Calculus: Einführung in die Differential- und Integralrechnung
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| Language: | German |
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Heidelberg u.a.
Spektrum, Akad. Verl.
1994
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| Item Description: | Aus dem Amerikan. übers. |
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S.L. SALAS/EINAR HILLE
CALCULUS
EINFUEHRUNG
IN DIE
DIFFERENTIAL-
UND INTEGRALRECHNUNG
AUS DEM AMERIKANISCHEN VON
MICHAEL
BASLER, THOMAS LANGE UND KARL-HEINZ LOTZE
MIT 670 ABBILDUNGEN
SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG HEIDELBERG YY BERLIN YY OXFORD
INHALTSVERZEICHNIS
1 EINFUEHRUNG
1
1.1 WAS IST CALCULUS? 1
1.2 BEZEICHNUNGEN UND FORMELN DER ELEMENTARMATHEMATIK 5
1.3
EINIGE AUFGABEN MIT GERADEN 15
1.4 UNGLEICHUNGEN 18
1.5 UNGLEICHUNGEN UND ABSOLUTE BETRAEGE 22
1.6 FUNKTIONEN 26
1.7 DIE VERKETTUNG VON FUNKTIONEN 30
1.8 EINEINDEUTIGE FUNKTIONEN. UMKEHRFUNKTIONEN 35
1.9 EINIGE BEMERKUNGEN ZU MATHEMATISCHEN BEWEISEN 41
1.10
UEBUNGSAUFGABEN 43
2 GRENZWERTE UND STETIGKEIT
45
2.1 DIE IDEE DES GRENZWERTES 45
2.2 DIE DEFINITION DES GRENZWERTES 52
2.3 EINIGE GRENZWERTSAETZE 63
2.4 STETIGKEIT 71
2.5 DER EINZWAENGUNGSSATZ.TRIGONOMETRISCHE GRENZWERTE 79
2.6
ZWEI GRUNDLEGENDE SAETZE 85
2.7 UEBUNGSAUFGABEN 89
3 DIFFERENTIATION
91
3.1 DIE ABLEITUNG 91
3.2 EINIGE ABLEITUNGSFORMELN 101
3.3 DIE D/DX-SCHREIBWEISE. ABLEITUNGEN HOEHERER ORDNUNG 110
3.4
DIE ABLEITUNG ALS AENDERUNGSRATE 114
3.5 GESCHWINDIGKEIT UND BESCHLEUNIGUNG. FREIER FALL 117
3.6
DIE KETTENREGEL 125
3.7 DIE ABLEITUNGEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN 132
3.8 DIE ABLEITUNGEN IN VERSER FUNKTIONEN. GEBROCHENE POTENZEN. . 136
3.9
ZUSAETZLICHE DIFFERENTIATIONSUEBUNGEN 140
3.10 IMPLIZITES ABLEITEN 140
VIII INHALTSVERZEICHNIS
3.11 AENDERUNGSRATEN PRO ZEITEINHEIT 143
3.12 DIFFERENTIALE. NEWTON-RAPHSON-APPROXIMATIONEN 148
3.13
UEBUNGSAUFGABEN 153
4 DER MITTELWERTSATZ UND SEINE ANWENDUNGEN
157
4.1
DER MITTELWERTSATZ 157
4.2 MONOTON WACHSENDE UND FALLENDE FUNKTIONEN 161
4.3 LOKALE EXTREMWERTE 168
4.4 ENDPUNKT- UND ABSOLUTE EXTREMWERTE 175
4.5 EINIGE MINIMAX-PROBLEME 181
4.6 KONKAVITAET. KONVEXITAET. WENDEPUNKTE 185
4.7 KURVENDISKUSSIONEN 188
4.8 VERTIKALE UND HORIZONTALE ASYMPTOTEN. VERTIKALE TANGENTEN
UND
RUECKKEHRPUNKTE 193
