Einführung in die höhere Mathematik: 3
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|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Jena
Fischer
1992
|
| Edition: | 2., überarb. Aufl. |
| Series: | UTB für Wissenschaft : Große Reihe
|
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | 632 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 3334603830 |
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
I.
Gewöhnliche Differentialgleichungen
1. Grundbegriffe ............................................................ 15
1.1. Einteilung der Differentialgleichungen ................................... 15
1.2. Differentialgleichung und Kurvenschar................................... 17
1.3. Beispiele ............................................................. 19
1.4. Anfangswert-, Randwert- und Eigenwertprobleme......................... 28
1.5. Übungsaufgaben ...................................................... 31
2. Differentialgleichungen erster Ordnung ...................................... 32
2.1. Richtungsfeld einer Differentialgleichung. Existenz und Unität der Lösungen 32
2.2. Trennung der Veränderlichen ........................................... 36
2.3. Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen...................................... 46
2.4. Lineare Differentialgleichungen ......................................... 52
2.5. Exakte Differentialgleichungen.......................................... 58
2.5.1. Lösung der exakten Differentialgleichung ........................... ö8
2.5.2. Integrierender Faktor ............................................ 61
2.6. Zur Methode der sukzessiven Approximationen............................ 64
2.7. Trajektorien .......................................................... 74
2.8. Implizite Differentialgleichungen ........................................ 78
2.8.1. Elementare Lösungsmethoden ..................................... 78
2.8.2.
Singulare
Lösungen.............................................. 83
2.8.3. Einhüllende..................................................... 85
2.9. Übungsaufgaben ...................................................... 87
3. Differentialgleichungen höherer Ordnung .................................... 90
3.1. Zusammenhang einer Differentialgleichung
п-Ъет
Ordnung mit einem System
von Differentialgleichungen erster Ordnung............................... 90
3.2. Betrachtung von Sonderfällen ........................................... 91
3.2.1. Die Differentialgleichung Fix, y<-k
у{к + г
...,
г/(7г))
= 0 .............. 91
3.2.2. Die Differentialgleichung F(y, y ,..., yw) = 0....................... 95
3.2.3. Die Differentialgleichung —
Ф(х, у, у ,..., у(п~1})
= 0 ............... 99
dx
3.2.4. Homogene implizite Differentialgleichungen ........................ 99
3.3. Übungsaufgaben ...................................................... 100
4. Lineare Differentialgleichungen ............................................. 101
4.1. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung ............................ 101
4.1.1. Homogene lineare Differentialgleichungen........................... 101
4.1.2. Inhomogene lineare Differentialgleichungen ......................... 111
8 Inhalt
4.2. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ............... 117
4.2.1. Homogene lineare Differentialgleichungen........................... 117
4.2.2. Inhomogene lineare Differentialgleichungen ......................... 120
4.3. Eulersche Differentialgleichungen........................................ 126
4.4. Die Schwingungsdifferentiaigleichung .................................... 130
4.4.1. Freie Schwingungen.............................................. 130
4.4.1.1. Ungedämpfte Schwingungen ............................... 131
4.4.1.2. Gedämpfte Schwingungen ................................. 131
4.4.2. Erzwungene Schwingungen ....................................... 135
4.4.2.1. Ungedämpfte Schwingungen ............................... 135
4.4.2.2. Gedämpfte Schwingungen ................................. 136
4.4.3. Der elektrische Schwingkreis ...................................... 137
4.4.4. Zur Analogie zwischen mechanischen und elektrischen Schwingungen ... 141
4.5. Integration von linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung durch Reihen 142
4.5.1. Integration durch Potenzreihen.................................... 142
4.5.2. Integration durch verallgemeinerte Potenzreihen..................... 146
4.6. Die Besselsche Differentialgleichung ..................................... 151
4.7. Übungsaufgaben ...................................................... 162
6. Systeme von Differentialgleichungen......................................... 167
5.1. Existenz- und Unitätsaussagen für Systeme von Differentialgleichungen erster
Ordnung ............................................................. 167
5.2. Lineare Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung................ 176
5.3. Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten ............................ 182
5.4. Übungsaufgaben ...................................................... 192
6. Bandwert- und Eigenwertprobleme .......................................... 196
6.1. Randwertprobleme .................................................... 195
6.1.1. Einführende Bemerkungen........................................ 195
6.1.2. Zur Lösung eines halbhomogenen linearen Randwertproblems mit Hilfe
der Greenschen Funktion ..................,...................... 199
6.2. Eigenwertprobleme .................................................... 209
6.3. Übungsaufgaben ...................................................... 214
7. Stabilität .................................................................. 215
7.1. Zum Stabilitätsbegriff ................................................. 215
7.2. Einteilung der Gleichgewichtslagen für einen Spezialfall .................... 217
7.3. Stabilitatssätze........................................................ 224
7.4. Übungsaufgaben ...................................................... 227
8. Näuerungsweise Lösung
ron
Differentialgleichungen erster Ordnung........... 228
8.1. Das Eulersche Polygonzugverfahren ..................................... 228
8.2. Das verbesserte Eulersche Polygonzugverfahren ........................... 231
8.3. Das modifizierte Eulersche Verfahren .................................... 232
8.4. Das Runge-Kutta-Verfahren ............................................ 234
8.5. Das Differenzenverfahren............................................... 240
8.6. Übungsaufgaben ...................................................... 242
Inhalt 9
II.
