Algorithmique algébrique: avec exercices corrigés
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Paris u.a.
Masson
1992
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|---|---|
| adam_text | Table des matières
(see contents page xii)
Préface v
Avant propos .............. xiii
Chapitre 1 : Algorithmique et programmation Ada ....... 1
1 Préliminaire algorithmique ............ 1
1.1 Terminologie et notations ........... 2
1.2 L affectation 2
1.3 La séquence .............. 3
1.4 L alternative 3
1.5 L itération 5
1.6 L itération calculée, ou boucle pour ......... 6
1.7 La boucle tant que 6
1.8 L itération (suite et fin) ........... 7
2 L algorithme d exponentiation dichotomique ......... 8
2.1 L approche mathématique (ou récurrente) ........ 8
2.2 L approche algorithmique ........... 9
2.3 Etude de complexité 11
3 Introduction à la programmation en Ada .......... 12
3.1 Programme de comparaison de deux méthodes d exponentiation .... 12
3.2 De l utilisation des types 17
3.3 L itération dans un monoïde — Fonctions génériques ...... 21
3.3.1 Une fonction générique d exponentiation dichotomique . . . . . .22
3.3.2 Utilisation de la fonction générique ........ 24
3.4 Une utilisation bizarre d un compilateur Ada ........ 28
4 Une bonne approximation de l infini !.......... 29
4.1 Eléments de manipulation de tableaux en Ada ........ 30
4.2 Manipulation de matrices ........... 33
4.3 Entrées/sorties de matrices ........... 37
4.4 Spécification d un générateur de bijections ........ 39
4.5 Le calcul du déterminant ............ 41
4.6 Calculs de déterminants : quelques chiffres ........ 42
4.7 Les permutations d un ensemble fini .......... 44
4.8 Un générateur de bijections générique ......... 47
5 Conclusion ............... 49
Exercices ............... 52
Solutions des exercices ............. 66
Chapitre 2 : Euclide et le théorème fondamental de l arithmétique .... 107
1 Vers une généralisation de l arithmétique des entiers ........ 108
1.1 Divisibilité et éléments irréductibles 109
1.2 Qu est ce qu un anneau factoriel ?.........¦ 109
1.3 Généraliser l arithmétique des entiers : pour quoi faire ?...... H0
2 Propriétés élémentaires en théorie de la divisibilité ........ 113
2.1 Existence et unicité d une décomposition primaire . . . . . . .113
2.2 Pgcd et éléments étrangers entre eux . . . . . . . . . .113
Table des matières ix
2.3 Les concepts dégagés ............ 114
2.4 La relation de Bezout ............ 116
3 Les anneaux euclidiens ou le point de vue effectif ........ 117
3.1 Qu est ce qu un anneau euclidien ? .......... 117
3.2 L algorithme d Euclide pour le calcul du pgcd . . . . . . . .119
3.3 Implémentation en Ada du calcul du pgcd ......... 120
3.4 Efficacité comparée de différentes divisions ........ 122
3.5 Factorialité des anneaux euclidiens intègres ........ 124
4 Polynômes à coefficients dans un corps commutatif ....... 125
4.1 Division euclidienne dans K[X] (K corps commutatif) ....... 125
4.2 Polynômes irréductibles à coefficients dans Z/pZ ....... 127
4.3 Un critère modeste d irréductibilité modulo p ........ 129
5 Les anneaux principaux ou le point de vue idéaliste ....... 130
5.1 L idéalisation 130
5.2 Quotients d un anneau principal .......... 131
6 Vers des algorithmes optimaux pour le calcul du pgcd ....... 132
6.1 Calcul du pgcd de deux entiers : théorème de Lamé ....... 133
6.2 Anneaux quasi euclidiens ............ 135
6.3 Calcul du pgcd de plusieurs entiers : le théorème de Dirichlet ..... 137
7 Algorithme d Euclide étendu 142
7.1 Calcul des coefficients de Bezout dans un anneau quasi euclidien .... 142
7.2 Majoration des coefficients de Bezout dans Z ........ 144
8 Factorialité des anneaux de polynômes .......... 145
9 En guise de conclusion ............. 150
Exercices ............... 152
Solutions des exercices ............. 171
Chapitre S : Modules sur les anneaux principaux ....... 196
1 L élimination et quelques conséquences immédiates ........ 198
1.1 Opérations sur les lignes et les colonnes d une matrice ...... 198
1.2 Le lemme d élimination ............ 199
1.3 Calcul de déterminants 201
1.4 Modules sa».8 torsion de type fini .......... 203
2 Forme normalisée d un sous groupe de Z . . . . . . . . 204
2.1 Etude du sous groupe nZ x mZ de Z2 204
2.2 Etude du sous groupe a Z x ... X anZ de Z 205
2.3 Unicité de la décomposition normalisée ......... 209
3 Calcul de l image et du noyau d une matrice ......... 211
3.1 Matrices échelonnées 212
3.2 Calcul de l image d une matrice 212
3.3 Existence d une solution d un système linéaire ........ 216
