Operatorenrechnung und Laplacesche Transformation: nebst Anwendungen in Physik und Technik
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Leipzig
Barth
1950
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Seite
I. Die Operatorenrechnnng nach Heaviside 1
1. Vorbemerkungen 1
2. Der Stromkreis mit Widerstand und Kapazität 3
a) Alle Zustandsgrößen folgen dem Zeitgesetz evt 3
b) Eingeschwungener Zustand bei Wechselstrom 3
c) Einschaltvorgang bei Gleichspannung 4
3. Der Operator p = tt nach Heaviside . 5
a) Der Einschaltvorgang mit der Spannung E • 1 5
b) Beliebiger Verlauf E(t) der EMK 9
e) Sinusförmige Wechselspannung. Die erste Verschiebungsregel von
Heaviside .,,.. 10
4. Operatoren und Übertragungsfunktionen in beliebigen Übertragungs
eystemen. Schaltvorgänge bei veränderlicher Kraft. Produkte von
Operatoren 12
a) Lineare Übertragungssysteme bei beliebig verlaufender Einsehalt¬
kraft , 12
b).Operatorenprodukte 15
c) Operatorensumme 16
d) Einfach periodische (harmonische) Eins .haltkraft. Zusammenhang
zwischen Wechselstromimpedanz und Übertragungsfunktion .... 17
5. Die Wellengleichung. Die zweite Verscbiebungsregel von Heaviside . . 19
6. Integration und Differentiation von nicht ganzzahliger Ordnung. Die
Operatoren Vp und l/)/p 21
£I.Die Operatorenrechnung als Funktionaltransforination 26
7. Die Grundaufgabe der Operatorenrechnung und ihre allgemeine Lösung 26
a) Aufgabenstellung 26
b) Lösung mittels des Integrals von Wagner und Bromwich 29
8. Zusammenhang zwischen Operatorfunktion und Frequenzspektrum . . 32
a) Das Fourierache Integral als Bindeglied 32
b) Darstellung der Übertragungsfunktion A(t) durch die Komponenten
der Übergangsfunktion G f i Q 34
9. Die Laplacesohe Transformation und ihre Umkehrung als Grundlage
der Operatorenrechnung 37
a) Funktionaltransformationen 37
b) Die MeHiwschen Umkehrformeln 38
c) Das Lapfacesehe Integral. Die Eigenschaften der damit gebildeten
Operatorfunktion / (p) 39
d) Die LapZacesche Transformation und ihre Umkehrung. Die neue
Operatorenrechnung (symbolische Rechnung) 42
e) Das Verfahren der neuen Operatorenrechnung 43
XII Inhaltsverzeichnis
Seite
10. Regeln für das Rechnen mit der Laplaceschen Transformation .... 44
a) Der Additionssatz. Differentiation und Integration nach einem Para¬
meter 44
b) DerÄhnlichkeitssatz. Funktionsbeziehungen an den Grenzen 0 und oo 46
c) Differentiation im Oberbereich 48
d) Integration im Oberbereieh 50
e) Verschiebung der Veränderliehen im Unterbereich 51
f) Verschiebung der Veränderlichen im Oberbereieh. Differenzen der
Oberfunktion . . . 51
g) Differenzbildung und Differentiation im Unterbereich 52
h) Integration im Unterbereich 53
i) Faltungssätze 55
1. Faltung im Oberbereich 55
2. Faltung im Unterbereich 58
k) Transformationssätze 60
Anwendungen:
1. Operatorfunktionen von l/p 61
2. Frequenzspiegelung 62
3. Kombination von Urbild und Spiegelbild 63
1) Trennung von Endzustand und Ausgleiehsvorgang 63
IEL Entwicklungssätze ..... 64
11. Der Entwicklungssatz von Heaviside 64
a) Die HeaOTSMJesehe.Formel 64
b) Ersatzglieder für den Fall mehrfacher Nullstellen der Stammgleichung
pG(p) = O 68
c) Der zeitliche Ablauf der einzelnen Teilvorgänge 6
12. Die Erweiterung der Formel von Heaviside auf das Einschalten einer
Wechselkraft 71
13. Der Entwicklungssatz für beliebigen zeitliehen Verlauf der äußeren