Partielle Differentialgleichungen
9. Grundbegriffe ............................................................. 243
9.1. Einteilung der partiellen Differentialgleichungen........................... 243
9.2. Beispiele partieller Differentialgleichungen, die sich wie gewöhnliche Differential¬
gleichungen lösen lassen ................................................ 247
9.3. Übungsaufgaben ...................................................... 248
10. Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung ............................. 249
10.1. Die homogene lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung.......... 249
10.2. Das Cauchysche Anfangswertproblem für die homogene lineare partielle Differen¬
tialgleichung erster Ordnung ............................................ 255
10.3. Die quasilineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung .............. 256
10.4. Das Gauchysche Anfangswertproblem für die quasiiineare partielle Differential¬
gleichung erster Ordnung ............................................... 260
10.5. Übungsaufgaben ...................................................... 262
11. Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung ............................ 263
11.1. Zur Einteilung der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung........ 263
11.2. Lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten
Koeffizienten ......................................................... 264
11.3. Charakteristiken ...................................................... 270
11.3.1. Allgemeine Bemerkungen ........................................ 270
11.3.2. Der hyperbolische Fall (D(x, y) > 0) .............................. 272
11.3.3. Der parabolische Fall (D(x, y) = 0) ............................... 273
11.3.4. Der elliptische Fall (D{x, y) < 0) ................................. 274
11.3.5. Zusammenfassung .............................................. 276
11.4. Die Separationsmethode................................................ 277
11.5. Weitere Lösungsmethoden.............................................. 279
11.6. Übungsaufgaben ...................................................... 280
12. Einige Grundaufgaben der mathematischen Physik ........................... 281
12.1. Vorbemerkung ........................................................ 281
12.2. Die Differentialgleichung der schwingenden Saite .......................... 282
12.2.1. Zur Herleitung der Saitengleichung .........,..................... 282
12.2.2. Die unendlich lange Saite ........................................ 284
12.2.3. Die an beiden Enden eingespannte Saite (Methode von d Alembebt) . . 286
12.2.4. Die an beiden Enden eingespannte Saite (Methode von Foxtbibb) ..... 288
12.3. Die ebene Welle....................................................... 291
12.4. Die Kugelwelle ........................................................ 292
12.5. Die Differentialgleichung einer homogenenDoppelleitung (Telegraphengleichung) 293
12.6. Die Differentialgleichung der Wärmeleitung............................... 296
12.6.1. Herleitung der Wärmeleitungsgleichung ........................... 296
12.6.2. Die Temperaturausbreitung in einem unendlich langen Stab.......... 297
12.6.3. Die Temperaturverteilung in einem Stab endlicher Lange ............ 301
12.6.4. Die Ausbreitung der Temperatur in einem homogenen isotropen Körper 303
12.7. Zur Potentialtheorie ................................................... 306
12.7.1. Die Potentialgleiehung .......................................... 306
10 Inhalt
12.7.2. Lösung der Laplace-Gleichung mittels Separation ................... 308
12.7.3. Das Dirichletsche Problem für den Kreis........................... 309
12.7.4. Potential und Kapazität eines Plattenkondensators ................. 310
12.7.5. Potential und Kapazität eines Kugelkondensators................... 311
12.7.6. Potential und Kapazität eines Zylinderkondensators ................ 313
12.7.7. Das Potential innerhalb und außerhalb zweier geladener Halbzylinder 314
12.8. Übungsaufgaben...................................................... 316
III.
