Fraktale und Chaos: eine Einführung
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Darmstadt
Wiss. Buchges.
1994
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| Edition: | 2., durchges. Aufl. |
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
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T ZEITLER YY WOLFGANG NEIDHARDT
FRAKTALE UND CHAOS
EINE EINFUEHRUNG
WISSENSCHAFTLICHE BUCHGESELLSCHAFT
DARMSTADT
F
INHALT
EINLEITUNG 1
I. ITERATION REELLER FUNKTIONEN UND CHAOS IN DYNAMISCHEN SYSTEMEN . 7
1. DIE IDEE DER ITERATION 7
2. DAS AUFSTELLEN DER LOGISTISCHEN FUNKTION 9
3. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE, SAETZE UND METHODEN 12
3.1 GRUNDBEGRIFFE /1
3
3.2 GRAPHISCHE ITERATION UND ANALYSE - EIN TRICK 13
3.3 ZWEI HAUPTSAETZE 16
3.3.1 SATZ 17
3.3.2 SATZ 18
4. DIE UNTERSUCHUNG DER LOGISTISCHEN FUNKTION MIT VIELEN UEBERRA
SCHUNGEN 21
4.1 KURVENDISKUSSION 21
4.2 NICHT ALLES IST INTERESSANT. UNTERSUCHUNG DES BEREICHS 0 I ^ 1 .
22
4.3 DAS VERHALTEN BEI STARTWERTEN X 0UND
X 1 25
4.4 DER BEREICH 1
N 3 26
4.4.1 SATZ .26
4.4.2 SATZ 28
4.5 WAS GESCHIEHT FUER I 3? 30
4.5.1 EIN ERSTER SCHRITT 30
4.5.2 WAS SOLL DAS BEDEUTEN? 35
4.5.3 DIE FEIGENBAUM-GRAPHIK 35
4.5.4 UND WIE GEHT ES WEITER? 38
4.6 DIE FEIGENBAUM-KONSTANTEN 40
4.7 DAS CHAOS 41
4.7.1 DER WERT N 41
4.7.2 DIE FENSTER - EIN WUNDER GESCHIEHT 42
4.7.3 UND WAS PASSIERT IM FALLE I 4? 44
4.8 WARUM DIE QUADRATISCHE FAMILIE SO WICHTIG IST 46
VI
5. DIE DACHFUNKTION, EIN SPEZIALTHEMA 47
5.1 DEFINITION DER DACHFUNKTION 48
5.2 DER BEREICH 0 X 1 48
5.3 DERFAL
U = L 49
5.4 DER BEREICH 1
X 2 49
5.5 DER BEREICH X 2 53
5.6 VERALLGEMEINERTE DACHFUNKTION 56
5.7 WIR VERALLGEMEINERN NOCHMALS 58
5.8 ZURUECK ZUR LOGISTISCHEN FUNKTION . 60
II
. SELBSTAEHNLICHE FRAKTALE PUNKTMENGEN 63
1. ZWEI WICHTIGE BEGRIFFE 63
1.1 SELBSTAEHNLICHKEIT 63
1.2 SELBSTAEHNLICHKEITSDIMENSION 63
1.2.1 WASJEDERWEISS! , 63
1.2.2 ERWEITERUNG DES DIMENSIONSBEGRIFFES 65
1.2.3 SELBSTAEHNLICHKEITSDIMENSION GANZ ALLGEMEIN 65
2. CANTOR-STAEUBE 66
2.1 CANTOR-ZAHLEN 66
2.1.1 EXKURS UEBER TERNAERBRUECHE 66
2.1.2 CANTOR-ZAHLEN UND CANTOR-STAUB 68
2.2 ETWAS WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 69
2.3 EINE SELTSAME UEBERLEGUNG 70
2.4 SELBSTAEHNLICHKEIT UND DIMENSION 70
2.5 ABZAEHLBARKEIT 71
2.6 WEITERE EIGENSCHAFTEN 72
2.7 VERALLGEMEINERUNGEN 73
2.7.1 CANTOR-STAUB CYY 73
2.7.2 CANTOR-STAUB IN RAEUMEN HOEHERER DIMENSION 75
3. KOCH-KURVEN 76
3.1 KONSTRUKTIONSVORSCHRIFT . 76
3.2 EIGENSCHAFTEN 77
3.2.1 LAENGE 77
3.2.2 FLAECHE 78
3.2.3 STETIGKEIT - DIFFERENZIERBARKEIT 78
3.2.4 DIMENSION 80
VII
3.3 GRAPHISCHE DARSTELLUNG VON KOCH-KURVEN 81
