Vektorrechnung kurz und bündig: Koordinaten, Vektoren, Matrizen, Tensoren und Grundlagen der Vektoranalysis
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Würzburg
Vogel
1973
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| Series: | Kamprath-Reihe kurz und bündig.Grundwissen.
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JOACHIMLRISIUS
VEKTORRECHNUNG
KOORDINATEN, VEKTOREN, MATRIZEN, TENSOREN UND GRUNDLAGEN DER
VEKTORANALYSIS.
V O G E L - V E R U ^G
IMAGE 2
INHALTSVERZEICHNIS
1. DARSTELLUNG VON PUNKTEN DURCH KOORDINATENSYSTEME 11
1.1. DIE WICHTIGSTEN KOORDINATENSYSTEME 11
1.1.1. RECHTWINKLIGE KOORDINATEN UND POLARKOORDINATEN IN DER EBENE 11
1.1.2. RAEUMLICHE KARTESISCHE KOORDINATEN, ZYLINDERKOORDINATEN UND
KUGELKOORDINATEN 12
1.1.3. BEMERKUNGEN ZU ALLGEMEINEN KOORDINATENSYSTEMEN 14
1.2. RECHTS- UND LINKSSCHRAUBENSYSTEME 15
1.2.1. ORIENTIERUNG VON KOORDINATENACHSEN UND VORZEICHEN VON DREHUNGEN
IN DER EBENE 15
1.2.2. EINFUEHRUNG DER SCHRAUBE 17
1.2.3. ORIENTIERUNG DER KOORDINATENACHSEN IM RAUM 18
1.3. TRANSFORMATION RECHTWINKLIGER PUNKTKOORDINATEN IN DER EBENE 18
2. DARSTELLUNG VON VEKTOREN IN KARTESISCHEN KOORDINATEN 22
2.1. EINFUEHRUNG: DIE GERICHTETE STRECKE 22
2.1.1. ERKLAERUNG UND SYMBOLISCHE DARSTELLUNG 22
2.1.2. VEKTORKOORDINATEN 22
2.1.3. BETRAG 23
2.1.4. BESTIMMUNGSGROESSEN DER GERICHTETEN STRECKE 23
2.1.5. ADDITION GERICHTETER STRECKEN 23
2.1.6. TRANSFORMATION DER VEKTORKOORDINATEN GERICHTETER STRECKEN IN DER
X,Y-EBENE .. 23 2.2. SKALARE UND VEKTOREN IN DER PHYSIK 25
2.2.1. BEISPIELE AUS DER PUNKTMECHANIK 25
2.2.2. SKALAR- UND VEKTORFELDER 25
2.3. ELEMENTARES RECHNEN MIT VEKTOREN 26
2.3.1. EINFUEHRUNG DER KOORDINATENSCHREIBWEISE 26
2.3.2. ADDITION, SUBTRAKTION UND MULTIPLIKATION MIT SKALAR 27
2.3.3. KOMPONENTENDARSTELLUNG, EINHEITSVEKTOREN 28
2.3.4. TRANSFORMATION DER VEKTORKOORDINATEN 29
2.3.5. BEMERKUNG UEBER SPALTEN UND VEKTOREN 30
2.4. EINFUEHRUNG DES ORTSVEKTORS 31
3. PRODUKTARTIGE VERKNUEPFUNG ZWISCHEN VEKTOREN 32
3.1. INNERES PRODUKT 32
3.1.1. VORBEREITUNG: PROJEKTION IN DER EBENE 32
3.1.2. GEOMETRISCHE DEFINITION 33
3.1.3. KOMPONENTENDARSTELLUNG DES INNEREN PRODUKTES 33
3.2. INNERE PRODUKTBILDUNG IN DER PHYSIK :. 34
3.2.1. ARBEIT, POTENTIALDIFFERENZ, LINIENINTEGRAL 34