Kraft 74:
IV. Auf gaben, die auf gewöhnliche lineare Diflerentialgleiehungen mit konstanten
Koeffizienten führen 77
14. Die Differentialgleichung erster Ordnung. Beispiel: Die Bewegung eines
Massenpunktes in einem widerstehenden Mittel 77
15. Ein System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung. Beispiel:
Die Grobschaltung von Gleichstrommotoren 80
16. Die Differentialgleichung zweiter Ordnung. Beispiel: Erregung eines
Sehwingungssystems durch eine darauf abgestimmte Kraft 84
17. Die gewöhnliche lineare Differentialgleichung n ter Ordnung mit kon
stanten.Koeffizienten 89
18. Gekoppelte Systeme 93
19. Die Bewegungen gekoppelter Systeme bei beliebigen Anfangsbedin¬
gungen 98 ¦
• 20. Der Satz von der wechselseitigen Energie. Normalvorgänge...... 102
Inhaltsverzeichnis XIII
Seite
V. Kettenleiter . . 108
21. Kettenleiter. Allgemeine Beziehungen im eingeschwungenen Zustand 108
22. Die Eigenschwingungen von Kettenleitern 115
a) Berechnung des Einschaltvorganges bei Gleichspannung 115
1. Leerlauf. Beispiel: Tiefpaßkette in Sprossenschaltung 116
2. Kurzschluß. Beispiele: Tiefpaßkette; induktionsloses Kunstkabel 122
b) Sätze über die Lage der Eigenfrequenzen und über Siebketten mit
Verlusten 129
23. Der Einschaltvorgang bei einer über Verstärker gekoppelten Vierpol¬
kette (formgetreue und differenzierende Verstärkung) 131
24. Eeffektionsfrei abgeschlossene und unendlich lange Kettenleiter . . . .135
; 25. Die vielgliederige Leitung mit gehäufter Kapazität und Induktivität
(Kunstkabel, Pupinleitung) 138
a) Die allgemeine Lösung und die Sonderfälle der verlustlosen, ver¬
zerrungsfreien und ableitungsfreien Kunstleitung 138
b) Der Sonderfall des induktionsfreien Kunstkabels 148
c) Das Einschalten mit Weehselspannung. Der Einschwingvorgang der
Pupinleitung 150
Vl.Volterrasche Integralgleichungen 152
26. Schaltprobleme, bei denen Volterrasche Integralgleichungen auftreten . 152
a) Vorgeschriebener zeitlicher Verlauf einer bestimmten Zustandsgröße ] 52
b) Abschalten eines Netzteils 152
27. Die Lösung der Integralgleichung durch die Laplaceache Transformation 153
a) Das Abschaltproblem 153
b) Kraftverlauf bei vorgeschriebenem Ausgleichsvorgang 154
c) Reziproker Kern 154
d) Iterierte Kerne und Neumannsche Eeihe 155
28. Zusammenhang mit den linearen Differentialgleichungen . 156
29. Integro Differentialgleichungen 158
VII. Aufgaben, die auf partielle Differentialgleichungen führen 159
30. Die homogene elektrische Leitung als Beispiel. Allgemeine Beziehungen 159
a) Das Kontinuum 159
b) Die Differentialgleichung 160
c) Grenzbedingungen 161
d) Anfangszustand, Fortpflanzungskonstante 165
e) Wellenwiderstand. Vierpolgleiehungen im Unterbereich 169
31. Die Ausbreitung der Spannungen und Ströme längs der homogenen
Leitung 171
a) Die verlustlose Leitung: 2i= 0; G=0 171
b) Die verzerrungsfreie Leitung: • = w =a 172
c) Induktionsfreies Kabelohne Ableitung, sogenanntes Thomson Kabel:
L=0; G=0 173
d) Das induktionsfreie Kabel mit Ableitung: L = 0 178
e) Die Leitung ohne Ableitung: G = 0 178
f) Allgemeiner Fall: alle vier Leitungskonstanten von Xull verschieden 181
XIV Inhaltsverzeichnis
Seite
32. Der Einfluß der Schaltung am Leitungsanfang 183
a) Bemerkungen zur Aufgabenstellung 183
b) Allgemeine Lösung im Unterbereich 184
c) Verlustlose und verzerrungsfreie Leitung 185