3.3.1 EIN ITERATIVES PROGRAMM 81
3.3.2 KOCH-KURVEN REKURSIV 84
3.4 VERALLGEMEINERTE KOCH-KURVEN IN DER EBENE . .
89
3.4.1 N-ECK-KOCH-KURVEN 89
3.4.2 DIE KOCH-KONSTRUKTION 93
3.4.3 VERRUECKTE KOCH-KURVEN 96
3.5 KOCH FLAECHEN 98
4. PASCAL- UND SIERPINSKI-DREIEICKE 105
4.1 BINOMINAL-KOEFFIZIENTEN - PASCAL-DREIECK MOD 2 106
4.2 GRAPHISCHE DARSTELLUNG DES PASCAL-DREIECKS MOD 2 108
4.3 EIGENSCHAFTEN DES PASCAL-DREIECKS MOD 2 110
4.4 PASCAL-DREIECK UND ZELLULAERE AUTOMATEN 112
4.5 SIERPINSKI-DREIECK UND PASCAL-DREIECK MOD 2 114
4.6 EIGENSCHAFTEN DES SIERPINSKI-DREIECKS 117
4.7 ERWEITERUNGEN, VERALLGEMEINERUNGEN, AUSBLICKE 118
III. NOCH MEHR ZUR DIMENSION 134
1. DIE KLASSISCHE DIMENSION AUS DER SCHULE 134
2. DIE ALGEBRAISCHE DIMENSION 135
2.1 DER VEKTORRAUM UEBER DEM KOERPER K 135
2.2 AFFINER PUNKTRAUM 135
2.3 DIMENSION SPEZIELLER PUNKTMENGEN 136
3. METRISCHE RAEUME 137
3.1 WAS IST DAS? 137
3.2 BEISPIELE METRISCHER RAEUME 137
3.3 VIELE SPEZIALBEGRIFFE 138
3.3.1 DURCHMESSER EINER PUNKTMENGE E C M 138
3.3.2 KUGELUMGEBUNG EINES PUNKTES PC
M 138
3.3.3 UMGEBUNG EINES PUNKTES P YY M 139
3.3.4 BESONDERE PUNKTE BEZUEGLICH E C M 139
3.3.5 KONVERGENZ EINER PUNKTFOLGE IN M 140
3.3.6 HAEUFUNGSPUNKT IN E C M 140
3.3.7 OFFENE MENGE E C M 140
3.3.8 ABGESCHLOSSENE MENGE EC
M 140
3.3.9 PERFEKTE MENGE E C M 141
VIII
3.3.10 BESCHRAENKTE MENGE E C M 141
3.3.11 KOMPAKTE MENGE E C
M 141
3.4 DIE UEBERDECKUNGSDIMENSION 142
3.4.1 DEFINITIONEN 142
3.4.2 SATZ VON LEBESGUE 143
3.4.3 DEFINITION DER UEBERDECKUNGSDIMENSION 144
3.4.4 DIMENSIONSSAETZE
. . 144
4. TOPOLOGISCHE RAEUME 145
4.1 WAS IST DAS? 145
4.2 DIE TOPOLOGISCHE DIMENSION D
T
146
4.2.1 BEOBACHTUNGEN 146
4.2.2 DEFINITION DER TOPOLOGISCHEN DIMENSION 148
4.2.3 NOCH MEHR ZUR TOPOLOGISCHEN DIMENSION D
T
149
5. ZURUECK ZUR SELBSTAEHNLICHKEITSDIMENSION D
S
150
6. DIE FRAKTALE DIMENSION D
F
151
6.1 KUENSTLICH - NATUERLICH 151
6.2 EXPERIMENTELLES ARBEITEN 151
6.2.1 WIR MESSEN! 151
6.2.2 NOCH MEHR PHYSIKALISCHE METHODEN! 152
6.2.3 DIE AUSWERTUNG, DAS ERGEBNIS 153
6.3 WIR ENTWICKELN EINE SCHOENE FORMEL 155
6.4 WIE VERTRAGEN SICH DS UND D
F
156
6.5 ERWEITERUNGEN 156
6.5.1 KREISSCHEIBEN STATT ZIRKELOEFFNUNGEN 156
6.5.2 ZUSAETZLICHE ERWEITERUNGEN 156
6.6 ZU DEN SPEZIELL SELBSTAEHNLICHEN PUNKTMENGEN 158
7. SCHWIERIGE THEORIE: DIE DIMENSION D
H
B 160
7.1 DAS D-MASS H
D
(E) 160
7.1.1 2R-UEBERDECKUNG 160
7.1.2 SATZ 161
7.1.3 DEFINITION 161
7.2 SAETZE ZUM HAUSDORFF-D-MASS 162
7.2.1 SATZ 162
7.2.2 LEMMA . . . 163
7.2.3 SATZ 164
7.2.4 SATZ VON HAUSDORFF-BESICOVITCH 164
IX
7.3 DEFINITION VON D
H
SS 166
7.4 AUSBLICKE 166
7.4.1 VERSCHIEDENE VARIANTEN 166