3.2.2. DURCHSTROEMUNG EINER FLAECHE, FLAECHENVEKTOR, FLAECHENINTEGRAL 35
3.2.3. QUELLSTAERKE, OBERFLAECHENINTEGRAL 36
3.2.4. WIRBELSTAERKE, RINGINTEGRAL 37
3.3. AEUSSERES PRODUKT 38
3.3.1. VORBEREITUNG: FLAECHENINHALT IN DER EBENE 38
7
IMAGE 3
3.3.2. GEOMETRISCHE DEFINITION 38
3.3.3. KOMPONENTENDARSTELLUNG V . 39
3.4. AEUSSERE PRODUKTBILDUNG IN DER PHYSIK 40
3.4.1. VEKTOR EINER INFINITESIMALEN DREHUNG 40
3.4.2. POLARE UND AXIALE VEKTOREN 41
3.4.3. AXIALE VEKTOREN IN DER MECHANIK 42
3.4.4. VEKTORPRODUKTE IN DER ELEKTRIZITAETSLEHRE 44
3.5. GEOMETRISCHE ANWENDUNGEN 46
3.5.1. GEOMETRISCHE VERANSCHAULICHUNG DER LOESUNG LINEARER
GLEICHUNGSSYSTEME (MIT ZWEI UNBEKANNTEN) 46
3.5.2. GEMISCHTE PRODUKTE 48
3.5.3. ZWEI SAETZE AUS DER SPHAERISCHEN TRIGONOMETRIE 50
3.6. WEITERE ARTEN DER PRODUKTBILDUNG MIT VEKTOREN 52
3.6.1. KOMPLEXES PRODUKT 52
3.6.2. DYADISCHES PRODUKT 52
4. MATRIZEN 54
4.1. EINFUEHRUNG 54
4.2. ADDITION UND SUBTRAKTION 55
4.3. MATRIZENMULTIPLIKATION 55
4.3.1. EINFUEHRUNG 55
4.3.2. INNERES PRODUKT ALS SPEZIALFALL DES MATRIZENPRODUKTES 56
4.3.3. GESTUERZTE MATRIX 57
4.3.4. EIGENSCHAFTEN DER MATRIZENMULTIPLIKATION 58
4.3.5. AEUSSERES PRODUKT IN MATRIZENSCHREIBWEISE 58
4.4. QUADRATISCHE MATRIZEN 60
4.4.1. EINFUEHRUNG 60
4.4.2. EINHEITSMATRIX 60
4.4.3. MATRIZENPOLYNOME 60
4.5. DIE INVERSE MATRIX 61
4.5.1. EINFUEHRUNG 61
4.5.2. GEOMETRISCHE VERANSCHAULICHUNG DER LOESUNG VON GLEICHUNGSSYSTEMEN
MIT DREI UNBEKANNTEN 61
4.5.3. ALLGEMEINE FORMEL FUER DIE INVERSE MATRIX 63
4.5.4. LOESBARKEIT DES GLEICHUNGSSYSTEMS 63
4.6. VEKTORRECHNUNG IN SCHIEFWINKLIGEN KOORDINATEN 64
4.6.1. BASISVEKTOREN UND REZIPROKE BASISVEKTOREN 64
4.6.2. BEZIEHUNGEN ZWISCHEN BASIS- UND REZIPROKEN BASISVEKTOREN 64
4.6.3. KOVARIANTE UND KONTRAVARIANTE KOORDINATEN 65
4.6.4. INNERES UND AEUSSERES PRODUKT IN SCHIEFWINKLIGEN KOORDINATEN 66
4.6.5. VOLUMEN IN SCHIEFWINKLIGEN KOORDINATEN (VERANSCHAULICHUNG DES
DETERMINANTEN-MULTIPLIKATIONSSATZES) 66
5. ORTHOGONALE TRANSFORMATION 68
5.1. VORBEREITUNG: DREHUNG UND SPIEGELUNG IN DER EBENE 68
5.2. TRANSFORMATION DER VEKTORKOORDINATEN POLARER VEKTOREN 69
5.2.1. TRANSFORMATIONSMATRIZEN FUER DIE EINHEITSVEKTOREN UND FUER DIE
VEKTORKOORDINATEN 69
