.2 Der Mittelwertsatz der Integralrechnung 63
3.3 Das unbestimmte Integral 64
3.3.1 Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Grenze 64
3.3.2 Hauptsatz der Differential und Integralrechnung 65
3.4 Integrationsregeln 65
3.4.1 Grundintegrale 65
3.4.2 Integration einer Summe 65
3.4.3 Integration eines Produkts 66
3.4.4 Einführung einer neuen Veränderlichen 67
3.4.5 Integration rationaler Funktionen 70
3.4.6 Integration gerader und ungerader Funktionen 74
3.5 Elliptische Integrale 75
3.6 Integrale von Funktionen mehrerer Variabler 77
3.6.1 Integrale als Funktion eines Parameters 77
3.6.2 Differentiation eines Parameterintegrals, Leibnizsche Formel 79
3.6.3 Integration eines Parameterintegrals, Doppelintegrale 80
3.6.4 Dreifache Integrale 83
3.6.5 Variablentransformation bei mehrfachen Integralen 84
3.7 Formelzusammenstellung und Integrationstabellen 88
3.7.1 Allgemeine Integrationsregeln 88
3.7.2 Differentiations und Integrationstabellen 89
3.8 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 3 92
4 Reihenentwicklungen von Funktionen 94
4.1 Taylorsche Formel und Taylorsche Reihe 94
4.1.1 Unendliche Reihen 94
4.1.2 Taylor Entwicklung für Funktionen einer Variablen 96
4.1.2.1 Die Exponentialfunktionen 98
4.1.2.2 Die Hyperbelfunktionen 100
4.1.2.3 Die trigonometrischen Funktionen 102
4.1.2.4 Die binomische Reihe 106
4.1.2.5 Die Logarithmusfunktion 107
4.1.3 Taylor Entwicklung für Funktionen von mehreren Variablen 109
4.2 Orthonormierte Funktionensysteme 111
Inhalt 7
4.2.1 Skalarprodukt, Normierung 111
4.2.2 Vollständigkeitsrelation 113
4.2.3 Fourierreihendarstellung 115
4.2.4 Fourierintegraldarstellung (Fouriertransformation) 122
4.3 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 4 123
5 Komplexe Funktionen 125
5.1 Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen 125
5.1.1 Definition, Abbildung 125
5.1.2 Umgebung eines Punktes, Grenzwert 129
5.2 Stetigkeit, Differenzierbarkeit komplexer Funktionen 131
5.2.1 Stetigkeit komplexer Funktionen 131
5.2.2 Differenzierbarkeit komplexer Funktionen 132
5.2.3 Geometrische Bedeutung der Ableitung, konforme Abbildung 136
5.3 Integration komplexer Funktionen 137
5.3.1 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion 137
5.3.2 Kurvenintegral 137
5.3.3 Berechnung von Kurvenintegralen 140
5.3.4 Cauchyscher Integralsatz 142
5.3.5 Cauchysche Integralformeln 145
5.4 Reihen komplexer Funktionen 147
5.4.1 Reihen analytischer Funktionen, Potenzreihen 147
5.4.1.1 Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz 147
5.4.1.2 Entwicklung analytischer Funktionen in Potenzreihen 149
5.4.1.3 Analytische Fortsetzung durch Potenzreihen 150
5.4.2 Laurentreihen 153
5.5 Das Residuum einer Funktion 155
5.5.1 Berechnung der Residuen von Polstellen 156
5.5.2 Cauchyscher Residuensatz 158
5.5.3 Anwendungen des Residuensatzes 158
5.5.3.1 Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz 159
5.5.3.2 Kurvenintegrale mit Singularitäten auf der reellen Achse 165
5.5.3.3 Summation von Reihen mit dem Residuensatz 167
5.6 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 5 168
6 Gewöhnliche Differentialgleichungen 170
6.1 Begriff und Klassifizierung 170
6.2 Die lineare Differentialgleichung 172
6.2.1 Die homogene lineare Differentialgleichung 172
6.2.2 Die inhomogene lineare Differentialgleichung 178
6.2.3 Die Schwingungsdifferentialgleichung 181
6.3 Differentialgleichungen erster Ordnung 185
6.3.1 Die exakte Differentialgleichung 186
6.3.2 Differentialgleichung mit getrennten Variablen 188
6.3.3 Variation der Konstanten 190
6.4 Differentialgleichungen zweiter Ordnung 191
8 Inhalt
6.4.1 Die Differentialgleichung y" = f(y', x) 192
6.4.2 Die Differentialgleichung y" = f(y', y) 192
6.4.3 Die Differentialgleichung y" f(y) 193
6.4.4 Potenzreihenmethode, orthonormierte Polynomfunktionen 194
6.4.4.1 Hermitesche Polynome 195
6.4.4.2 Legendresche Polynome 198
6.4.4.3 Laguerresche Polynome 199
6.5 Laplacetransformation 200
6.5.1 Original und Bildfunktion 200
6.5.2 Rechenregeln der Laplacetransformation 202
6.5.3 Lösung von Dgln. mittels Laplacetransformation 205
6.5.4 Tabelle für die Laplacetransformation 207
6.6 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 6 208
7 Vektoralgebra 211
7.1 Skalare, Verschiebungen, Vektoren 211
7.1.1 Skalare 211
7.1.2 Verschiebungen und Vektoren 212
7.2 Skalarprodukt 217
7.2.1 Darstellung des Skalarprodukts in kartesischen Koordinaten 219
7.2.2 Basisdrehung 222
7.3 Vektorprodukt 225
7.3.1 Darstellung des Vektorprodukts in kartesischen Koordinaten 226
