Solutions de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi:
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Paris [u.a.]
Springer
1994
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17 |
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| adam_text | Table des Matières
1 INTRODUCTION 1
1.1 Premier type de problème : le sens de l équation 2
1.2 Deuxième type de problème : le sens des conditions aux limites . 3
1.3 Troisième type de problème : l unicité des solutions 5
1.4 Quatrième type de problème : les passages à la limite 6
Notes bibliographiques de l introduction 7
2 SOLUTIONS DE VISCOSITE CONTINUES DES EQUATIONS DU
PREMIER ORDRE 9
2.1 Solutions de viscosité: présentation et définition 9
Notes bibliographiques de la section 2.1 15
2.2 Propriétés générales des solutions de viscosité 16
Notes bibliographiques de la section 2.2 19
2.3 Le résultat de stabilité 21
Notes bibliographiques de la section 2.3 24
2.4 Les premiers résultats d unicité: cas des ouverts bornés 25
2.4.1 Le premier résultat d unicité 25
2.4.2 Le cas des hamiltoniens coercifs ou pseudo coercifs ... 32
2.4.3 Premières extensions 37
Notes bibliographiques de la section 2.4 45
2.5 Résultats d unicité dans 1RN 47
Notes bibliographiques de la section 2.5 51
2.6 Résultats d existence 52
2.6.1 Cas des hamiltoniens coercifs dans IRN 52
2.6.2 Le cas général dans MN 55
2.6.3 Application au problème de Dirichlet 59
Notes bibliographiques de la section 2.6 61
3 PROBLEMES DE CONTROLE DETERMINISTE DANS JRN ... 63
3.1 Problèmes de contrôle optimal déterministe en horizon infini: le
cas standard 63
3.1.1 Description du problème 63
3.1.2 Le Principe de la Programmation Dynamique 65
3.1.3 Régularité de la fonction valeur . . v 67
VU! Table des Matières
3.1.4 L équation de Bellman 68
3.2 Extensions 70
3.2.1 Problèmes de temps d arrêt 70
3.2.2 Problèmes de contrôle impulsionnel 71
3.2.3 Problème de contrôle en horizon fini 73
Notes bibliographiques des sections 3.1 et 3.2 74
4 SOLUTIONS DE VISCOSITE DISCONTINUES DES EQUATIONS
DU PREMIER ORDRE 77
4.1 Introduction 77
4.2 Solutions de viscosité discontinues d équations discontinues ... 79
4.3 Le résultat de stabilité discontinue 84
Notes bibliographiques des sections 4.1, 4.2 et 4.3 91
4.4 Les résultats d unicité forte 92
4.4.1 Le Principe du Maximum pour les solutions discontinues 92
4.4.2 Le cas de MN 93
4.4.3 Conditions aux limites de Neumann 94
4.4.4 Conditions aux limites de Dirichlet 96
4.4.5 Les équations d évolution 99
Notes bibliographiques de la section 4.4 106
5 PROBLEMES DE CONTROLE DETERMINISTE DANS DES OUVERTS
BORNES 107
5.1 Problèmes de temps de sortie 107
5.1.1 Problèmes de temps de sortie: l approche continue. . . . 108
5.1.2 Problèmes de temps de sortie: l approche discontinue. . . 116
5.1.3 Problèmes avec contraintes d état 125
Notes bibliographiques de la section 5.1 127
5.2 Problèmes de contrôle de trajectoires réfléchies 129
Notes bibliographiques de la section 5.2 131
5.3 Solutions de viscosité et hamiltoniens convexes 133
Notes bibliographiques de la section 5.3 142
6 PROBLEMES DE PERTURBATIONS SINGULIERES 143
6.1 Introduction 143
6.2 Applications aux problèmes de Grandes Déviations 145
Notes bibliographiques des sections 6.1 et 6.2 157
7 APPENDICE 161
7.1 Les preuves des résultats d unicité forte 161
7.1.1 Preuve du théorème 4.4 161
7.1.2 Preuve du théorème 4.5 166
Notes bibliographiques de la section 7.1 170
7.2 Une introduction aux formules explicites 171
Notes bibliographique de la section 7.2 174
Table des Matières IX
Références bibliographiques 177
Liste des principales hypothèses 189
Index 193
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