3.4 Calcul du noyau d une matrice .......... 219
3.5 Résolution complète d un système linéaire ......... 219
3.6 Rang des modules 221
4 Réduction d une matrice ............ 224
5 Modules de type fini sur un anneau principal ........ 229
5.1 Supplémentaire, liberté et torsion .......... 229
5.2 Facteurs invariants d un sous module d un module libre ...... 231
5.3 Facteurs invariants d un module de type fini ........ 236
6 Un rapide tour d horizon ............ 237
Exercices 241
Solutions des exercices ............. 250
Chapitre 4 : Quelques méthodes d algorithmique algébrique ..... 265
1 L anneau Z/nZ 266
2 Le théorème chinois 271
2.1 Différentes formes du théorème chinois ......... 271
x Table des matières
2.2 Arithmétique modulaire et numération mixte ........ 275
2.3 Multiplication des entiers par la méthode de Pollard ...... 279
3 Le groupe des inversibles de Z/nZ ........... 284
3.1 Générateurs de Z/nZ et indicateur d Euler 284
3.2 Les systèmes de cryptographie à clef publique ........ 286
3.2.1 La méthode RSA 287
3.2.2 L algorithme du sac à dos 288
3.2.3 Comment partager un secret ? 291
3.3 Sous groupes multiplicatifs d un corps fini ......... 291
3.3.1 Annulateur d un groupe abélien fini ........ 293
3.3.2 Indicateur de Carmichael 294
3.4 Le groupe des inversibles de Z/prZ ......... 296
3.4.1 Quelques congruences utiles .......... 296
3.4.2 Le groupe des inversibles de Z/2rZ 299
3.4.3 Le groupe des inversibles de Z/prZ, p impair ....... 300
4 Suites ultimement périodiques ........... 303
4.1 Générateurs à un pas ............ 303
4.2 Générateurs congruentiels linéaires ......... 306
4.3 Détection de la période par la méthode de Brent ........ 308
5 Résidus quadratiques ............ 312
5.1 Propriétés générales ............ 313
5.2 Racines carrées : la méthode de Zassenhauss Cantor ...... 316
5.3 Racines carrées : la méthode de Shanks ......... 321
6 Factorisation et primalité ............ 324
6.1 Les nombres de Mersenne ........... 324
6.2 Le test de primalité de Rabin Miller 329
6.2.1 L algorithme probabiliste de Rabin ......... 331
6.2.2 La démonstration du théorème de Rabin ........ 332
6.3 La rho méthode de factorisation de Pollard ......... 337
7 Ce n est qu un début 339
Exercices ............... 340
Solutions des exercices ............. 354
Chapitre 5 : La transformée de Fourier discrète 379
1 Complexité de la multiplication de deux polynômes ....... 380
1.1 Interpolation de polynômes sur un corps, sur un anneau ...... 380
1.2 Evaluation de polynômes en des racines de l unité ....... 381
1.3 Racines primitives de l unité ........... 383
1.4 Transformée de Fourier discrète et convolution cyclique ...... 385
1.5 Un tour d horizon des différentes notions ......... 387
2 Fast Fourier transform 388
2.1 Cas où l ordre est une puissance de 2 . . . . . . . . . . 388
2.2 Cas où l ordre est une puissance quelconque ........ 389
2.3 Développement de l algorithme itératif sur un exemple ....... 390
2.3.1 Du récursif à l itératif 390
2.3.2 Les sommes de Yates 391
3 Calcul exact avec FFT : produit de polynômes ........ 392
3.1 Implémentation de FFT lorsque l ordre est une puissance de 2 . . . . ¦ 392
3.2 Comment implémenter FFT ? 393
3.3 La multiplication des polynômes .......... 395
3.4 Implémentation du produit de polynômes ........ 397
3.5 Le calcul de la transformée de Fourier ......... 399
4 Etude fine de la méthode de Cooley et Tuckey 402
4.1 Cooley Tuckey pour un produit de 2 facteurs ........ 404
4.2 Itération de la méthode de Cooley Tuckey 407
4.2.1 Complexité de la méthode itérée de Cooley Tuckey 407
4.2.2 Les formules pour itérer la méthode de Cooley Tuckey 408
xi
5 La méthode de Good ............. 411
5.1 Etude de l exemple 15 = 3 X 5 411
5.2 Développement du théorème de Good ......... 412
6 Evaluation d une famille de formes bilinéaires ........ 415
6.1 Quelques rappels, définitions et premières propriétés ....... 416
6.2 Rang tensoriel du produit de deux polynômes ........ 417
6.3 Etude sur un exemple : la convolution cyclique d ordre 4 ...... 420
6.4 Famille de formes bilinéaires et formes trilinéaires ....... 421
6.5 Etude sur un exemple : la convolution cyclique d ordre 4 (suite) ..... 423
7 Petits schémas de transformée de Fourier discrète ........ 425
7.1 DFT d ordre p et CC d ordre p 1 (Méthode de Rader) 425
7.2 Composition des schémas de Rader et de Good ....... 426
7.2.1 Etude fine de DFT3 427
7.2.2 DFT5 réapparaît 428
8 De FFT au produit tensoriel 430
Exercices 432
Solutions des exercices ............. 441
Bibliographie 459
Index 465
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