Numerische Mathematik für Anfänger: mit zahlreichen Beispielen und Programmen
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Braunschweig [u.a.]
Vieweg
1994
|
| Edition: | 2., verb. Aufl., 3. - 4. Tsd. |
| Series: | Vieweg-Studium
65 : Grundkurs Mathematik |
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XVI, 295 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3528172657 |
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GERHARD OPFER
NUMERISCHE
MATHEMATIK
FUER
ANFAENGER
2.,
VERBESSERTE AUFLAGE
MIT 26 ZUM TEIL FARBIGEN ABBILDUNGEN,
ZAHLREICHEN
BEISPIELEN UND PROGRAMMEN
3
VIEWEG
INHALT
VORWORT V
INHALTSVERZEICHNIS VUE
LISTE DER BEISPIELE XI
LISTE DER TABELLEN XIII
LISTE DER FIGUREN XV
LISTE DER PROGRAMME XVI
1 ZAHLDARSTELLUNG
UND
RUNDUNGSFEHLER 1
1.1 MASCHINENZAHLEN 1
1.1.1 RELATIVER UND ABSOLUTER FEHLER 1
1.1.2 GLEITPUNKTDARSTELLUNG 2
1.2 FEHLER BEIM RECHNEN 5
1.3 AUFGABEN 8
2 AUSWERTUNG ELEMENTARER FUNKTIONEN 12
2.1 GEWOEHNLICHE POLYNOME 12
2.2 TRIGONOMETRISCHE POLYNOME 17
2.3 RATIONALE FUNKTIONEN 25
2.4 AUFGABEN 31
3 INTERPOLATION 34
3.1 POLYNOM-INTERPOLATION 34
3.1.1 HERMITE-INTERPOLATION 48
3.2 SPLINE-INTERPOLATION 53
3.2.1 LINEARE SPLINES 56
3.2.2 QUADRATISCHE SPLINES 59
3.2.3 KUBISCHE SPLINES 60
3.3 TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION 61
INHALT
IX
3.4 INTERPOLATION IN LINEAREN RAEUMEN 66
3.5 RATIONALE INTERPOLATION 70
3.6 AUFGABEN 76
4 NUMERISCHE INTEGRATION 83
4.1 INTERPOLATORISCHE FORMELN 84
4.2 ZUSAMMENGESETZTE FORMELN 90
4.3 KONVERGENZUNTERSUCHUNGEN 91
4.4 EXTRAPOLATION UND ADAPTION 93
4.5 GAUSS-QUADRATUR 97
4.6 INTEGRATION SINGULAERER FUNKTIONEN 108
4.6.1 REGULARISIERUNG 109
4.6.2 ANWENDUNG DER GAUSS-QUADRATUR 111
4.7 AUFGABEN 112
5 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 116
5.1 AUFGABENSTELLUNG 116
5.1.1 MATRIZEN 118
5.2 DAS GAUSSSCHE ELIMINATIONSVERFAHREN 123
5.2.1 PIVOTSUCHE 127
5.2.2 GAUSS-VARIATIONEN, CHOLESKY-ZERIEGUNG 132
5.2.3 MEHRERE RECHTE SEITEN 136
5.3 ITERATIVE LOESUNGSVERFAHREN 138
5.4 METHODE DER KONJUGIERTEN GRADIENTEN 143
5.5 AUFGABEN 152
6 LINEARE OPTIMIERUNG 158
6.1 AUFGABENSTELLUNG 158
6.2 BASISVEKTOREN 162
6.3 DAS SIMPLEXVERFAHREN 163
6.4 PRAKTISCHE DURCHFUEHRUNG 168
6.5 MODIFIKATIONSTECHNIKEN 173
6.6 AUFGABEN 177
X
NUMERISCHE MATHEMATIK
7 AUSGLEICHS- UND APPROXIMATIONSPROBLEME 182
7.1 NORMEN VON VEKTOREN UND LINEAREN ABBILDUNGEN 182
7.2 LINEARE APPROXIMATION 190
7.3 UEBERBESTIMMTE GLEICHUNGSSYSTEME 196
7.3.1 AUSGLEICHUNG IM QUADRATISCHEN MITTEL 197
7.3.2 AUSGLEICHUNG IN DER SUMMEN- UND MAXIMUMNORM 210
7.4
APPROXIMATION VON FUNKTIONEN 211
7.4.1 TSCHEBYSCHEFF-APPROXIMATION 211
7.4.2 APPROXIMATION VON FUNKTIONEN IN DER Z/2-NORM 217
7.5
AUFGABEN 220
8 MATRIXEIGENWERTE UND -EIGENVEKTOREN 223
8.