Funktioneiltheorie
13. Komplexe Zahlen.......................................................... 319
13.1. Darstellungen komplexer Zahlen ........................................ 319
13.2. Die Riemannsche Zahlenkugel .......................................... 320
13.3. Ebene Punktmengen in der Vollebene.................................... 322
13.4. Komplexe Punktfolgen................................................. 324
13.5. Reihen mit konstanten Gliedern......................................... 327
13.6. Übungsaufgaben ...................................................... 328
14. Funktionen einer komplexen Veränderlichen................................. 328
14.1. Funktionsbegriff ...................................................... 328
14.2. Stetigkeit von Funktionen.............................................. 330
14.3. Funktionenreihen und Potenzreihen ..................................... 335
14.4. Elementare Funktionen ................................................ 339
14.5. Übungsaufgaben ...................................................... 341
15. Analytische Funktionen.................................................... 342
15.1. Komplexe Differenzierbarkeit ........................................... 342
15.2. Analytische Funktionen ................................................ 347
15.3. Konforme Abbildungen ................................................ 349
15.4. Konforme Abbildung mittels elementarer Funktionen ...................... 352
15.4.1. Potenzfunktion................................................. 352
15.4.2. Exponentialfunktion ............................................ 355
15.4.3. Sinusfunktion .................................................. 356
15.5. Lineare Transformationen .............................................. 357
15.5.1. Konforme Abbildung durch lineare Transformationen ............... 357
15.5.2. Ganze lineare Transformationen .................................. 359
15.5.3. Die Funktion
w
= — ........................................... 360
z
15.5.4. Die allgemeine lineare Transformation............................. 361
15.5.5. Fixpunkte und Normalformen.................................... 362
15.6. Einige Anwendungen auf zweidimensionale Probleme der Feldtheorie......... 364
15.7. Übungsaufgaben ...................................................... 369
16. Integration im Komplexen ................................................. 370
16.1. Komplexe Kurvenintegrale ............................................. 370
16.2. Der Cauchysche Integralsatz und die Cauchysche Integralformel............. 375
16.3. Unbestimmte Integrale................................................. 383
Inhalt 11
16.4. Konjugiert« harmonische Funktionen.................................... 384
16.5. Das Maximumprinzip für analytische Funktionen.......................... 385
16.6. Übungsaufgaben ...................................................... 386
17. Reihen analytischer Funktionen............................................ 389
17.1. Die Sätze von Weierstraß .............................................. 389
17.2. Taylor-Reihen ........................................................ 390
17.3. Laurent-Reihen ....................................................... 394
17.4.
Singulare
Stellen analytischer Funktionen................................ 396
17.5. Übungsaufgaben ...................................................... 400
18. Residuen ................................................................. 401
18.1. Elemente der Residuentheorie........................................... 401
18.2. Anwendung der Residuentheorie zur Berechnung von bestimmten Integralen 408
18.2.1. Integrale der Form
I
x = ƒ
iř(cos
θ,
sin
θ)
dB...................... 408
о
oo
18.2.2.
Integrale
der Form /2 = ƒ f(x) dx .............................. 409
— oo
oo
18.2.3. Integrale der Form I3 = ƒ ƒ(») eix dx .......................... 411
— oo
18.3. Übungsaufgaben ...................................................... 413
19. Die Laplace-Translormation ................................................ 414
19.1. Der Begriff der Laplace-Transformation .................................. 414
19.2. Die Abbildung von Operationen mittels Laplaoe-Transformation............. 421
19.3. Anwendung der Laplace-Transformation zur Lösung linearer Differentialglei¬
chungen .............................................................. 429
19.3.1. Differentialgleichungen erster Ordnung ............................ 429
19.3.2. Differentialgleichungen zweiter Ordnung........................... 432
19.3.3. Differentialgleichungen
и
-ter
Ordnung............................. 434
19.3.4. Lösung von Randwertproblemen.................................. 438
19.3.5. Systeme von Differentialgleichungen .............................. 439
19.4. Übungsaufgaben ...................................................... 442
IV.
Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
20. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.............................. 444
20.1. Einführende Bemerkungen ............................................. 444
20.2. Axiomatische Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes.................. 446
20.3. Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten .................................. 449
20.4. Unabhängigkeit von Ereignissen und bedingte Wahrscheinlichkeit ........... 452
20.5. Relative Häufigkeit eines Ereignisses .................................... 456
20.6. Beispiele für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten durch kombinatorische
Überlegungen ......................................................... 457
20.7. Übungsaufgaben ...................................................... 459
12 Inhalt
21. Zufallsgrößen und deren Verteilungen ....................................... 461
21.1. Eindimensionale Zufallsgrößen und deren Verteilungen ..................... 461
21.2. Funktionen von Zufallsgrößen .......................................... 471
21.3. Zufallsvektoren und deren Verteilungen .................................. 473
21.3.1. Verteilungsfunktionen ........................................... 473
21.3.2. Randverteilungen............................................... 477
21.3.3. Bedingte Verteilungen........................................... 479
21.3.4. Unabhängige Zufallsvektoren..................................... 481
21.4. Übungsaufgaben ...................................................... 482
22. Kennwerte
топ
Verteilungen ............................................... 484
22.1. Erwartungswert einer Zufallsgröße....................................... 484
22.2. Varianz einer Zufallsgröße .............................................. 488
22.3. Momente einer Zufallsgröße............................................. 491
22.4. Kennwerte von Zufallsvektoren ......................................... 492
22.5. Bedingte Erwartungswerte ............................................. 497
22.6. Übungsaufgaben ...................................................... 498
23. Spezielle Verteilungen ..................................................... 500
23.1. Stetige Verteilungen ................................................... 500
23.1.1. Die stetige Gleichverteilung ...................................... 500
23.1.2. Die Normal verteilung (Gauß verteil
ung)
............................ 501
23.1.3. Die Exponentialverteilung....................................... 605
23.1.4. Grundverteilungen der mathematischen Statistik ................... 507
23.2. Diskrete Verteilungen.................................................. 514
23.2.1. Die diskrete Gleichverteilung ..................................... 514
23.2.2. Die
Binomial
verteil
ung
.......................................... 515
23.2.3. Die hypergeometrische Verteilung................................. 518
23.2.4. Die Poissonverteilung ........................................... 519
23.3. Übungsaufgaben ...................................................... 522
24. Charakteristische Funktionen und Grenzwertsätze........................... 523
24.1. Charakteristische Funktionen und ihre Eigenschaften ...................... 523
24.2. Erzeugende Funktionen ................................................ 528
24.3. Charakteristische Funktionen von mehrdimensionalen Verteilungen .......... 529
24.4. Konvergenzbegriffe in der Wahrscheinlichkeitstheorie ...................... 534
24.5. Gesetz der großen Zahlen............................................... 536
24.6. Grenzwertsätze........................................................ 542
24.7. Übungsaufgaben ...................................................... 546
25. Einführung in die Statistik................................................. 548
25.1. Grundbegriffe der beschreibenden Statistik ............................... 548
25.1.1. Urliste und Verteilungstabellen................................... 548
25.1.2. Statistische Maßzahlen bei einem Merkmal ......................... 551
25.1.3. Statistische Maßzahlen bei zwei Merkmalen ........................ 552
25.2. Grundgesamtheit und Stichprobe. Hauptsatz der der mathematischen Statistik 554
25.3. Stichprobenfunktionen ................................................. 557
Inhalt 13
25.4. Statistische Schätzverfahren ............................................ 560
25.4.1. Problemstellung der Schätztheorie ................................ 560
25.4.2. Eigenschaften von Punktschätzungen ............................. 561
25.4.3. Konstruktion von Punktschätzungen.............................. 565
25.4.4. Konfidenzschätzungen........................................... 568
25.4.4.1. Begriff der Konfidenzschätzung .......................... 568
25.4.4.2. Konfidenzschätzung für den Erwartungswert einer
Ν(μ,
aa)-verteilten Grundgesamtheit ...................... 569
25.4.4.3. Konfidenzschätzung für die Varianz einer
Ν(μ,
j2)-verteilten
Grundgesamtheit ....................................... 572
25.4.4.4. Konfidenzschätzung für den Parameter
ρ
einer Grundgesamt¬
heit mit Null-Eins-Verteilung ............................ 574
25.5. Statistische Prüfverfahren .............................................. 575
25.5.1. Problemstellung der Testtheorie .................................. 575
25.5.2. Prüfung des Erwartungswertes einer normalverteilten Grundgesamtheit 577
25.5.3. Prüfung der Varianz einer normalverteilten Grundgesamtheit......... 580
25.5.4. Prüfung des Parameters
ρ
einer Null-Eins-verteilten Grundgesamtheit 581
25.5.5. Prüfung einer Grundgesamtheit auf Normalverteilung ............... 582
25.5.6. Anpassungstest................................................. 583
25.6. Übungsaufgaben ...................................................... 586
Anhang: Tafeln der mathematischen Statistik ................................... 589
Lösungen .....................................................................
5Э7
Literatur...................................................................... 621
Namenverzeichnis ............................................................. 623
Sachverzeichnis ............................................................... 624
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| author | Dallmann, Herbert Elster, Karl-Heinz |
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