4.9 WEITERE MINIMAX-AUFGABEN 198
4.10 UEBUNGSAUFGABEN 201
5 INTEGRATION
202
5.1 DIE BERECHNUNG VON FLAECHENINHALTEN UND WEGSTRECKEN 202
5.2
DAS BESTIMMTE INTEGRAL EINER STETIGEN FUNKTION 206
5.3 DIE FUNKTION
F(X) = F{T)DT
212
5.4
DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL-UND INTEGRALRECHNUNG 219
5.5
BEISPIELE ZUR BERECHNUNG VON FLAECHENINHALTEN 223
5.6 UNBESTIMMTE INTEGRALE 229
5.7 BEISPIELAUFGABEN MIT BEWEGTEN OBJEKTEN 231
5.8 VARIABLENSUBSTITUTION 234
5.9 INTEGRATION VON WINKELFUNKTIONEN 240
5.10 WEITERE EIGENSCHAFTEN BESTIMMTER INTEGRALE 245
5.11 DIE MITTELWERTSAETZE DER INTEGRALRECHNUNG 247
5.12 DAS INTEGRAL ALS GRENZWERT RIEMANNSCHER SUMMEN 251
5.13
UEBUNGSAUFGABEN 253
6 EINIGE ANWENDUNGEN DES INTEGRALS
257
6.1
NOCHMALS ZUM FLAECHENINHALT 257
6.2 VOLUMENBERECHNUNG DURCH PARALLELE QUERSCHNITTE.
SCHEIBEN
UND RINGE 261
6.3 VOLUMENBERECHNUNG NACH DER SCHALENMETHODE 268
6.4 DER GEOMETRISCHE MITTELPUNKT EINER FLAECHE.
DER
VOLUMENSATZ VON PAPPOS 273
6.5 DER BEGRIFF ARBEIT 279
6.6 DIE KRAFT AUF EINEN DAMM 284
6.7 DAS GRAVITATIONSGESETZ VON NEWTON 287
6.8 UEBUNGSAUFGABEN 291
INHALTSVERZEICHNIS IX
7 TRANSZENDENTE FUNKTIONEN
293
7.1
DER LOGARITHMUSBEGRIFF 293
7.2 DIE LOGARITHMUSFUNKTION, TEIL 1 296
7.3 DIE LOGARITHMUSFUNKTION, TEIL II 302
7.4 DIE EXPONENTIALFUNKTION 308
7.5 BELIEBIGE POTENZEN, ANDERE BASEN UND EINE ABSCHAETZUNG FUER
E
317
7.6
EXPONENTIELLES ANWACHSEN UND ABFALLEN. ZINSESZINS 324
7.7
PARTIELLE INTEGRATION 332
7.8 DIE EINFACHE HARMONISCHE BEWEGUNG 338
7.9 NOCHMALS ZUR INTEGRATION TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN .
.
.
. 345
7.10
DIE INVERSEN TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN 348
7.11 SINUS HYPERBOLICUS UND COSINUS HYPERBOLICUS 357
7.12 DIE ANDEREN HYPERBELFUNKTIONEN 351
7.13 UEBUNGSAUFGABEN 365
8 INTEGRATIONSTECHNIKEN
370
8.1 WIEDERHOLUNG 370
8.2 PARTIALBRUECHE 372
8.3 POTENZEN UND PRODUKTE VON SINUS UND KOSINUS 381
8.4 POTENZEN TRIGONOMETRISCHER FUNKTIONEN 384
8.5 INTEGRALE, DIE
VA
2
X
2
UND
VX
2
A
2
ENTHALTEN 387
8.6 EINIGE RATIONALMACHENDE SUBSTITUTIONEN 390
8.7 NUMERISCHE INTEGRATION 391
8.8 UEBUNGSAUFGABEN 399
9 KEGELSCHNITTE
400
9.1 EINLEITUNG 400
9.2 TRANSLATIONEN. DER ABSTAND EINES PUNKTES VON EINER GERADEN . 401
9.3
DIE PARABEL 404
9.4 DIE ELLIPSE 412
9.5 DIE HYPERBEL 418
9.6 DREHUNGEN. ELIMINIEREN DES XY-TERMS 423
9.7 UEBUNGSAUFGABEN 429