d) Das Thomson Kabel. Speisung über Widerstand, Kondensator und
beliebig vermaschtes Netz 185
e) Die Leitung ohne Ableitung. Speisung über Widerstand bzw. Kon¬
densator v . . . 188
f) Alle vier Leitungskonstanten von Null verschieden. Speisung aus
einem beliebig vermasehten Netz 191
33. Der Einschaltvorgang auf der Leitung von endlicher Länge 192
a) Aufbau der Lösung aus Normalvorgängen (EigenBchwingungen) oder
aus Teilwellen 192 ,
b) Die verlustfreie (bzw. verzerrungsfreie) Leitung •.:• 186
1. Leerlauf; Speisung aus widerstandsloser Stromquelle 196
2. Kurzschluß; Speisung aus widerstandsloser Stromquelle 198
3. Kapazitive Belastung; Speisung aus widerstandsloser Quelle . . . 199
4. Leerlauf; Speisung über Induktivität . . . 201
5. Leitung beiderseits über gleichgroße Kapazitäten geschlossen . . 201
6. Lösung derselben Aufgabe mittels der Heavisideschen Entwicklung 202
c) Die Leitung ohne Induktivität (Thomson Kabel) 206
1. Beiderseitiger Abschluß mit Kondensatoren; Lösung mittels Teil¬
wellen 206
2. Desgleichen; Lösung durch Normalvorgänge 209
d) Die Leitung mit endlicher Fortpflanzungsgeschwind^kÄ wa and
licher Verzerrung 212
34. Der Ausgleichsvorgang eines aus dem Gleichgewicht gebrachten ein¬
dimensionalen Kontinuums (Entladung einer elektrischen Leitung,
Längssehwingungen von Stäben und Schraubenfedern, Drehschwin¬
gungen von Wellen mit Endbelastung) 218
a) Darstellung durch die Eigenschwingungen des Stabes bzw. der
Schraubenfeder .¦ 218
b) Darstellung mittels elastischer Wellen 224
c) Das analoge Leitungsproblem: Entladung der Leitung über eine In¬
duktivität 228
d) Hinweis auf entsprechende Aufgaben über Drehschwingungen und
Schallwellen 230
35. Wirbelströme in einem massiven Metallzylinder 230
36. Verzerrung der Wellenstirn durch die Stromverdrängung im Leitungs¬
draht 235
37. Ausschwingvorgang einer kreisförmigen Membran 243
VIII. Reihenentwicklungen 248
38. Entwicklungen um den Zeitmillpunkt 248
a) Vorbemerkungen; Aufgabenstellung. . . . 248
b) Der allgemeine Fall 249
c) Beispiel: Die Potenzreihe der Bessetechen Funktion Ja(at) 250
d) Potenzreihen nach — bzw. nach V p 251
V
Inhaltsverzeichnis XV
Seite
39. Asymptotische Eeihen 252
a) Einschränkende Voraussetzungen 252
b) Begriff der asymptotischen Eeihe. Ausfall der Exponentialfunktion 254
c) Sinn der asymptotischen Darstellung. Fehlerabschätzung 255
d) Beehenregeln: Addition, Multiplikation, Potenzbildung, Reihen¬
bildung, Division mit asymptotischen Eeihen 258
e) Integration derselben. Verallgemeinerung des Begriffs der asympto¬
tischen Darstellung 260
f) Bemerkung über das Differenzieren asymptotischer Beihen 263
40. Beispiele asymptotischer Entwicklungen 263
a) Zum Operator —»^— 263
d + rp)
b) Zum Operator pe^ 2C5
c) Die Bessehehe Funktion J0(iat) ¦ 266
d) Die Besselsohe Funktion J0(at) 267
41. Weitere Anwendungen 269
a) Einschaltstrom des Thomson Kabels mit endlicher Ableitung; Potenz¬
reihe für kleine t •• 269
b) Desgleichen; asymptotische Entwicklung für große t 271
1. Aus der Integraldarstellung der Oberfunktion 271
2. Aus der Entwicklung des Operators 272
c) Einschalten des induktionsfreien Kabels über eine Induktivität . . . 274
d) Herleitung der asymptotischen Beihe aus dem Umkehrintegral. Be¬
deutung der singulären Stellen des Operators 278
e) Anwendung auf die Besselsche Funktion Jn(ott) 281
