Verfügbarkeit: Numerische Mathematik

Numerische Mathematik:

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Bibliographische Detailangaben
Hauptverfasser:	Hämmerlin, Günther (VerfasserIn), Hoffmann, Karl-Heinz 1939- (VerfasserIn)
Format:	Buch
Sprache:	German
Veröffentlicht:	Berlin [u.a.] Springer 1994
Ausgabe:	4., nochmals durchges. Aufl.
Schriftenreihe:	Grundwissen Mathematik Springer-Lehrbuch
Schlagworte:	Numerical analysis Numerische Mathematik Bibliografie Aufgabensammlung Lehrbuch
Online-Zugang:	Volltext // Exemplar mit der Signatur: Augsburg, Fachhochschulbibliothek -- 160/SK 900 H134 (4) 1 Inhaltsverzeichnis
Beschreibung:	Dieser Bd. erschien früher als Bd. 7 der Reihe "Grundwissen Mathematik" Literaturverz. S. 431 - 438
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adam_text	Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Rechnen §1. Zahlen und ihre Darstellung............... 1 1.1 Zahldarstellung zu beliebiger Basis 2 * 1.2 Realisierung von Zahl¬ darstellungen auf Rechenhilfsmitteln 6 * 1.3 Rechnen im Dualsystem 8 * 1.4 Festkomma-Arithmetik 11 * 1.5 Gleitkomma-Arithmetik 11 * 1.6 Aufgaben 12 §2. Operationen mit Gleitkommazahlen............ 13 2.1 Die Rundungsvorschrift 14 * 2.2 Verknüpfung von Gleitkomma¬ zahlen 16 * 2.3 Numerisch stabile bzw. instabile Auswertung von For¬ meln 18 * 2.4 Aufgaben 20 §3. Fehleranalysen..................... 20 3.1 Die Kondition eines Problems 21 * 3.2 Abschätzung der Rundungs¬ fehler durch Vorwärtsanalyse 24 * 3.3 Die Rückwärtsanalyse des Run- dimgsfehlers 28 * 3.4 Intervallarithmetik 29 * 3.5 Aufgaben 30 §4. Algorithmen...................... 32 4.1 Der euklidische Algorithmus 32 * 4.2 Bewertung von Algorithmen 36 * 4.3 Komplexität von Algorithmen 39 * 4.4 Berechnung der Kom¬ plexität einiger Algorithmen 43 * 4.5 Ein Konzept zur Verbesserung der Komplexitätsordnung 45 * 4.6 Schnelle Matrixmultiplikation 48 * 4.7 Aufgaben 49 Kapitel 2. Lineare Gleichungssysteme §1. Das Eliminationsverfahren nach Gauß . . . . ·....... 51 1.1 Notation und Aufgabenstellung 52 * 1.2 Der Rechenprozeß 52 * 1.3 Das GauBsche Verfahren als Dreieckszerlegung 54 * 1.4 Einige spezielle Matrizen 60 * 1.5 Bemerkungen zur Pivoteuche 62 * 1.6 Komplexität des Gaußschen Algorithmus 63 * 1.7 Aufgaben 65 §2. Die Cholesky-Zeriegung................. 66 2.1 Erinnerung an Bekanntes * 2.2 Der Cholesky-Zeriegung 68 * 2.4 Aufgaben 68 X §3. Die QR-Zerlegung nach 3.1 Householder-Matrizen 69 * 3.2 Die Grundaufgabe 70 * 3.3 Der Algorithmus nach 72 * 3.5 §4. Vektornormen und Normen von Matrizen......... 73 4.1 Normen auf Vektorräumen 73 * 4.2 Die natürliche Norm einer trix 74 * 4.3 Spezielle Normen von Matrizen 75 * 4.4 Aufgaben 78 §5. Fehlerabschätzungen .................. 78 5.1 Kondition einer Matrix 78 * 5.2 Eine Fehlerabschätzung bei gestörter Matrix 80 * 5.3 Brauchbare Lösungen 81 * 5.4 Aufgaben 83 §6. Schlechtkonditionierte Probleme ............. 