10 POLARKOORDINATEN. PARAMETERGLEICHUNGEN
431
10.1
POLARKOORDINATEN 431
10.2 GRAFISCHE DARSTELLUNGEN IN POLARKOORDINATEN 438
10.3 DIE KEGELSCHNITTE IN POLARKOORDINATEN 444
10.4 SCHNITTE VON POLARKURVEN 447
10.5 DER FLAECHENINHALT IN POLARKOORDINATEN 450
10.6 PARAMETRISCH GEGEBENE KURVEN 454
10.7 TANGENTEN AN PARAMETRISCH GEGEBENE KURVEN 460
X INHALTSVERZEICHNIS
10.8 DAS AXIOM DER KLEINSTEN OBEREN SCHRANKE 465
10.9 BOGENLAENGE UND SCHNELLIGKEIT 469
10.10 DER INHALT EINER ROTATIONSFLAECHE. DER GEOMETRISCHE
MITTELPUNKT
EINER KURVE. DER SATZ VON PAPPOS UEBER
DEN
OBERFLAECHENINHALT 477
10.11 DIE ZYKLOIDE 491
10.12 UEBUNGSAUFGABEN 491
11 FOLGEN. UNBESTIMMTE AUSDRUECKE. UNEIGENTLICHE INTEGRALE
496
11.1
FOLGEN REELLER ZAHLEN 496
11.2 DER GRENZWERT EINER FOLGE 501
11.3 EINIGE WICHTIGE GRENZWERTE 512
11.4 DER UNBESTIMMTE AUSDRUCK (0/0) 515
11.5 DER UNBESTIMMTE AUSDRUCK (OO/OO) 520
11.6 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 522
11.7 UEBUNGSAUFGABEN 528
12 UNENDLICHE REIHEN
532
12.1 DAS SUMMENZEICHEN 532
12.2 UNENDLICHE REIHEN 534
12.3 EIN INTEGRALKRITERIUM UND VERGLEICHSKRITERIEN 543
12.4 WURZELKRITERIUM UND QUOTIENTENKRITERIUM 551
12.5 ABSOLUTE UND BEDINGTE KONVERGENZ. ALTERNIERENDE REIHEN. . . 556
12.6
TAYLOR-POLYNOME UND TAYLOR-REIHEN IN
X
561
12.7
TAYLOR-POLYNOME UND TAYLOR-REIHEN IN
X - A
573
12.8
POTENZREIHEN 576
12.9 DIFFERENTIATION UND INTEGRATION VON POTENZREIHEN 582
12.10
DIE BINOMIALREIHE 596
12.11 UEBUNGSAUFGABEN 598
13 VEKTOREN
601
13.1 KARTESISCHE ORTSKOORDINATEN 601
13.2 VERSCHIEBUNGEN UND KRAEFTE 604
13.3 VEKTOREN 609
13.4 DAS SKALARPRODUKT 617
13.5 MATRIZEN UND DETERMINANTEN 629
13.6 DAS VEKTORPRODUKT 632
13.7 GERADEN 641
13.8 EBENEN 650
13.9 ETWAS GEOMETRIE MIT VEKTORIELLEN METHODEN 661
13.10 UEBUNGSAUFGABEN 663
INHALTSVERZEICHNIS XI
14 VEKTOR-DIFFERENTIAL- UND -INTEGRALRECHNUNG
667
14.1
VEKTORFUNKTIONEN 667
14.2 ABLEITUNGSFORMELN 674
14.3 KURVEN 679
14.4 DIE BOGENLAENGE 688
14.5 KRUMMLINIGE BEWEGUNG. VEKTOR-DIFFERENTIALRECHNUNG
IN
DER MECHANIK 694
14.6 DIE PLANETENBEWEGUNG 707
14.7 KRUEMMUNG 713
14.8 UEBUNGSAUFGABEN 721
15 FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLER
727
15.1
EINIGE ELEMENTARE BEISPIELE 727
15.2 EIN UEBERBLICK UEBER FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG. PROJEKTIONEN . . 731
15.3
GRAFISCHE DARSTELLUNGEN. HOEHENLINIEN UND NIVEAUFLAECHEN . . . 739