1
AUFGABENSTELLUNG UND ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN 223
8.2 DAS VON-MISES-VERFAHREN (POTENZMETHODE) 232
8.3 DIE INVERSE VON-MISES-ITERATION 233
8.4 DER QR-ALGORITHMUS 234
8.5 DER LANCZOS-ALGORITHMUS 236
8.6 BEISPIELE 238
8.6.1 VON-MISES-VERFAHREN 240
8.6.2 INVERSES VON-MISES-VERFAHREN 240
8.6.3 QR-VERFAHREN 241
8.6.4 LANCZOS-ALGORITHMUS 242
8.7 AUFGABEN 243
9 MCHTLINEARE GLEICHUNGEN UND SYSTEME 245
9.1 AUFGABENSTELLUNG 245
9.2 HILFSMITTEL AUS DER ANALYSIS 247
9.3 FIXPUNKTITERATIONEN 249
9.4 NEWTON-ITERATIONEN 255
9.4.1 KONVERGENZ FUER LINEARE PROBLEME 260
9.5 EINDIMENSIONALE PROBLEME 263
9.5.1 NULLSTELLEN VON POLYNOMEN 263
9.5.2 NULLSTELLEN VON BELIEBIGEN REELLEN FUNKTIONEN 266
9.5.3
VERFAHREN OHNE BENUTZUNG VON ABLEITUNGEN 268
9.6 ANHANG: EINZUGSBEREICHE DES NEWTON-VERFAHRENS 269
9.7
AUFGABEN 273
INHALT
XI
ANHANG: ALPHABETE 277
LITERATURVERZEICHNIS 278
STICHWORTVERZEICHNIS 282
HINWEIS:
DIE BEISPIELE, TABELLEN,., SAETZE, DEFINITIONEN ETC. SIND IN JEDEM
KAPITEL EIN
HEITLICH
DURCHLAUFEND NUMERIERT, MIT VORANGESTELLTER KAPITELNUMMER. DASSELBE GILT
FUER
DIE
FORMELNUMMERN, FUER DIE NACH GLEICHEM MUSTER EINE SEPARATE
DURCHNUMERIERUNG EXI
STIERT.
DIE (UNTER-) ABSCHNITTSNUMMERN WERDEN ALSO NICHT IN DAS
NUMERIERUNGSSYSTEM
UEBERNOMMEN.
LISTE DER BEISPIELE
1.4 MASCHINENDARSTELLUNG VON DUALZAHLEN 4
2.6 AUSWERTUNG EINES POLYNOMS MIT HORNER-SCHEMA 14
2.9 HORNER-SCHEMA ZUR UMRECHNUNG IN ANDERE ZAHLDARSTELLUNGEN 15
2.11
VORKOMMEN VON POLYNOMEN 16
2.15 SCHNELLE FOURIERTRANSFORMATION FUER
N
= 4 22
2.19 DIVISION VON POLYNOMEN 25
2.20 WIEDERHOLTE DIVISION VON POLYNOMEN 26
3.6 EINFACHE INTERPOLATIONSPOLYNOME 36
3.14 INVERSE INTERPOLATION MIT HILFE DES NEVILLE-SCHEMAS 41
3.15
BESTIMMUNG EINES INTERPOLATIONSPOLYNOMS DURCH VIER PUNKTE MIT VER
SCHIEDENEN
METHODEN 41
3.28 HERMITE-INTERPOLATION MIT DOPPELKNOTEN 50
3.31 VORGABE DER ABLEITUNGEN BIS ZUR ORDNUNG
K,
BZW.