84 6.1 Die Singulärwertzerlegung einer Matrix 85 ♦ 6.2 Pseudonormallö- sungen linearer Gleichungssysteme 88 * 6.3 Die Matrix 90 * 6.4 Zurück zu linearen Gleichungssystemen 93 * 6.5 Ver¬ besserung der Kondition und Regularisierung eines linearen Gleichunge¬ systems 94 * 6.6 Aufgaben 97 Kapitel 3. Eigenwerte §1. Reduktion auf Iridiagonal- bzw. Hessenberg-Gestalt..... 99 1.1 Das von Tridiagonalmatrizen 102 * 1.3 Berechnung der Eigenwerte von Hes¬ senberg-Matrizen 104 * 1.4 Aufgaben 106 §2. Die Jacobi-Rotation; Bigenwertabechätzungen....... 106 2.1 Das Jacobi-Verfahren 106 * 2.2 Abschätzungen der Eigenwerte 110 * 2.3 Aufgaben 113 §3: Die Potenzmethode................... 113 3.1 Ein iterativer Ansatz 114 * 3.2 Berechnung der Eigenvektoren und weiterer Eigenwerte 116 * 3.3 Der Rayleigh-Quotient 116 * 3.4 Aufga¬ ben 117 §4. Der QR-Algorithmus................... 118 4.1 Konvergenz des QR-Algorithmus 119 * 4.2 Bemerkungen zum Algorithmus 122 * 4.3 Aufgaben 125 Kapitel 4. Approximation §1. Vorbereitungen..................... 126 1.1 Normierte Vektorräume 126 * 1.2 Banachräume 127 * 1.3 Hil- berträume und Prae-Hilberträume 128 * 1.4 Die Räume V[a, b] 130 * 1.5 Lineare Operatoren 131 * 1.6 Aufgaben 133 §2. Die Approximationssätze von Weierstraß.......... 134 2.1 Approximation durch Polynome 134 * 2.2 Der Apprcximationsaatz für stetige Funktionen 135 * 2.3 Der Gedankenkreis von Korovkin 137 * 2.4 Anwendungen des Satzes 2.3. 140 * 2.5 Appraximatkrasgüte 142 * 2.6 Aufgaben 144 Inhaltsverzeichnis §3. Das allgemeine Approximationsproblem.......... 145 3.1 Beste Näherungen 145 * 3.2 Existenz eines Proximums 146 * 3.3 Eindeutigkeit des Proximums 147 * 3.4 Lineare Approximation 148 * 3.5, Eindeutigkeit in endlichdimensionalen linearen 3.6 Aufgaben 153 §4. Gleichmäßige Approximation............... 153 4.1 Approximation durch Polynome 154 * 4.2 Haarsche Räume 155 * 4.3 Der Alternantensatz 156 * 4.4 Eindeutigkeit 158 * 4.5 Eine Abschätzung 158 * 4.6 Berechnung des Proximums 159 * 4.7 Tsche- byschev-Polynome 1. Art 163 * 4.8 Entwicklung nach Tschebyschev- Polynomen 164 * 4.9 Konvergenz der nearen Approximation 167 * 4.11 Bemerkungen zur Approximations- aufgabe in §5. Approximation in Prae-Hilberträumen........... 170 5.1 Charakterisierung des Proximums 171 * 5.2 Die Normalgleichungen 171 * 5.3 Orthonormalsysteme 172 * 5.4 Die Legendreschen Polynome 174 * 5.5 Eigenschaften orthonormierter Polynome 176 * 5.6 Konver¬ genz in C[o, b] 177 * 5.7 Approximation stückweise stetiger Punktionen 178 * 5.8 Trigonometrische Approximation 179 * 5.9 Aufgaben 182 §6. Die Methode der kleinsten Quadrate............ 183 6.1 Diskrete Approximation 184 * 6.2 Die Lösung der Normalgleichun¬ gen 185 * 6.3 Ausgleichung durch Polynome 186 * 6.4 Zusammenfal¬ lende Stützstellen 188 * 6.5 Diskrete Approximation durch trigonome¬ trische Funktionen 190 * 6.6 Aufgaben 193 Kapitel 5. Interpolation §1. Das Interpolationsproblem................ 