Introduction à la théorie des points critiques: et applications aux problèmes elliptiques
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| adam_text | Table des matières
Avant propos v
Chapitre 1. Quelques outils de base 1
1. Motivations 1
2. Espaces réflexifs, espaces de Hilbert 5
3. Espaces de fonctions continues 7
4. Quelques critères de convergence 9
5. Théorème de changement de variable 14
6. La mesure superficielle 18
7. La formule d intégration par parties 19
8. Espaces de Sobolev 23
9. Opérateurs elliptiques du second ordre 38
10. Principes du maximum 42
11. Théorèmes de régularité 44
12. Valeurs propres 48
13. Dérivées et points critiques 52
14. Multiplicateurs de Lagrange 55
15. Fonctions convexes 58
16. Quelques opérateurs continus 60
17. Quelques fonctionnelles différentiables 63
Exercices du chapitre 1 70
Chapitre 2. Le degré topologique 97
1. Degré topologique de Brouwer 97
2. Propriétés du degré 102
3. Quelques applications 107
4. Le genre 115
5. Degré topologique de Leray Schauder 120
6. Propriétés du degré de Leray Schauder 125
7. Exemples d application 126
Exercices du chapitre 2 131
Chapitre 3. Points critiques sans contrainte 135
1. Fonctionnelles minorées 135
2. Exemples d application 139
VIII Table des matières
3. Le théorème de Ky Fan von Neumann 145
4. Une application du théorème de min max 149
5. Ensembles de niveau et points critiques 153
6. Condition de Palais Smale 156
7. Le lemme de déformation 164
8. Le théorème du col 169
9. Points critiques multiples 175
Exercices du chapitre 3 185
Chapitre 4. Points critiques avec contraintes 195
1. Pourquoi des contraintes ? 195
2. La condition de Palais Smale 199
3. Champ de pseudo gradient tangent 204
4. Le Lemme de déformation 207
5. Quelques applications du principe de min max 209
Exercices du chapitre 4 216
Chapitre 5. Fonctionnelles sans symétrie 223
1. La situation du problème 223
2. Perturbations de fonctionnelles paires 224
3. Comportement des valeurs critiques 228
4. Un problème semilinéaire non homogène 233
5. Problèmes de demi valeurs propres 239
6. Existence de demi valeurs propres 242
Exercices du chapitre 5 245
Chapitre 6. Problèmes sans compacité 249
1. Compacité des fonctions à symétrie sphérique 250
2. L identité de Pohozaev et ses conséquences 253
3. Symétrisation de Schwarz ou réarrangement 259
4. Existence d un état fondamental 266
5. Le Cas de la dimension deux 276
6. Le lemme de Lieb 279
7. Une application du lemme de Lieb 280
8. La méthode de concentration compacité 285
9. L exemple de l équation de champ 294
10. L exposant limite de Sobolev 298
Exercices du chapitre 6 302
Bibliographie 311
Index des notations 320
Index 321
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