K
- 1
AN DEN BEIDEN
RANDPUNKTEN
EINES INTERVALLS
[A,B]
52
3.32 VORGABE DER ABLEITUNGEN
BIS ZUR
ORDNUNG
K
AN
BEIDEN RANDPUNKTEN EINES
INTERVALLS [A,B]
53
3.33 INTERPOLATIONSFEHLER 54
3.35 INTERPOLATION DURCH EINEN LINEAREN SPLINE 56
3.43 TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION DER WURZEL 66
3.44 UNLOESBARKEIT VON INTERPOLATIONSPROBLEMEN 66
3.49 INTERPOLATION DURCH RATIONALE FUNKTIONEN 70
3.56 POLE BEI DER RATIONALEN INTERPOLATION 75
XII
NUMERISCHE MATHEMATIK
3.57 VERGLEICH RATIONALER MIT POLYNOMIALER INTERPOLATION 76
4.2 INTEGRATIONSFORMELN FUER EINEN BIS VIER KNOTEN 85
4.6 ORDNUNG DER RECHTECKSREGEL 87
4.7 ORDNUNG DER SIMPSON-REGEL 87
4.12 ABSCHAETZUNG DES QUADRATURFEHLERS 89
4.26 GAUSS-TSCHEBYSCHEFF-FORMELN 104
4.27 GAUSS-QUADRATURFORMEL DER ORDNUNG VIER 107
4.28 DREITERMREKURSION FUER STUECKWEISE LINEARES GEWICHT 107
4.30
INTEGRATION EINER SINGULAEREN FUNKTION 109
4.32 INTEGRATION EINER SINGULAEREN FUNKTION MIT GAUSS-QUADRATUR 111
5.1 PRODUKTIONSMODELL VON LEONTIEF 116
5.5 LOESUNG EINES LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMS 130
5.7 KLEINES RESIDUUM UND GROSSER FEHLER 131
5.10 VERSCHIEDENE DREIECKSZERLEGUNGEN 135
5.13 DIAGA,A
L
,A
AE
FUER
N
= 2 140
5.15 ANWENDUNG DES GSV UND ESV 142
5.25 VANDERMONDEMATRIX 150
5.26 MODELLPROBLEM 151
6.1 ERNAEHRUNGSPLAN 158
6.2 UMWANDLUNG VON NEBENBEDINGUNGEN 161
6.13 LOESUNG EINES LINEAREN OPTIMIERUNGSPROBLEMS 171
7.3 NORMEN IN ENDLICH-DIMENSIONALEN RAEUMEN 183
7.4 NORMEN IN FUNKTIONENRAEUMEN 184
7.12 MATRIX-NORMEN 188
7.13 KONDITION EINER 2 X
2-MATRIX
189
7.15 TSCHEBYSCHEFF-APPROXIMATION 190
7.16 APPROXIMATION IN LI 190
7.17 PERIODISCHE SCHWINGUNGEN 191
7.19 NICHTEXISTENZ VON BESTEN APPROXIMATIONEN 192
7.21 MEHRERE BESTE APPROXIMATIONEN 192
7.22 DATENAPPROXIMATION 192
INHALT
XIII
7.26 L2 ALS VEKTORRAUM MIT SKALARPRODUKT 195
7.30 APPROXIMATION DURCH EINE GERADE 197
7.38 LINEARE REGRESSION 201
7.49 HOUSEHOLDER-VERFAHREN 208
7.51 BERECHNUNG DER QUADRATWURZEL 211
7.56 APPROXIMATION DER MONOME
T"
218
8.1 EULERSCHER KNICKSTAB 223
8.2 SCHWINGENDE SAITE 223
8.6 DIMENSION VON EIGENRAEUMEN 227
8.8 EIGENWERTE EINER DIAGONALMATRIX 227
9.8 KONVERGENZGESCHWINDIGKEIT 249