5.2.2. DIE DETERMINANTE DER TRANSFORMATIONSMATRIX 71
8
IMAGE 4
5.3. TRANSFORMATION VON AXIALEN VEKTOREN, VEKTORPRODUKTEN UND
DYADISCHEN PRODUKTEN 72
5.3.1. AXIALE VEKTOREN 72
5.3.2. TRANSFORMATION DES VEKTORPRODUKTS 74
5.3.3. TRANSFORMATION DES DYADISCHEN PRODUKTS 75
5.4. TRANSFORMATION LINEARER ZUSAMMENHAENGE ZWISCHEN DEN KOORDINATEN
ZWEIER VEKTOREN, EINFUEHRUNG DES TENSORS 76
5.5. BEMERKUNGEN ZUR NOMENKLATUR DER TENSORRECHNUNG 78
5.5.1. SUMMATIONSKONVENTION 79
5.5.2. VERALLGEMEINERTE DEFINITION DER DYADISCHEN PRODUKTBILDUNG,
VERALLGEMEINERUNG DES TENSORBEGRIFFS 79
6. VERANSCHAULICHUNG VON TENSOREN DURCH KURVEN UND FLAECHEN ZWEITER
ORDNUNG 82
6.1. VORBEREITUNG: DARSTELLUNG VON SKALARFELDERN 82
6.1.1. SKALARFELD ALS INNERES PRODUKT AUS ORTSVEKTOR UND VEKTORFELD 82
6.1.2. GERADE UND EBENE, HESSESCHE NORMALFORM 82
6.1.3. KURVEN UND FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG IN MITTELPUNKTSFORM 83
6.2. QUADRATISCHE FORMEN 84
6.2.1. VORLAEUFIGE BEMERKUNGEN ZUR GEOMETRISCHEN INTERPRETATION DER
MITTELPUNKTSFORM 84
6.2.2. ALLGEMEINE FORM, ZUSAMMENHANG MIT MITTELPUNKTSFORM 86
6.2.3. MATRIXFORMULIERUNG DER PARALLELVERSCHIEBUNG 88
6.3. KURVEN ZWEITEN GRADES 89
6.3.1. PARABEL 90
6.3.2. KREIS 91
6.3.3. ELLIPSE UND HYPERBEL 92
6.3.4. DIE CHARAKTERISTISCHE GLEICHUNG 93
6.4. HAUPTACHSENTRANSFORMATION FUER KURVEN ZWEITER ORDNUNG 93
6.4.1. GEOMETRISCHE INTERPRETATION DER CHARAKTERISTISCHEN GLEICHUNG 94
6.4.2. BESTIMMUNG DER HAUPTACHSENRICHTUNGEN 95
6.5. HAUPTACHSENTRANSFORMATION FUER FLAECHEN ZWEITER ORDNUNG 95
6.5.1. FORMULIERUNG DER AUFGABE 95
6.5.2. CHARAKTERISTISCHE GLEICHUNG 96
6.5.3. GEOMETRISCHE INTERPRETATION DER KOEFFIZIENTEN DER
CHARAKTERISTISCHEN GLEICHUNG 97
7. DIFFERENTIATION VON VEKTOREN UND EINHEITSVEKTORSYSTEMEN NACH EINER
SKALAREN VARIABLEN 102
7.1. ABLEITUNG BEI FESTEM KOORDINATENSYSTEM 102
7.1.1. DER ABGELEITETE VEKTOR 102
7.1.2. PRODUKTREGELN 102
7.1.3. GESCHWINDIGKEIT UND BESCHLEUNIGUNG 102
7.2. EINFUEHRUNG VERAENDERLICHER EINHEITSVEKTORSYSTEME 103
7.2.1. BAHNKOORDINATEN 103
7.2.2. ZYLINDERKOORDINATEN 105
7.2.3. KUGELKOORDINATEN 107
7.3. DIFFERENTIATION VON RECHTWINKLIGEN EINHEITSVEKTORSYSTEMEN 110
7.3.1. ZUSAMMENHANG ZWISCHEN DEN EINHEITSVEKTOREN UND IHREN ABLEITUNGEN
110
9
IMAGE 5