194 1.1 Interpolation in Haarschen Räumen 194 * 1.2 Interpolation durch Polynome 195 * 1.3 Das Restglied 196 * 1.4 Abschätzungen 197 * 1.5 Aufgaben 199 §2. Interpolationsmethoden und Restglied........... 200 2.1 Ansatz von Lagrange 200 * 2.2 Ansatz von Newton 201 * 2.3 Stei¬ gungen 201 * 2.4 Die allgemeine Peanosche Restglieddarstellung 204 * 2.5 Eine ableitungsfreie Fehlerabschätzung 210 * 2.6 Verbindung zur Analysis §3. Gleichabständige Stützstellen............... 213 3.1 Das Differenzenschema 214 * 3.2 Darstellungen des Interpolations¬ polynoms 214 * 3.3 Numerische Differentiation 216 * 3.4 Aufgaben 220 §4. Konvergenz von Interpolationspolynomen.......... 221 4.1 Beste Interpolation 221 * 4.2 Konvergenzprobleme 222 * 4.3 Kon¬ vergenzauesagen 223 * 4.4 Aufgaben 226 §5. Spezielle Interpolationen................. 227 5.1 Das Hornentchema 227 * 5.2 Der Algorithmus von Aitken-Neville 228 * 5.3 Hermite-Interpolation 230 * 5.4 Trigonometrische Interpola¬ tion 232 * 5.5 Interpolation im Komplexen 235 * 5.6 Aufgaben 236 XII Inhaltsverzeichnis §6. Mehrdimensionale Interpolation.............. 237 6.1 Verschiedene Interpolationsaufgaben 237 * 6.2 Interpolation auf Rechtecken 239 * 6.3 Abschätzung des Interpolationsfehlers 240 * 6.4 Aufgaben 242 Kapitel 6. §1. Polynom-Splines.................... 244 1.1 Splineräume 245 * 1.2 Basis eines Splineraums 246 * 1.3 in Splineräumen 246 * 1.4 Aufgaben 248 §2. Interpolierende 2.1 Splines 256 * 2.5 Aufgaben 257 §3. B-Splines ....................... 258 3.1 Existenz von B-Splines 258 * 3.2 Lokale Basen 259 * 3.3 Weitere Eigenschaften von B-Splines 261 * 3.4 Lineare B-Splines 263 * 3.5 Qua¬ dratische B-Splines 264 * 3.6 Kubische B-Splines 265 * 3.7 Aufgaben 265 §4. Berechnung interpolierender 4.1 Kubische allgemeines Interpolationsproblem 270 * 4.4 Aufgaben 272 §5. Abschätzungen und Approximation durch 5.1 Fehlerabschätzungen für lineare gen Approximation durch lineare lineare des 277 * 5.5 Ausgleichesplines höheren Grades 278 * 5.6 Aufgaben 281 §6. Mehrdimensionale 6.1 Bilineare Splines Kapitel 7. Integration §1. Interpolationsquadratur................. 291 1.1 Rechteckregeln 291 ♦ 1.2 Die Sehnentrapezregel 294 * 1.3 Die Euler- MacLaurinsche Entwicklung 297 * 1.4 Die Simpsonsche Regel 300 * 1.5 Newton-Cotes-Formeln 304 * 1.6 Unsymmetrische Quadraturformeln 305 * 1.7 Aufgaben 306 §2. Schrittweitenextrapolation................ 306 2.1 Das Halbierungsverfahren 307 * 2.2 Fehlerbetrachtung 309 * 2.3 Extrapolation 310 * 2.4 Konvergenz 312 * 2.5 Aufgaben 315 Inhaltsverzeichnis XIII §3. Numerische Integration nach Gauß............. 315 3.1 Ansatz von Gauß 316 * 3.2 Gaufi-Quadratur als Interpolationsqua¬ dratur 318 * 3.3 Fehlerdarstellung 319 * 3.4 Modifikationen 321 * 3.5 Uneigentliche Integrale 322 * 3.6 Stützstellen und Gewichte Gaußscher Quadraturformeln 324 * 3.7 Aufgaben 325 §4. Spezielle Quadraturen.................. 