9.9 EINTAUCHTIEFE EINES HOLZSTAMMES 249
9.11 FIXPUNKTITERATION MIT ZWEI VARIABLEN 250
9.14 FIXPUNKTITERATION FUER/(X)
-
X
1
251
9.18 KONTRAKTIONSSATZ FUER EINE DIMENSION 253
9.19 KONTRAKTIONSSATZ FUER ZWEI DIMENSIONEN 254
9.23 ALLGEMEINES ZWEIDIMENSIONALES NEWTON-VERFAHREN 257
9.24
NULLSTELLEN DER KOMPLEXEN FUNKTION
G(Z) = E
Z
-
2 257
9.32 NULLSTELLEN KOMPLEXER POLYNOME 264
9.34 UNTERE SCHRANKEN FUER POLYNOMNULLSTELLEN 265
9.36 OBERE SCHRANKEN FUER POLYNOMNULLSTELLEN 266
9.37 ZYKLEN IM NEWTON-VERFAHREN 266
LISTE DER TABELLEN
1.1 GLEITPUNKTDARSTELLUNG VERSCHIEDENER DEZIMALZAHLEN 3
1.2
MASCHINENZAHLEN MIT ZWEISTELLIGER MANTISSE 3
1.5 RELATIVE FEHLER VON DREISTELLIGEN DUALZAHLEN 5
2.7 HORNER-SCHEMA FUER P3 (2) AUS BEISPIEL 2.6 15
2.10 UMRECHNUNG DER DEZIMALZAHL 389 IN EINE DUALZAHL 16
2.12 GEWINNE AUS MASCHINENKAUF 16
2.13 VERZINSUNG NACH MASCHINENKAUF 17
XIV
NUMERISCHE
MATHEMATIK
2.14 SCHNELLE FOURIERTRANSFORMATION FUER
N =
8 21
2.16 DATEN DES FOURIERPOLYNOMS 23
2.17 SCHNELLE AUSWERTUNG EINES FOURIERPOLYNOMS 23
2.23 ERGEBNISSE AUS OBIGEM KETTENBRUCHPROGRAMM 30
3.9 SCHEMA DER DIVIDIERTEN DIFFERENZEN 39
3.10 NEVILLE-SCHEMA 39
3.11 AITKEN-SCHEMA 39
3.16 NEVILLE-SCHEMA ZUR INVERSEN INTERPOLATION 41
3.17 DIVIDIERTE DIFFERENZEN FUER (0,1), (1,2), (3,3), (4,2) 42
3.18 NEVILLE-FORMEL 42
3.19 AITKEN-FORMEL 42
3.30 HERMITE-INTERPOLATION DER DATEN (3.34) 51
3.36 DIVIDIERTE DIFFERENZEN FUER QUADRATISCHE SPLINES 59
3.37 DIVIDIERTE DIFFERENZEN FUER KUBISCHE SPLINES 60
3.41 TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION DER WURZEL FUER
N
= 16 65
3.48
BEISPIELE VON HAARSCHEN RAEUMEN 69
4.18 ERGEBNISSE ADAPTIVES SIMPSON MIT BERECHNETEN KNOTEN 97
4.24
ORTHOGONALE POLYNOME FUER VERSCHIEDENE GEWICHTE 7 102
4.29
ORTHOGONALE POLYNOME
Q,
KNOTEN
X,
GEWICHTE
W
BEI GEWICHTSFUNKTION
(4.49)
108
4.31 BERECHNUNG VON /(/) =
J
COS
XX~
5
DX
MIT DER TRAPEZREGEL OHNE UND
MIT ABZIEHEN DER SINGULARITAET UND MIT GAUSS-INTEGRATION 110
5.2 UEBERSICHT UEBER MATRIX-NOTATIONEN 122
5.11 OPERATIONSZAHLEN BEI DER GAUSS-ELIMINATION 137
5.16 GSV UND ESV FUER BEISPIEL 5.15 MIT
E*
= MAX
=
I,
2
,
3
|X*=-'- X,
FC
|
.
.
.
. 143
5.27 OPERATIONSZAHLEN FUER
DAS
GAUSSSCHE ELIMINATIONSVERFAHREN BEI KLEINEN
N .