7.4 Tensorielles Produkt und Tensoren 229
7.5 Mehrfache Produkte von Vektoren 234
7.6 Determinanten 239
7.6.1 Volumen eines n dimensionalen Parallelflachs 241
7.6.2 Auflösung linearer Gleichungssysteme mit Determinanten 242
7.7 Matrizen 244
7.7.1 Spezielle Matrizen 246
7.8 Hauptachsentransformation symmetrischer Tensoren 247
7.8.1 Trägheitstensor, Hauptträgheitsmomente, Hauptträgheitsachsen 254
7.9 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 7 258
8 Vektoranalysis 265
8.1 Vektoren als Funktion eines reellen Parameters 265
8.1.1 Skalarfeld, Vektorfeld 265
8.1.2 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter 265
8.1.3 Ortsvektor und Differential in Zylinder und Kugelkoordinaten 270
8.1.4 Winkelgeschwindigkeit 273
8.1.5 Eulersche Winkel 274
8.1.6 Rotationsenergie und Zustandsintegral für die Drehung 276
8.1.7 Integration eines Vektors nach einem Parameter 277
8.2 Gradient, Divergenz, Rotation 278
8.2.1 Gradient eines Skalarfeldes und Vektoroperator Nabla 278
8.2.2 Gradient eines Vektorfeldes 283
Inhalt 9
8.2.3 Divergenz 286
8.2.4 Rotation 287
8.2.5 Zweifache Anwendung von Nabla 288
8.3 Kurven , Flächen und Volumenintegrale 290
8.3.1 Kurvenintegrale 290
8.3.2 Integraldarstellung der Rotation und Stokesscher Integralsatz 292
8.3.3 Magnetfeldberechnungen 294
8.3.3.1 Magnetische Feldstärke eines linienförmigen Gleichstromes 294
8.3.3.2 Magnetisches Potential für eine Stromschleife 295
8.3.4 Flächenintegrale 297
8.3.5 Integraldarstellung des Gradienten und Gaußscher Integralsatz 301
8.3.6 Volumenintegrale 304
8.4 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 8 305
9 Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung 313
9.1 Klassifizierung der Differentialgleichungen 313
9.1.1 Transformation der lin. part. Dgl. 2. Ordnung auf Normalform 315
9.2 Hyperbolische Differentialgleichungen 318
9.2.1 Differentialgleichung der schwingenden Saite 318
9.2.1.1 D'Alembertsche Lösung 318
9.2.1.2 Separationsmethode, Produktansatz 319
9.2.2 Differentialgleichung der schwingenden Kreismembran 323
9.2.3 Die Wellendifferentialgleichung 324
9.3 Elliptische Differentialgleichungen 325
9.3.1 Die Poissonsche Differentialgleichung 326
9.3.2 Die Laplacesche Differentialgleichung 328
9.4 Parabolische Differentialgleichungen 331
9.4.1 Die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung 331
9.4.2 Die eindimensionale Schrödingergleichung 332
9.5 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 336
10 Variationsrechnung 339
10.1 Eine abhängige Variable 339
10.1.1 Herleitung der Eulerschen Differentialgleichung 339
10.1.2 Beispiele: Minimalflächen, Fermat Prinzip, Brachystochrone 341
10.2 Mehrere abhängige Variablen 345
10.2.1 Das Hamiltonsche Prinzip 346
10.2.2 Punktmasse im Schwerefeld der rotierenden Erde 347
10.2.3 Punktladung im elektromagnetischen Feld 347
10.3 Mehrere unabhängige Variablen 348
10.3.1 Die schwingende Saite als Variationsproblem 349
10.3.2 Die schwingende Membran als Variationsproblem 350
10.4 Variationsprobleme mit Nebenbedingungen 352
10.4.1 Eigenwertproblem als Variationsproblem 353
10.4.2 Die Ritzsche Lösungsmethode für ein Variationsproblem 354
10.5 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 356
10 Inhalt
11 Spezielle Funktionen 360
11.1 Fresnelsche Integrale 360
11.2 Fakultät, Gammafunktion 363
11.2.1 Eulersche Integraldarstellug 363
11.2.2 Produktdarstellung der Fakultät 365
11.2.3 Sattelpunktmethode, Stirlingsche Formel 366
11.3 Zylinderfunktionen 367
11.3.1 Besselfunktionen 368
11.3.1.1 Reihenentwicklungen 369
11.3.1.2 Orthogonalitätsrelationen 370
11.3.2 Neumannfunktionen 372
11.3.3 Drehsymmetrische Wellen auf einer Kreismembran 373
11.3.4 Hankelfunktionen 375
11.3.4.1 Asymptotische Näherungen 376
11.3.4.2 Beugung an einem Zylinder 377
11.4 Kugelfunktionen 378
11.4.1 Kugelfunktionen der Kugelkoordinaten 379
11.4.2 Kugelflächenfunktionen nullten und ersten Grades 379
11.4.3 Kugelflächenfunktionen zweiten und höheren Grades 380
11.4.4 Kugelfunktionen negativen Grades 382
11.4.5 Erzeugende Funktion der Legendreschen Polynome 383
11.5 Die Sprungfunktion 384
11.6 Die Deltafunktion 386
11.7 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 11 394
12 Unitärer Raum, Hilbert Raum 398
12.1 Unitärer Raum 398
12.2 Hilbert Raum 402
12.3 Operatoren im Hilbert Raum 405
12.4 Eigenwertproblem selbstadjungierter Operatoren 412
12.5 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 12 417
Literatur 421
Sachverzeichnis 426 |
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