42. Reihenentwicklungen für das Einschaltproblem mit Wechselspannung 282
a) Der in das Thomson Kabel beim Einschalten der Spannung sin w t
fließende Strom • 282
b) Berechnung des flüchtigen Anteils des Einschaltstromes 284
c) Beispiel: Einschwingen einer Drosselspule 286
43. Einschaltvorgang und freie Schwingungen eines einfachen nichtlinearen
Systems 287
a) Berechnung der Frequenzen und Amplituden des Grundtons und der
Ober und Kombinationstöne bei gegebenem Anfangszustand . . . 287
b) Die freien Schwingungen 291
c) Verallgemeinerung: quadratisches Glied der Rückstellkraft und der
Dämpfung; gegenseitige Beeinflussung beider 291
Beispiele 292
1. Elektrischer Schwingungskreis. Operatoren. Einschaltvorgang .... 292
2. Mechanisches Schwingungsglied 295
3. Lautsprecher. Einsehwingungsvorgang mit Wechselspannung 295
4. Die Operatoren eines beliebigen Stromzweiges (Zweipol) 299
5. Allgemeines Schema einer elektrischen Übertragung (Vierpol mit Sender
und Empfänger) 300
6. Vier verschiedene Wege zur Berechnung der Zeitfunktion zum Operator
¥¥+ocj 301
XVI Inhaltsverzeichnis
Seite
7.—11. Anwendung des Umkehrintegrals 302
7. Operator p~n (n positiv, ganzzahlig) 302
8. Operator —% 303
(p + «)
9. Operator el»/(p) 304
10. Operator fp . . 304
11. Operator—= .307
Vp
12. Operator pm (m beliebig) 308
a) 0 m 1 308
b) m negativ, unganz 309
c) m positiv, unganz 310
d) m positiv, ganz 311
13—14. Berechnung von Zeitfunktionen mittels des Entwicklungssatzes voa
Heaviside 312
13a. Operator : f , . r 312
(P + Vi) (P + Pi)
13b. Operator 7—: —f—^—: r 313
14. Operator —f— 313
^ (p + a)»
15. Radioaktiver Zerfall eines Stoffes, der sich aus einem anderen bildet 314
16—18. Anlauf von Gleichstrommotoren in der Grobschaltung 315
16. Motor unbelastet . . •. . i. . . .. . 315
17. Anlauf mit zusätzlicher Induktivität im Ankerstromkreis . 316
18. Anlauf unter Vollast 317
19. Erregung eines Zweikreisempfängers durch eine gedämpfte Welle . . . 318
20. Überspannung beim Ausschalten einer zur Speisung von Funken dienen¬
den Gleichstrommaschine 325
21. Spannungsverteilung beim Einsehalten einer Hochpaßkette 330
22. Spannungsverteilung beim Einschalten einer einfachen Bandpaßkette . 332
23. Spannungsverteilung beim Einsehalten einer Doppelsiebkette 333
24. Freie Schwingungen und Endstrom beim Einschaltvorgang einer Kette
von induktiv gekoppelten Schwingungskreisen 336
25. Spannungs und Stromverteilung beim Einschalten einer einfachen
Kreuzgliedkette ..;.. . 340
a) Leerlauf. 340
b) Ende kurzgeschlossen . 341
=—t ^ mittels der Ver
1 + PJ
Schiebungsregel 343
27. Das Einschwingen eines Doppelsieb Bandpasses erster und zweiter Art
beim Einschalten einer sinusförmigen Wechsejspannung. Abhängigkeit
der Einschwingdauer von der Anzahl der Glieder 344
28. Spannungs und Stromverteilung in einem langen Thomson Kabel, das
über einen Ohmschen Widerstand gespeist wird 350
29. Die vorhergehende Aufgabe, bei Speisung über einen Kondensator . . 350
30. Die vorhergehende Aufgabe, bei Speisung über Kondensator und Neben¬
schlußspule ... 351 |
Inhaltsverzeichnis XVII
Seite
I • /(p) . 352
a) Lüguerresohe Polynome 352
b) Berechnung bestimmter Integrale mittels Operatorenkalkül. Das
Polynom En, die Funktion Fn und ihre Operatoren 352
c) Bestimmte Integrale mit S„ und Fn und ihre Operatoren 354
(n , a)