156
7.8 VEKTOR-UND ZUGEHOERIGE OPERATORNORM 186
8.5 LOESUNGEN DER DISKRETISIERTEN EIGENWERTAUFGABE (*) 226
8.21 VON-MISES-ITERATION 240
8.22 INVERSE VON-MISES-ITERATION 240
INHALT
XV
9.10 WERTE
A
K+I
=
SINA*. +
1.32TT
250
9.13 FIXPUNKTITERATION FUER
Z =
LOG Z
UND EXPERIMENTELLE KONVERGENZORDNUNG
QK
251
9.25
NEWTON-VERFAHREN FUER
G(Z) = E
Z
-
Z
= 0 258
9.45 BEISPIELE ZUR NULLSTELLENBESTIMMUNG 274
LISTE DER FIGUREN
3.13 ZUR INVERSEN INTERPOLATION, BEISPIEL 3.14 40
3.23 KNOTENPOLYNOM
UJ
AUS (3.18) FUER N = 12 MIT AEQUIDISTANTEN UND TSCHE
BYSCHEFFKNOTEN
(GESTRICHELT) 45
3.27 STRASSENLATERNE MIT PARABELFOERMIGEM BOGEN 49
3.42 TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION DER WURZEL, FEHLER RECHTS 65
3.58
FEHLER DER POLYNOMIALEN UND RATIONALEN INTERPOLATION VON TAN IN [0,1.5]
MIT 5
AEQUIDISTANTEN PUNKTEN 76
4.1 INTEGRATION UEBER EIN INTERVALL
[A,B]
UND UEBER EINEN ZWEIDIMENSIONALEN
BEREICH
R
83
4.16
I
H
/2
ALS EXTRAPOLIERTER WERT AUS
IH
UND
I
H
/
2
94
7.18 VERSCHIEDENE SCHWINGUNGSFORMEN 191
7.20 VERSCHIEDENE BESTE APPROXIMATIONEN DER RECHTECKSSCHWINGUNG 192
7.28
PROJEKTION
V
VON / AUF
V
196
7.31 AUSLENKUNG EINER SPIRALFEDER UND DURCHHAENGENDE KETTE 198
7.32
FALLSTRECKE
S
IN ABHAENGIGKEIT VON DER FALLZEIT
T
198
7.54 ALTE KNOTEN
TJ
(X) UND NEUE KNOTEN
TJ
(O) BEIM REMEZ-ALGORITHMUS
AM
BEISPIEL VON
F(X) =
EXP(-I
2
)
UND V = II5 216
8.3 SAITENSCHWINGUNG UND KNICKSTAB (GESTRICHELT) FUER
J =
1,2, 3,4 225
8.23
GROESSTE UND KLEINSTE RITZ-WERTE BEI AEQUIDISTANTEN UND ZWEI GEHAEUFTEN
EIGENWERTEN
243
9.1 SCHNITTPUNKTE VON
F(X) =
TAN(Z) UND
G(X) =
-(X - 7R/2)
2
+ 3 .
.
.
. 246
9.22 NEWTON-VERFAHREN UND LINEARISIERUNG 257
9.41 STARTPUNKTE, FUER DIE DAS NEWTON-VERFAHREN NICHT KONVERGIERT 270
9.42
GRAPH UND HOEHENLINIEN VON |JV'| MIT AT'(X) = (2/3)(L+I/X
3
)
271
9.43 EINZUGSBEREICHE EINES NEWTON-VERFAHRENS IN
[-1,1]
X
[-1,1]
272
XVI
NUMERISCHE MATHEMATIK
9.44 ANZAHL DER SCHRITTE EINES NEWTON-VERFAHRENS IN
[-1,1]
X
[-1,1]
.
.
.
. 272
9.46
BERECHNUNG DES KREISRADIUS AUS SEHNE UND BOGENLAENGE 275
LISTE DER PROGRAMME
1.6 ZAHLBEREICHSUEBERLAUF 5
1.7 ABFRAGE AUF GLEICHHEIT 6
2.8 HORNER-SCHEMA FUER ALLE ABLEITUNGEN 15
2.22 HERSTELLUNG EINES KETTENBRUCHS 29
3.12 NEVILLE-ALGORITHMUS 40
3.55 DIVIDIERTE INVERSE, DIVIDIERTE DIFFERENZEN, KETTENBRUCH UND
NEWTON-PO
LYNOM
(MATLAB-PROGRAMM) 74
4.17 PASCAL-PROGRAMM ZUR ADAPTIVEN SIMPSON-INTEGRATION 96
5.3 PASCAL-PROGRAMM GAUSSSCHES ELIMINATIONSVERFAHREN 126
5.12
VORWAERTS-UND RUECKWAERTSEINSETZEN BEIM ELIMINATIONSVERFAHREN 138
7.50 HOUSEHOLDER FUER LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 210 |
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