Algebraische Grundlagen der Arithmetik:
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Heldermann
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Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeine Grundlagen
1.1 Übersicht über die Zahlenbereiche 1
1.1.1 Beschreibung der Zahlenbereiche 1
1.1.2 Arithmetische Grundgesetze 3
1.2 Algebraische Strukturen 5
1.2.1 Halbgruppen und Gruppen 5
1.2.2 Ringe und Körper 8
1.2.3 Halbringe und Halbkörper 10
1.2.4 Geordnete algebraische Strukturen 11
1.2.5 Unterstrukturen 14
1.2.6 Reelle Vektorräume 16
1.2.7 Reelle Algebren 18
1.2.8 Isomorphie 20
1.3 Aufgaben 21
2 Natürliche Zahlen
2.1 Definition der natürlichen Zahlen 23
2.1.1 Gleichmächtigkeit von Mengen 23
2.1.2 Endliche Mengen und natürliche Zahlen 24
2.1.3 Peano Strukturen 28
2.2 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen 31
2.2.1 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen als Kardinalzahlen . 31
2.2.2 Rekursive Definition der Addition und Multiplikation 33
2.3 Die Ordnung der natürlichen Zahlen 34
2.3.1 Die natürlichen Zahlen als natürlich geordneter Halbring 34
2.3.2 Charakterisierung endlicher Mengen 36
2.3.3 Algebraische Charakterisierungen natürlicher Zahlen 37
2.4 Darstellung der natürlichen Zahlen 41
2.4.1 Darstellung im Dezimalsystem 42
2.4.2 Darstellung in beliebigen Positionssystemen 43
2.5 Aufgaben 44
vi
3 Quotienten und Differenzenstrukturen
3.1 Quotientenhalbkörper 45
3.1.1 Struktursatz 46
3.1.2 Existenzsatz 47
3.1.3 Eindeutigkeitssatz 51
3.2 Quotientenkörper 53
3.3 Differenzenringe 53
3.3.1 Struktursatz 54
3.3.2 Existenzsatz 55
3.3.3 Eindeutigkeitssatz 56
3.4 Aufgaben 58
4 Gebrochene Zahlen
4.1 Definition der gebrochenen Zahlen 60
4.2 Ordnung der gebrochenen Zahlen 60
4.2.1 Definition der Ordnung für gebrochene Zahlen 60
4.2.2 Algebraische Charakterisierung der gebrochenen Zahlen 62
4.2.3 Archimedischer Satz 63
4.3 Darstellung der gebrochenen Zahlen 63
4.3.1 Darstellung durch Dezimalbrüche 63
4.3.2 Divisionsalgorithmus 65
4.4 Aufgaben 69
5 Ganze Zahlen
5.1 Definition der ganzen Zahlen 72
5.1.1 Definition 72
5.1.2 Definition der Ordnung in 2T 72
5.1.3 Algebraische Charakterisierung der ganzen Zahlen 76
5.2 Bildung der Entgegengesetzten 76
5.3 Elementare Zahlentheorie 77
5.3.1 Teilbarkeit 77
5.3.2 Primzahlen 80
5.3.3 Zerlegbarkeit einer ganzen Zahl in Primfaktoren 83
5.3.4 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches . 85
5.3.5 Das Rechnen mit Kongruenzen und Restklassen 90
5.3.6 Lineare Kongruenzen und diophantische Gleichungen 95
5.4 Aufgaben 98
6 Rationale Zahlen
6.1 Definition der rationalen Zahlen 101
6.2 Ordnung der rationalen Zahlen . 102
vii
6.2.1 Definition der Ordnung für rationale Zahlen 102
6.2.2 Algebraische Charakterisierung der rationalen Zahlen 102
6.3 Bildung von Entgegengesetzten 103
6.4 Vergleich der verschiedenen Wege 104
6.5 Aufgaben 105
7 Reelle Zahlen
7.1 Notwendigkeit der Zahlenbereichserweiterung 107
7.2 Definition reeller Zahlen 107
7.2.1 Intervallschachtelungen 108
7.2.2 Struktursatz 110
7.2.3 Existenzsatz 113
7.2.4 Eindeutigkeitssatz 121
7.2.5 Definition reeller Zahlen 122
7.3 Eigenschaften der reellen Zahlen 123
7.3.1 Dichtheit 124
7.3.2 Archimedizität 124
7.3.3 Weitere Konstruktionsmöglichkeiten der reellen Zahlen 124
7.3.4 Algebraische Charakterisierung der reellen Zahlen 126
7.3.5 Weitere algebraische Eigenschaften des Körpers der reellen Zahlen . 127
7.4 Darstellung reeller Zahlen Dezimalbrüche 128
7.5 Algebraische und transzendente Zahlen 130
7.5.1 Polynome 131
7.5.2 Ganze rationale Funktionen 134
7.5.3 Nullstellen von Polynomen 134
7.5.4 Existenz transzendenter Zahlen 137
7.6 Aufgaben . . . . 140
8 Komplexe Zahlen und Quaternionen
8.1 Definition komplexer Zahlen 142
8.1.1 Struktursatz 142
8.1.2 Existenzsatz 144
8.1.3 Eindeutigkeitssatz 145
8.2 Geometrische Veranschaulichung komplexer Zahlen 147
8.2.1 Gaußsche Zahlenebene 147
8.2.2 Geometrische Darstellung der Reziprokenbildung 149
8.3 Definition komplexer Zahlen als Matrizen 149
8.4 Der Fundamentalsatz der klassischen Algebra 150
8.5 Algebraische Charakterisierung der komplexen Zahlen 156
8.6 Quaternionen 157
8.6.1 Definition der Quaternionen 158
viii
8.6.2 Eigenschaften der Quaternionen 162
8.6.3 Algebraische Charakterisierung der Quaternionen 165
8.7 Eine Verallgemeinerung der Quaternionen 169
8.7.1 Die Quatemionengruppe als 2 erzeugte Gruppe mit definierenden
Relationen 169
8.7.2 Die 3 erzeugte Quatemionengruppe 171
8.7.3 Die verallgemeinerte Quaternionenalgebra 173
8.7.4 Norm und konjugierte Elemente 181
8.7.5 Eine Charakterisierung der verallgemeinerten Quaternionenalgebra 183
8.8 Aufgaben 185
Anwendbarkeit der Zahlen
9.1 Größenbereiche Operatorhalbgruppen 187
9.2 Anwendung der natürlichen Zahlen 189
9.3 Anwendung der gebrochenen Zahlen 189
9.4 Zur Anwendung der anderen Zahlenbereiche 192
Literaturverzeichnis 193
Liste der verwendeten Symbole 195
Index 197
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