7.4.2 SAETZE OHNE BEWEIS 167
7.5 EINE AUSWAHL VON BEISPIELEN 167
7.5.1 DREI PUNKTE 168
7.5.2 QC
R 169
7.5.3 CANTOR-DRITTELMENGE 169
7.5.4 SIERPINSKI-DREIECK 171
7.5.5 KURVE 172
7.5.6 QUADRAT 173
7.5.7 SATZ 174
IV. MANDELBROT-UND JULIA-MENGEN 176
1. MANDELBROT-MENGEN 176
1.1 KONVERGENZ-DIVERGENZ 176
1.2 DEFINITION DER MANDELBROT-MENGE 177
1.3 DAS APFELMAENNCHEN 178
1.4 ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN DES APFELMAENNCHENS 179
1.4.1 SYMMETRIE 180
1.4.2 SCHNITT MIT DER REELLEN ACHSE 180
1.4.3 EINBETTUNG 183
1.5 DER HAUPTKOERPER DES APFELMAENNCHENS 184
1.5.1 WAS IST EINE KARDIOIDE? 184
1.5.2 SATZ 186
1.5.3 DERPUNKTZ
0
= 0 189
1.6 EINE KNOSPE DES APFELMAENNCHENS 189
1.7 NOCH MEHR ZUM APFELMAENNCHEN 192
1.7.1 EINIGE VERZIERUNGEN 192
1.7.2 SCHON WIEDER SO EIN WUNDER! 193
1.7.3 INNERER ZUSAMMENHANG 195
1.7.4 DER RAND 196
1.7.5 DIE SACHE MIT DEM STARTWERT 196
1.7.6 APFELMAENNCHEN UND FEIGENBAUM 196
1.7.7 GEHT ES NOCH AESTHETISCHER? 197
1.7.8 WARUM DIE SPEZIELLE QUADRATISCHE FUNKTION F
C
(Z)? 197
X
2. JULIA-MENGEN 198
2.1 DEFINITION DER JULIA-MENGE 198
2.2 WAS ZEIGT DER COMPUTER? 198
2.3 SYMMETRIE 200
2.4 DIE JULIA-MENGE J
0
200
2.4.1 SATZ 200
2.4.2 WAS SIND DUALBRUECHE?
. . 202
2.4.3 WIE VERHALTEN SICH DIE PUNKTE AUF DEM GRENZKREIS K? 203
2.5 DIE JULIA-MENGE J_
2
207
2.5.1 EINE UNGEWOEHNLICHE TRANSFORMATION . . . 207
2.5.2 WIE AENDERT SICH F(Z)? . 207
2.5.3 WAS WIRD AUS DEM GRENZKREIS W = E
L P
? 208
2.5.4 WAS WIRD AUS DEN KREISEN W = RE
IQP
MIT R YY R
+
? 208
2.5.5 EIN RIEMANNSCHES BLATT - WAS IST DAS? 209
2.5.6 UND DIE GERADE DURCH DEN URSPRUNG IN DER W-EBENE? 211
2.5.7 WAS GESCHIEHT BEI ITERATION IN DER Z-EBENE? . . 213
2.6 EIN TIEFLIEGENDER SATZ 214
2.7 WEITERE EIGENSCHAFTEN DER JULIA-MENGEN 215
2.8 JULIA-MENGEN MIT DEM COMPUTER 216
2.8.1 DIE ORBIT-METHODE 216
2.8.2 DIE METHODE DER RUECKWAERTSITERATION 218
3. WAS HAT NEWTON MIT JULIA-MENGEN ZU TUN? 221
3.1 DAS NEWTON-VERFAHREN 221
3.1.1 IM REELLEN 221
3.1.2 IM KOMPLEXEN 223
Z
2
+
L
3.2 ITERATION MIT DER FUNKTION G (Z) = 224
6 W
2Z
3.2.1 WAS MAN UEBER KREISSPIEGELUNGEN WISSEN SOLLTE 224
3.2.2 KONSTRUKTION ITERIERTER PUNKTE 225
3.2.3 DIE PUNKTE DER REELLEN ACHSE 226
3.2.4 DIE PUNKTE AUF DEM KREIS X
2
+ Y
2
= 1 227
3.2.5 DIE PUNKTE DER IMAGINAEREN ACHSE 227
3.2.6 WAS WISSEN WIR JETZT EIGENTLICH? 230
3.2.7 DIE DYNAMIK DER FUNKTION G(Z
) 231
4. AUSBLICK-EIN WUNDER 233
R
XI
LITERATUR 237
QUELLENANGABEN DER FIGUREN 241
STICHWORTVERZEICHNIS 243
TAFELN
|
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| author | Zeitler, Herbert 1923-2012 Neidhardt, Wolfgang |
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