d) Berechnung der Oberfunktion zum Operator a ~ p—ca+ • • ¦ • 354
e) Desgleichen zum Operator — ~ — —_r= 355
fJDerRenektionsoperator^— 1 33^ 0^ 356
g) Schrittweise Übertragung von I . j /(p) in den Oberbereich . . 357
32. Kompressionswellen in einem Stabe beim Anschlag mit dem Hammer.
Einfluß der Hammermasse . . 358
33. Wärmeleitung in einer Eiehtung 360
a) Die Differentialgleichung der Wärmeleitung 360
b) Erwärmung eines Raumes durch eine Wand von endlichem Durch¬
gangs widerstand 361
c) Wärmeleitung in Stäben, ohne seitliche Ableitung 363
a) Abkühlung vom Ende aus, bei konstanter Anfangstemperatur . . 363
ß) Temperaturausgleich über eine Sprungstelle, wenn die eine Seite
die Temperatur — V, die andere + V hat 363
y) Dieselbe Aufgabe, für die Temperaturen 0 und 1 363
5) Temperaturverteilung beim Ausgleich einer beliebig gegebenen an¬
fänglichen Temperaturverteilung F(x) 363
e) Abkühlung vom Ende aus, bei beliebig gegebener Anfangs¬
temperatur F(x) 364
d) Wärmeleitung in Stäben, bei seitlicher Ableitung 365
34. Erwärmung eines zylindrischen Gefäßes 367
35. Erwärmung der Bremströmmeln eines Kraftwagens beim Anhalten . . 373
36. Auswerten von bestimmten Integralen mittels Operatorenrechnung . . 378
a) nach Abschnitt 10, Regel VHIe 378
b)nach Abschnitt 10, Regel VIII d 379
c) Durch Umformen bekannter Integrale 379
d) S und S 1 Umwandlung nach einem Parameter 380
e) Vertauschen von Ober und Unterfunktion im Integranden .... 381
Anhang 382
1. Unganzzahlige Integration und Differentiation 382
2. Analytische Funktionen einer komplexen Veränderlichen 384
3. Der Satz von Cauchy 387
a) Umlauf um ein durchweg reguläres Funktionsgeltiet 387
b) Umlauf um einen singulären Punkt 388
c) Zulässige Verformungen ungeschlossener Integrationswege 389
4. Beweis der Gleichung (34), Abschnitt 7 des Hauptteils und Bemerkungen
zur Gleichung (35) 389
a) Hilfssatz von Jordan 389
b) Beweis der Gleichung (34) 391
c) Bemerkungen zur Gleichung (36). Voraussetzungen für ihre Gültig
• keit. Integrationsweg 392
Wagner. Operatoreorecftnung, 2. Aufl. a 2
XVIII Inhaltsverzeichnis
Seite
6. Beweis der Vertauschungs und Assoziationsregeln für mehrfache
Faltungsprodukte 395
6. Zum Versagen der HeamsideBchen Operatorenreehnung im Beispiel des
Abschnitts 15 des Hauptteils 396
7. Die Zerlegung rationaler Funktionen in Teilbrüehe 399
a) Echt gebrochene rationale Funktionen mit einfachen Polen .... 399
b) Unecht gebrochene rationale Funktionen. Impulsfunktionen im Ober¬
bereich 400
c) Gleicher Grad in Zähler und Nenner 401
d) Mehrfache Pole , 402
8. Nachweis, daß der Satz von der wechselseitigen Energie bei einem ge¬
koppelten System zu derselben Lösung führt wie die Laplacesohe
Transformation 403
9. Näherungswerte für die Besselscbe .Funktion Jm und einige damit
gebildete Integrale 405
10. Herleitung der Formeln 138 bis 140, Anhang 15 410
a) Formel 138 410
b) Formel 139 411
c) Formel 140 412
11. Die Wirkung einer hochfrequenten Weeheelkraft auf ein träges System 414
12. Berechnung der Zeitfunktionen zu einigen irrationalen Operatoren ;
(Anhang 16, Nr. 143 bis 161) 419
a) Formel 143 .. ^ .419 ;
b) Asymptotische Entwicklung zu Nr. 143 420
e) Formel 144 . 422
d) Formel 145 : 422
e) Formel 149 422
f) Formeln 147, 148, 150 bis 155 422
g) Formeln 156 bis 161 423
13. Die Lapfocesche Transformation von verschiedenen Bessetechen Funk¬
tionen 424
a) Formeln 104, 99, 100, 105 424
b) Formel 128 427
e) Formeln 129, 130 427
d) Formeln 184, 115 und 116 427
e) Formel 99 . . . 429
f) Formel 114 432
g) Beweis der Formeln 184 und 104 für beliebige unganze und komplexe
Ordnungszahlen n (3te n — 1) 433
14. Zum Begriff und zur mathematischen Darstellung der Hemrisideachen
Sprungfunktion 435
15. Zusammenstellung von Ober und Unterfunktionen 437
Schrifttum 461
Sachverzeichnis 466
Namenverzeichnis 469
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