15.4
PARTIELLE ABLEITUNGEN 746
15.5 OFFENE UND ABGESCHLOSSENE MENGEN 753
15.6 GRENZWERTE UND STETIGKEIT. DIE GLEICHHEIT GEMISCHTER
PARTIELLER
ABLEITUNGEN 757
15.7 UEBUNGSAUFGABEN 764
16 GRADIENTEN. EXTREMWERTE. DIFFERENTIALE
767
16.1
DIFFERENZIERBARKEIT UND GRADIENT 767
16.2 GRADIENTEN UND RICHTUNGSABLEITUNGEN 775
16.3 DER MITTELWERTSATZ. ZWEI ZWISCHENWERTSAETZE 784
16.4 KETTENREGELN 788
16.5 DER GRADIENT ALS NORMALE. TANGENTEN UND TANGENTIALEBENEN. . 795
16.6
MAXIMA UND MINIMA 805
16.7 DAS KRITERIUM DER ZWEITEN PARTIELLEN ABLEITUNG 814
16.8 MAXIMA UND MINIMA MIT NEBENBEDINGUNGEN 819
16.9 DIFFERENTIALE 827
16.10 DIE REKONSTRUKTION EINER FUNKTION AUS IHREM GRADIENTEN . . . 832
16.11
UEBUNGSAUFGABEN 839
17 DOPPEL- UND DREIFACHINTEGRALE
842
17.1
MEHRFACHSUMMEN 842
17.2 DAS DOPPELINTEGRAL UEBER EIN RECHTECK 845
17.3 DAS DOPPELINTEGRAL UEBER EINEN BEREICH 854
17.4 DIE BERECHNUNG VON DOPPELINTEGRALEN DURCH
MEHRFACHE
INTEGRATION 858
17.5 DAS DOPPELINTEGRAL ALS GRENZWERT RIEMANNSCHER SUMMEN.
POLARKOORDINATEN
872
XII INHALTSVERZEICHNIS
17.6 EINIGE ANWENDUNGEN VON DOPPELINTEGRALEN 880
17.7 DREIFACHINTEGRALE 886
17.8 ZURUECKFUEHREN AUF MEHRFACHINTEGRALE 892
17.9 ZYLINDERKOORDINATEN 899
17.10 DAS DREIFACHINTEGRAL ALS GRENZWERT RIEMANNSCHER SUMMEN.
KUGELKOORDINATEN
904
17.11 DIE JACOBI-DETERMINANTE. VARIABLENSUBSTITUTION
IN
MEHRFACHINTEGRALEN 911
17.12 UEBUNGSAUFGABEN 917
18 KURVEN- UND OBERFLAECHENINTEGRALE
919
18.1
KURVENINTEGRALE 919
18.2 DER HAUPTSATZ FUER KURVENINTEGRALE 928
18.3 ARBEIT UND ENERGIE. DER ENERGIEERHALTUNGSSATZ DER MECHANIK. 931
18.4
EINE ANDERE SCHREIBWEISE. KURVENINTEGRALE BEZUEGLICH
DER
BOGENLAENGE 934
18.5 DER GREENSCHE SATZ 938
18.6 PARAMETERDARSTELLUNG VON FLAECHEN. DER FLAECHENINHALT 948
18.7
OBERFLAECHENINTEGRALE 960
18.8 DER VEKTORDIFFERENTIALOPERATOR V 970
18.9 DER GAUSSSCHE SATZ 977
18.10 DER STOKESSCHE SATZ 984
18.11 UEBUNGSAUFGABEN 991
ANHANG A. EINIGE ELEMENTARE THEMEN
994
A.L
MENGEN 994
A.2 DAS BOGENMASS 998
A.3 DIE VOLLSTAENDIGE INDUKTION 1001
ANHANG B. EINIGE ZUSAETZLICHE BEWEISE
1004
B.L
DER MITTELWERTSATZ 1004
B.2 DER MAXIMUM-MINIMUM-SATZ 1005
B.3 UMKEHRFUNKTIONEN 1006
B.4 INTEGRIERBARKEIT STETIGER FUNKTIONEN 1008
B.5 DAS INTEGRAL ALS GRENZWERT RIEMANNSCHER SUMMEN 1012
SACHVERZEICHNIS
1013 |
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