7.3.2. DARSTELLUNG DER ABLEITUNGEN MIT EINEM DREHVEKTOR 111
7.4. GESCHWINDIGKEIT UND BESCHLEUNIGUNG BEI BEWEGTEM BEZUGSSYSTEM 112
7.4.1. BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DEN GESCHWINDIGKEITEN 112
7.4.2. DIFFERENTIATION EINES VEKTORS BEI BEWEGTEM BEZUGSSYSTEM 113
7.4.3. BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DEN BESCHLEUNIGUNGEN 114
8. RAEUMLICHE DIFFERENTIALOPERATIONEN AN SKALAR- UND VEKTORFELDERN IN
KARTESISCHEN KOORDINATEN 115
8.1. VORBEMERKUNG 115
8.2. DIFFERENTIATION NACH EINER RAUMRICHTUNG 115
8.2.1. SKALARFELDER 115
8.2.2. VEKTORFELDER 119
8.2.3. DER NABLA-OPERATOR 120
8.3. DIFFERENTIALOPERATIONEN ERSTER ORDNUNG 121
8.3.1. DER FELDFLUSS 121
8.3.2. DIE ZIRKULATION 123
8.3.3. DIE DIVERGENZ 128
8.3.4. DIE ROTATION 130
8.3.5. GRADIENT ALS GRENZWERT EINES OBERFLAECHENINTEGRALS 135
8.4. VERFORMUNG UND DREHUNG KLEINER FLAECHEN UND KOERPER IM STROEMUNGSFELD
137
8.4.1. VERFORMUNG KLEINER FLAECHEN IN EINER EBENEN STROEMUNG 137
8.4.2. VERFORMUNG KLEINER KOERPER IM STROEMUNGSFELD 144
8.5. ORTHOGONALE TRANSFORMATION DER VEKTORDIFFERENTIALOPERATIONEN 146
8.5.1. TRANSFORMATION DES NABLA-OPERATORS 146
8.5.2. TRANSFORMATION VON GRAD (V), DIV (V) UND ROT (V) 147
8.6. PRODUKTREGELN 147
8.7. DIFFERENTIALOPERATIONEN ZWEITER ORDNUNG 148
8.7.1. SKALARFELDER 148
8.7.2. VEKTORFELDER 150
9. DIFFERENTIALOPERATIONEN IN KRUMMLINIGEN, ORTHOGONALEN KOORDINATEN 152
9.1. ALLGEMEINE EINFUEHRUNG 152
9.1.1. KOORDINATENFLAECHEN UND ORTSKURVEN 152
9.1.2. ORTHOGONALITAET DER ORTSKURVEN 152
9.1.3. DIE GEOMETRIEFAKTOREN 153
9.1.4. DARSTELLUNG DER GEOMETRIEFAKTOREN UND DES LINIENELEMENTES ALS
FUNKTION DER KARTESISCHEN KOORDINATEN 154
9.2. DIFFERENTIATION NACH EINER RAUMRICHTUNG 155
9.2.1. SKALARFELD, NABLA-OPERATOR 155
9.2.2. VEKTORFELD 155
9.3. DIFFERENTIALOPERATIONEN ERSTER ORDNUNG 163
9.3.1. DER FELDFLUSS 163
9.3.2. DIE ZIRKULATION 164
9.3.3. DIVERGENZ UND ROTATION 165
9.3.4. GRADIENT ALS GRENZWERT EINES OBERFLAECHENINTEGRALS 168
9.3.5. DARSTELLUNG DER DIFFERENTIALOPERATIONEN MIT DEM NABLA-OPERATOR
170
9.4. DER LAPLACE-OPERATOR IN KRUMMLINIGEN KOORDINATEN 171
9.5. ZUSAMMENFASSUNG UND ANWENDUNG AUF ZYLINDER- UND KUGELKOORDINATEN
171
10
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