326 4.1 Integration über ein unendliches Intervall 326 * 4.2 Singulärer tegrand §5. Optimalität und Konvergenz............... 331 5.1 Normminimierung 332 * 5.2 Minimaler Einfluß zufälliger Fehler 333 * 5.3 Optimale Quadraturformeln 334 * 5.4 Konvergenz von Quadra¬ turformeln 337 * 5.5 Quadraturoperatoren 340 * 5.6 Aufgaben 341 §6. Mehrdimensionale Integration............... 342 6.1 Kartesische Produkte 342 * 6.2 Integration über Standardgebiete 345 ♦ 6.3 Die Monte-Carlo-Methode 347 ♦ 6.4 Aufgaben 349 Kapitel 8. Iteration §1. Das allgemeine 1.1 Anschauliche Deutung des Iterationsverfabrens 352 ♦ 1.2 Konver¬ genz des Iterationsverfahrens 353 * 1.3 Lipschitzkonstanten 355 * 1.4 Fehlerabschätzung 356 * 1.5 Konvergenzverhalten und Konvergenzgüte 357 * 1.6 Aufgaben 358 §2. Das Newton-Verfahren.................. 359 2.1 Konvergenzbeschleunigung des Iterationsverfahrens 360 * 2.2 Geo¬ metrische Deutung 361 * 2.3 Mehrfache Nullstellen 362 * 2.4 Das Se¬ kantenverfahren 363 * 2.5 Das Newton-Verfahren für Wurzeln algebraischer Gleichungen 366 * 2.7 Aufgaben 367 §3. Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme........ 369 3.1 Folgen von Iterationsmatrizen 369 * 3.2 Das Gesamtschrittverfahren 371 * 3.3 Das Einzelschrittverfahren 375 * 3.4 Der Satz von Stein und Rosenberg 378 * 3.5 Aufgaben 382 §4. Weitere Konvergenzuntersuchungen............ 383 4.1 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren 383 * 4.2 Relaxation beim Einzelschrittverfahren 385 * 4.3 Optimale Relaxationsparameter 388 * 4.4 Aufgaben 393 Kapitel 9. Lineare Optimierung §1. Einführende Beispiele, allgemeine Problemstellung...... 395 1.1 Eine optimale Produktionsplanung 395 * 1.2 Ein semiinflnitee Op¬ timierungsproblem 397 * 1.3 Ein lineares Steuerungsproblem 398 * 1.4 Die allgemeine Problemstellung 399 * 1.5 Aufgaben 400 XIV Inhaltsverzeichnis §2. Polyeder........................ 401 2.1 Charakterisierung von Ecken 402 * 2.2 Existenz von Ecken 403 * 2.3 Das Hauptergebnis 405 * 2.4 Eine weitere Charakterisierung von Ecken 405 * 2.5 Aufgaben 407 §3. Das Simplexverfahren.................. 407 3.1 Vorbereitungen 408 ♦ 3.2 Der Eckenaustausch ohne Entartung 410 * 3.3 Startecken 414 * 3.4 Bemerkungen zu entarteten Ecken 416 * 3.5 Die Zweiphasenmethode 416 * 3.6 Das revidierte Simplexverfahren 418 * 3.7 Aufgaben 419 §4. Betrachtungen zur Komplexität.............. 420 4.1 Die Beispiele von Klee und Minty 421 * 4.2 Zum Durchschnittsver¬ halten von Algorithmen 422 * 4.3 Laufzeitverhalten von Algorithmen 423 * 4.4 Polynomiale Algorithmen 424 * 4.5 Aufgaben 430 Literatur........................ 431 Bezeichnungen..................... 439 Namen- und Sachverzeichnis............... 441
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