Cohomologie galoisienne:
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| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
1994
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5 |
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|---|---|
| adam_text | Table des matières
Chapitre I. Cohomologie des groupes proflnis
§ 1. Groupes proflnis 2
1.1. Définition 2
1.2. Sous groupes 3
1.3. Indices 4
1.4. Pro p groupes et p groupes de Sylow 5
1.5. Pro p groupes libres 6
§ 2. Cohomologie 8
2.1. Les G modules discrets 8
2.2. Cochâmes, cocycles, cohomologie 8
2.3. Basses dimensions 9
2.4. Fonctorialité 10
2.5. Modules induits 11
2.6. Compléments 12
§ 3. Dimension cohomologique 15
3.1. La p dimension cohomologique 15
3.2. Dimension cohomologique stricte 16
3.3. Dimension cohomologique des sous groupes et des extensions 17
3.4. Caractérisation des groupes profinis G tels que cdp(G) 1 19
3.5. Module dualisant 22
§ 4. Cohomologie des pro p groupes 25
4.1. Modules simples 25
4.2. Interprétation de if1: générateurs 27
4.3. Interprétation de H3: relations 30
4.4. Un théorème de Safarevic 32
4.5. Groupes de Poincaré 35
§ 5. Cohomologie non abélienne 42
5.1. Définition de H° et de H1 42
5.2. Espaces principaux homogènes sur A nouvelle définition de 1(G, A) 43
5.3. Torsion 44
5.4. Suite exacte de cohomologie associée à un sous groupe 47
5.5. Suite exacte de cohomologie associée à un sous groupe distingué 49
5.6. Cas d un sous groupe abélien distingué 50
5.7. Cas d un sous groupe central 52
5.8. Compléments 54
5.9. Une propriété des groupes de dimension cohomologique 1 54
Indications bibliographiques sur le Chapitre I 58
Annexes
1. (J. Tate) Quelques théorèmes de dualité 59
2. (J L. Verdier) — Dualité dans la cohomologie des groupes proflnis ... 64
1. Modules induits et co induits 64
2. Homomorphismes locaux 67
3. Le théorème de dualité 69
4. Application du théorème de dualité 73
3. L inégalité de Golod àafarevic 77
1. Enoncé 77
2. Démonstration 78
Chapitre II. Cohomologie galoisienne cas commutatif
§ 1. Généralités 82
1.1. Cohomologie galoisienne 82
1.2. Premiers exemples 83
§ 2. Critères de dimension cohomologique 85
2.1. Un résultat auxiliaire 85
2.2. Cas où p est égal à la caractéristique 86
2.3. Cas où p est différent de la caractéristique 87
§ 3. Corps de dimension 1 88
3.1. Définition 88
3.2. Relation avec la propriété (Ci) 89
3.3. Exemples de corps de dimension 1 90
§ 4. Théorèmes de transition 93
4.1. Extensions algébriques 93
4.2. Extensions transcendantes 93
4.3. Corps locaux 95
4.4. Dimension cohomologique du groupe de Galois d un corps de nombres
algébriques 97
4.5. La propriété (Cr) 97
§ 5. Corps p adiques 100
5.1. Rappels 100
5.2. Cohomologie des G* modules finis 100
5.3. Premières applications 103
5.4. Caractéristique d Euler Poincaré (cas élémentaire) 103
5.5. Cohomologie non ramifiée 105
5.6. Le groupe de Galois de la p extension maximale de k 105
5.7. Caractéristique d Euler Poincaré 108
5.8. Groupes de type multiplicatif 112
§ 6. Corps de nombres algébriques 115
6.1. Modules finis définition des groupes Pt(k, A) 115
6.2. Le théorème de propreté 116
6.3. Enoncés des théorèmes de Poitou et Tate 118
Indications bibliographiques sur le Chapitre II 119
Annexe. Cohomologie galoisienne des extensions transcendantes pures
(Résumé des cours de 1991 1992) 120
1. Une suite exacte 120
2. Le cas local 121
3. Courbes algébriques et corps de fonctions d une variable 121
4. Le cas où K = k{T) 122
5. Notations 123
6. Annulation par changement de base 124
7. Conditions de Manin, approximation faible et hypothèse de Schinzel .... 125
8. Bornes du crible 126
Chapitre III. Cohomologie galoisienne non commutative
§ 1. Formes 128
1.1. Tenseurs 128
1.2. Exemples 130
1.3. Variétés, groupes algébriques, etc 131
1.4. Exemple: les fc formes du groupe SLn 132
§ 2. Corps de dimension 1 135
2.1. Rappels sur les groupes linéaires 135
2.2. Nullité de H1 pour les groupes linéaires connexes 137
2.3. Le théorème de Steinberg 139
2.4. Points rationnels sur les espaces homogènes 141
§ 3. Corps de dimension 2 146
3.1. La conjecture II 146
3.2. Exemples 147
§ 4. Théorèmes de finitude 149
4.1. La condition (F) 149
4.2. Corps de type (F) 150
4.3. Finitude de la cohomologie des groupes linéaires 151
4.4. Finitude d orbites 153
4.5. Le cas réel 154
4.6. Corps de nombres algébriques (théorème de Borel) 156
4.7. Un contre exemple au principe de Hasse 156
Indications bibliographiques sur le Chapitre III 161
Annexe. Compléments de cohomologie galoisienne (Résumé des cours de
1990 1991) 162
1. Notations 162
2. Le cas orthogonal 162
3. Applications et exemples 164
4. Problèmes d injectivité 166
5. La forme trace 167
6. La théorie de Bayer Lenstra: bases normales autoduales 168
7. Classes de cohomologie négligeables 170
Bibliographie 171
Index 180
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